第1章 相交线与平行线（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第1章 平行线（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•龙湾区校级期中）下列不属于平移现象的是（　　） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 【分析】根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、升降电梯上下移动，属于平移； B、传送带上物品传输，属于平移； C、拉抽屉，属于平移； D、电风扇扇叶转动，不属于平移． 故选：D． 【点评】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动． 2．（3分）（2024春•拱墅区校级期中）下列结论中，错误的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定，平行公理，依次判断，即可求解． 【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， C、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意， D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了，平行线的性质与判定，平行公理，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 3．（3分）（2024春•余姚市期末）如图所示，∠B与∠3是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【分析】根据“同位角、内错角、同旁内角”的意义进行判断即可． 【解答】解：∠B与∠3是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同旁内角， 故选：C． 【点评】本题考查“同位角、内错角、同旁内角”的意义，理解和掌握“同位角、内错角、同旁内角”的特征是正确判断的前提． 4．（3分）（2023春•玉环市期末）如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿AB的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【分析】根据垂线段最短判断． 【解答】解：在河边的A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿AB的路径走才能走最少的路，其依据是垂线段最短． 故选：B． 【点评】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． 5．（3分）（2023秋•新昌县期末）如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝65°，则∠DEB的度数为（　　） A．155° B．135° C．35° D．25° 【分析】直接利用垂直的定义结合互余的性质、对顶角的性质得出答案． 【解答】解：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝65°， ∴∠AEF＝90°， 则∠AEC＝∠BED＝90°﹣65°＝25°． 故选：D． 【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠AEC的度数是解题关键． 6．（3分）（2023秋•杭州市月考）如图，直线AB，CD相交于点E，AB∥DF，若∠BEC＝125°，则∠D等于（　　） A．45° B．55° C．65° D．125° 【分析】由邻补角的定义，即可求得∠AEC的度数，然后由AB∥DF，根据两直线平行，同位角角相等，即可求得∠D的度数． 【解答】解：∵∠AEC＝180°﹣∠CEB＝180°﹣125°＝55°， 又∵AB∥DF， ∴∠D＝∠AEC＝55°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（3分）（2024春•慈利县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠B+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故不符合题意； B、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故符合题意； C、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故不符合题意； D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 8．（3分）（2024春•莲都区期末）如图所示，两块平面镜的夹角∠O＝θ（0°＜θ＜90°），两条平行光线AB和CD分别射到两块平面镜上，它们的反射光线BE的反向延长线与DF的反向延长线的夹角∠EPF＝α，则θ的度数是（　　） A． B． C．α﹣90° D．180°﹣α 【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠EPQ＝∠ABP，∠FPQ＝∠CDP，得到∠EPF＝∠ABP+∠CDP，同理：∠MON＝∠ABO+∠CDO，由光的反射定律和对顶角的性质得到∠ABO＝∠OBP，∠CDO＝∠ODP，推出∠MON＝（∠ABP+∠CDP）＝∠EPF，得到θ＝α． 【解答】解：过P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠EPQ＝∠ABP，∠FPQ＝∠CDP， ∴∠EPQ+∠FPQ＝∠ABP+∠CDP， ∴∠EPF＝∠ABP+∠CDP， 同理：∠MON＝∠ABO+∠CDO， 由光的反射定律得到：∠ABO＝∠EBM， ∵∠OBP＝∠EBM， ∴∠ABO＝∠OBP， 同理：∠CDO＝∠ODP， ∴∠ABO＝∠ABP，∠CDO＝∠CDP， ∴∠MON＝（∠ABP+∠CDP）＝∠EPF， ∴θ＝α． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EPF＝∠ABP+∠CDP，∠MON＝∠ABO+∠CDO． 9．（3分）（2023春•嵊州市期中）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 【分析】已知四边形ABCD是矩形，则可得AB∥CD，∠C＝90°；联系折叠的性质易得∠BDC′、∠DC′B的度数，由平行线的性质可求出∠ABD的度数；接下来在△BC′D中利用三角形内角和即可求出∠2． 【解答】解：由题意可知： ∠C＝90°，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠1＝35° 由折叠的性质可知： ∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°． ∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查平行的性质，正确记忆平行的性质是解题关键． 10．（3分）（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB//CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024秋•上城区期末）如图点O在直线BD上，已知∠COD＝95°，AO⊥CO，则∠AOB的度数为 　5°　． 【分析】先利用平角定义求出∠COB的度数，然后再根据垂直定义可得∠COA＝90°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠COD＝95°， ∴∠COB＝180°﹣∠COD＝85°， ∵AO⊥CO， ∴∠COA＝90°， ∴∠AOB＝∠COA﹣∠COB＝5°． 故答案为：5°． 【点评】本题考查了垂线，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 12．（3分）（2024春•新昌县期末）如图，已知直线l3，l2被l1所截，且l2∥l3，∠1＝35°，则∠2的度数为 　35°　． 【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝35°，然后利用对顶角相等可得∠2＝∠3＝35°，即可解答． 【解答】解：如图： ∵l2∥l3， ∴∠1＝∠3＝35°， ∴∠2＝∠3＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．（3分）（2024春•拱墅区月考）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF．已知AD＝3，三角形ABC的周长为10，则四边形ABFD的周长为 　16　． 【分析】根据平移的性质得到DF＝AC，AD＝CF＝3，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵△ABC的周长为10， ∴AB+BC+AC＝10， 由平移的性质可知，DF＝AC，AD＝CF＝3， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝10+3+3＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查的是平移变换，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 14．（3分）（2024春•金华期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　130°　． 【分析】延长DC到点E，根据平行线的性质可得∠BCE＝∠ABC＝25°，再根据折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°，进而得到答案． 【解答】解：延长DC到点E，如图： ∵AB∥CD， ∴∠BCE＝∠ABC＝25°， 由折叠可得：∠ACB＝∠BCE＝25°， ∵∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCE﹣∠ACB＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解决问题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 15．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标． 在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行（即BC∥AE），并与A处的镜面所在直线NA相交于点C，SA所在直线与水平线MB相交于点D，∠EAC＝ω，观测角∠SDM＝ 　2ω　（用ω表示）． 小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中∠BAC＝∠SAN＝α，∠DBC＝∠ABF＝β． 【分析】先根据平行线的性质得∠C＝ω，求出∠BAD＝2α，然后根据三角形外角的性质得β＝α+ω，最后根据三角形内角和定理求出∠SDM． 【解答】解：∵BC∥AE， ∴∠C＝∠EAC＝ω， ∵∠SAN＝∠CAD＝α，∠BAC＝∠SAN＝α， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2α， ∵∠FBA是△ABC的外角， ∴∠FBA＝∠BAC+∠C， ∴β＝α+ω， ∴∠SDM＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣2α﹣（180°﹣2β）＝2（β﹣α）＝2ω． 故答案为：2ω． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠C＝∠EAC，由三角形外角的性质得到β＝α+ω，由三角形内角和定理求出∠SDM． 16．（3分）（2024春•上城区校级期中）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO＝130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN＝　80°　．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时∠BAO＝120°，则∠PDN＝　20°　． 【分析】过点A作AF∥OE，过点B作BG∥AF交DN于点H，根据平行线的判定和性质，求出∠PDN的度数，利用角平分线的性质，即可得解；过点D作DK∥AB，过点A作AL∥OE，过点B作BQ∥AL交DK于点Q，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 【解答】解：过点A作AF∥OE，过点B作BG∥AF交DN于点H， ∵AO⊥OE， ∴∠AOE＝90°， ∵AF∥OE， ∴∠OAF＝90°， ∴∠BAF＝∠BAO﹣∠OAF＝40°， ∵BG∥AF， ∴∠BAF＝∠HBA＝40°， ∵DN∥BA， ∴∠DHB＝∠HBA＝40°， ∵AF∥OE，CD∥OE，BG∥AF， ∴BG∥CD； ∴∠DHB＝∠PDN＝40°， ∵CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线， ∴∠MDN＝2∠PDN＝80°； 由题意，得：∠MBA＝90°， 过点D作DK∥AB，过点A作AL∥OE，过点B作BQ∥AL交DK于点Q， 同（1）法可得：∠PDK＝∠BQD＝∠ABQ＝∠BAL＝∠BAO﹣∠OAL＝30°， ∵DK∥AB， ∴∠MDK＝∠MBA＝90°， ∴∠NDQ＝∠MDK﹣∠MDN＝90°﹣80°＝10°， ∴∠PDN＝∠PDK﹣∠NDQ＝30°﹣10°＝20°． 故答案为：80°；20°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•鄞州区期末）如图，AB∥CD，直线HE⊥MN交MN于E，∠1＝130°，求∠2的度数． 【分析】由邻补角的性质得到∠CFN＝180°﹣130°＝50°，由平行线的性质推出∠AEN＝∠CFN＝50°，由垂直的定义得到∠HEN＝90°，即可求出∠2＝90°﹣50°＝40°． 【解答】解：∵∠1＝130°， ∴∠CFN＝180°﹣130°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠AEN＝∠CFN＝50°， ∵HE⊥MN， ∴∠HEN＝90°， ∴∠2＝90°﹣50°＝40°． 【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠AEN＝∠CFN． 18．（6分）（2024春•嘉兴期末）如图，CD平分∠ACB，∠CDE＝∠DCE． （1）判断DE与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠CDE＝38°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用角平分线换算即可． （1）利用三角形外角计算即可． 【解答】解：（1）DE∥AC． 理由： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE， ∵∠CDE＝∠DCE， ∴ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC． （2）∠BED＝∠CDE+∠DCE＝38°+38°＝76°． 【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和知识，利用三角形外角计算是解题关键． 19．（8分）（2024春•江北区期末）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 【分析】（1）由平行线的性质推出∠MCB＝∠O＝50°，由邻补角的性质得到∠ACM＝180°﹣50°＝130°，由角平分线定义得到∠DCM＝65°，于是得到∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝115°． （2）由垂直的定义得到∠ACE+∠DCA＝90°，由平角定义得到∠ECO+∠DCM＝90°，由余角的性质推出∠ACE＝∠ECO，即可证明CE平分∠OCA． 【解答】解：（1）∵AB∥ON， ∴∠MCB＝∠O＝50°， ∠ACM+∠MCB＝180°， ∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°， ∵CD平分∠ACM， ∴∠DCM＝65°， ∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°； （2）证明：∵CE⊥CD， ∴∠ACE+∠DCA＝90°， ∵∠MCO＝180°， ∴∠ECO+∠DCM＝90°， ∵∠DCA＝∠DCM， ∴∠ACE＝∠ECO， ∴CE平分∠OCA． 【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠MCB＝∠O，由余角的性质推出∠ACE＝∠ECO． 20．（8分）（2024春•柯桥区期末）已知：如图所示，直线AB、直线DE被直线l所截，分别交直线AB、DE于点A、D．点C为其内部一点，连结AC，CD，且满足∠1+∠2＝∠ACD． （1）求证：AB∥DE； （2）若∠ACD＝90°，且AC平分∠BAD，说明∠1和∠ADC的数量关系． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合等量代换求出∠BAD+∠ADC＝180°，即可判定AB∥DE； （2）根据角平分线定义求出∠1＝∠CAD，根据三角形内角和定理求出∠CAD+∠ADC＝90°，等量代换即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠1+∠2＝∠ACD， ∴∠CAD+∠ADC+∠1+∠2＝180°， 即∠BAD+∠ADC＝180°， ∴AB∥DE； （2）解：∠1+∠ADC＝90°，理由如下： ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠CAD， ∵∠ACD＝90°， ∴∠CAD+∠ADC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠1+∠ADC＝90°． 【点评】此题考查了平行线的判定、三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理、三角形内角和定理是解题的关键． 21．（10分）（2024春•绍兴市月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE． （1）求∠α与∠β的度数； （2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （3）求∠C的度数． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可得到答案； （2）证明AB∥EF，结合CD∥EF，可得结论； （3）先证明∠CAE＝90°，∠C+∠CAB＝180°，从而可得答案． 【解答】解：（1）由， ①﹣②得：3∠α＝120°， 解得∠α＝40°， 把∠α＝40°代入②得∠β＝140°； （2）AB∥CD． 理由如下：∵∠α＝40°，∠β＝140°， ∴∠α+∠β＝180°， ∴AB∥EF， 又∵CD∥EF， ∴AB∥CD； （3）∵AC⊥AE． ∴∠CAE＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，平行线的性质与判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 22．（10分）（2024春•西湖区校级期中）如图，三角形ABC中，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1． （1）求证：DF∥AC． （2）若∠A＝75°，∠BDF＝2∠EDC，求∠B的大小． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证； （2）根据平行线的性质求出∠BFD＝75°，结合题意根据平角定义求出∠BDF＝70°，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠DEC， ∵∠A＝∠1， ∴∠DEC＝∠1， ∴DF∥AC； （2）解：∵DF∥AC， ∴∠A＝∠BFD＝75°， ∵∠1＝∠A＝75°，∠BDF＝2∠EDC，∠BDF+∠1+∠EDC＝180°， ∴∠BDF＝70°， ∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°， ∴∠B＝35°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 23．（12分）（2024春•临海市期末）如图，直线m∥n，直线m，n分别与直线AB交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，∠ABC＝40°．点D在直线m上，DF∥AB交直线n于点F，CE平分∠BCD交直线n于点E．设∠BFD＝α． （1）如图1，当点D在点C右侧时，若α＝40°， ①求∠BCD的度数； ②求证DF∥CE； （2）当点D在直线m上运动时，设∠BEC＝β，直接写出α与β的数量关系． 【分析】（1）①先求∠ABP，再求∠PBC，即可求出结论：②先求∠BCE，证明AB∥CE即可证明结论； （2）分三种情况：当点D在点C 右侧时；当点D在点C左侧、在点A右侧时；当点D在点A左侧时分别根据平行线的性质求出结论即可． 【解答】（1）①解：∵DF∥AB， ∴∠ABP＝∠DFB＝40°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠CBP＝∠ABP+∠CBA＝40°+40°＝80°， ∵m∥n， ∴∠BCD＝∠CBP＝80°； ②证明：∵CE平分∠BCD， ∴， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BCE＝∠ABC， ∴AB∥CE， 又∵AB∥DF， ∴DF∥CE； （2）解：当点D在点C右侧时，∠BFD＝α，∠BEC＝β， ∵DF∥AB， ∴∠ABP＝∠BFD＝α， ∵∠ABC＝40°，m∥n， ∴∠PBC＝α+40°＝∠BCD，∠BEC＝β＝∠DCE， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BEC＝β＝∠BCD＝（α+40°），即α＝2β﹣40°； 如图2：当点D在点C左侧、在点A右侧时，∠BFD＝α，∠BEC＝β， ∵DF∥AB， ∴∠ABP＝∠BFD＝α， ∵∠ABC＝40°，m∥n， ∴∠PBC＝α+40°＝180°﹣∠BCA，∠BEC＝β＝∠ACE， ∴∠BCA＝180°﹣（α+40°）＝140°﹣α， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BEC＝β＝∠BCA＝（140°﹣α），即α＝140°﹣2β； 如图3：当点D在点A左侧时，∠BFD＝α，∠BEC＝β， ∵DF∥AB， ∴∠ABP+∠BFD＝180°， ∴∠ABP＝180°﹣α， ∵∠ABC＝40°，m∥n， ∴∠PBC﹣（180°﹣α）+40°﹣220°﹣α＝180°﹣∠BCA，∠BEC＝β＝ACE， ∴∠BCA＝180°﹣（220°﹣α）＝α﹣40°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BEC＝β＝∠BCA＝（α﹣40°），即α＝2β+40°． 【点评】本题考查的是平行线性质的应用及角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的性质是解题关键 24．（12分）（2024春•义乌市校级月考）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，3∠BEC＝5∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　45　°； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，△AFG绕着点F以每秒3°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 【分析】（1）①根据角平分线的性质可得∠EFH＝∠HFA，∠GAK＝∠KAP，根据三角形内角和可得∠AKF＝45°；②等量代换可得，根据平行线的性质可得∠CEF＝∠EFH+∠HFA，等量代换可得，求得∠BEF＝30°，即可求得∠FBE的度数； （2）根据②中结论，分类讨论：当BE⊥FG时，当BE⊥AF时，当BE⊥AG时，分别求得∠QFB+∠PFA的度数，进而得解． 【解答】解：（1）①∵FK平分∠AFE，AK平分∠PAG， ∴∠EFH＝∠HFA，∠GAK＝∠KAP， ∵AG⊥EF， ∴∠EFH+∠HFA+∠FAG＝90°， 又∵∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°， 故∠EFH+∠HFA+∠FAG+∠GAK+∠KAP+∠FAG＝180°+90°＝270°， 即2∠HFA+2∠GAK+2∠FAG＝270°， ∴∠HFA+∠GAK+∠FAG＝135°， ∠AKF＝180°﹣∠HFA﹣∠GAK﹣∠FAG＝180°﹣135°＝45°； ②∵， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠CEF＝∠EFH+∠HFA， 又∵∠CEF＝∠BEC+∠BEF，3∠BEC＝5∠BEF， ∴， 故， 解得：∠BEF＝30°， 故， ∴∠FBE＝∠BEC＝50°； （2）由②可得∠FBE＝50°，∠BEF＝30°，，∠AFG＝80°，∠BFE＝100°， 当边BF与射线FA重合时，所经过的时间为：（秒）， 当BE⊥FG时，如图：BE，FG交于点H， ∵∠FEB＝30°， ∴∠EFH＝90°﹣30°＝60°，∠BFH＝100°﹣60°＝40°， ∵∠AFG＝80°， ∴∠QFB+∠PFA＝180°﹣∠BFH﹣∠AFG＝60°， 此时旋转时间为（秒）； 当BE⊥AF时，如图：BE，AF交于点H， ∵∠EBF＝50° ∴∠BFA＝90°﹣50°＝40°， ∴∠QFB+∠PFA＝180°﹣∠BFA＝140°， 此时旋转时间为（秒）； 当BE⊥AG时，如图：BE，AG交于点H， ∵∠FAG＝10°，∠FEB＝30°，∠AFG＝80°， ∴∠AMB＝90°﹣10°＝80°， ∵∠EMF＝∠AMB＝80°， ∴∠EFM＝180°﹣80°﹣30°＝70°， ∴∠BFA＝∠BFE﹣∠EFM＝30°， ∴∠QFB+∠PFA＝180°﹣∠BFA＝150°， 此时旋转时间为（秒）； 综上，满足条件的t值为或20或． 【点评】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理的应用，平行线的性质，垂直的定义．熟练掌握相关知识点是关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 平行线（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024春•龙湾区校级期中）下列不属于平移现象的是（　　） A．升降电梯上下移动 B．传送带上物品传输 C．拉抽屉 D．电风扇扇叶转动 2．（3分）（2024春•拱墅区校级期中）下列结论中，错误的是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．同一平面内的两条直线不平行就相交 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（3分）（2024春•余姚市期末）如图所示，∠B与∠3是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 4．（3分）（2023春•玉环市期末）如图，在点A处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边，沿AB的路径走才能使所走的路程最少，其依据是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 5．（3分）（2023秋•新昌县期末）如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝65°，则∠DEB的度数为（　　） A．155° B．135° C．35° D．25° 6．（3分）（2023秋•杭州市月考）如图，直线AB，CD相交于点E，AB∥DF，若∠BEC＝125°，则∠D等于（　　） A．45° B．55° C．65° D．125° 7．（3分）（2024春•慈利县期末）如图，下列不能判定AB∥CD的条件是（　　） A．∠B+∠BCD＝180° B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠B＝∠5 8．（3分）（2024春•莲都区期末）如图所示，两块平面镜的夹角∠O＝θ（0°＜θ＜90°），两条平行光线AB和CD分别射到两块平面镜上，它们的反射光线BE的反向延长线与DF的反向延长线的夹角∠EPF＝α，则θ的度数是（　　） A． B． C．α﹣90° D．180°﹣α 9．（3分）（2023春•嵊州市期中）如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．35° D．55° 10．（3分）（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024秋•上城区期末）如图点O在直线BD上，已知∠COD＝95°，AO⊥CO，则∠AOB的度数为 　 　． 12．（3分）（2024春•新昌县期末）如图，已知直线l3，l2被l1所截，且l2∥l3，∠1＝35°，则∠2的度数为 　 　． 13．（3分）（2024春•拱墅区月考）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF．已知AD＝3，三角形ABC的周长为10，则四边形ABFD的周长为 　 　． 14．（3分）（2024春•金华期末）如图，将一张长方形纸条折叠，若∠ABC＝25°，则∠ACD的度数为　 　． 15．（3分）（2024秋•诸暨市校级月考）如图1，六分仪是一种测量天体高度的航海仪器，观测者手持六分仪，可得出观测点的地理坐标． 在图2所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行（即BC∥AE），并与A处的镜面所在直线NA相交于点C，SA所在直线与水平线MB相交于点D，∠EAC＝ω，观测角∠SDM＝ 　 　（用ω表示）． 小贴士： 如图3，光线经过镜面反射时，反射角等于入射角，所以图2中∠BAC＝∠SAN＝α，∠DBC＝∠ABF＝β． 16．（3分）（2024春•上城区校级期中）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座AO⊥OE于点O，BA与CB是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE，台灯最外侧光线DM，DN组成的∠MDN始终保持不变．如图2，调节台灯使光线DN∥BA，此时∠BAO＝130°，且CD的延长线恰好是∠MDN的角平分线，则∠MDN＝　 　．如图3，调节台灯使光线MD垂直AB于点B，此时∠BAO＝120°，则∠PDN＝　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2024春•鄞州区期末）如图，AB∥CD，直线HE⊥MN交MN于E，∠1＝130°，求∠2的度数． 18．（6分）（2024春•嘉兴期末）如图，CD平分∠ACB，∠CDE＝∠DCE． （1）判断DE与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠CDE＝38°，求∠BED的度数． 19．（8分）（2024春•江北区期末）已知：如图点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD． （1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数； （2）求证：CE平分∠OCA． 20．（8分）（2024春•柯桥区期末）已知：如图所示，直线AB、直线DE被直线l所截，分别交直线AB、DE于点A、D．点C为其内部一点，连结AC，CD，且满足∠1+∠2＝∠ACD． （1）求证：AB∥DE； （2）若∠ACD＝90°，且AC平分∠BAD，说明∠1和∠ADC的数量关系． 21．（10分）（2024春•绍兴市月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE． （1）求∠α与∠β的度数； （2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （3）求∠C的度数． 22．（10分）（2024春•西湖区校级期中）如图，三角形ABC中，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1． （1）求证：DF∥AC． （2）若∠A＝75°，∠BDF＝2∠EDC，求∠B的大小． 23．（12分）（2024春•临海市期末）如图，直线m∥n，直线m，n分别与直线AB交于A，B两点．点C在直线m上且在点A右侧，∠ABC＝40°．点D在直线m上，DF∥AB交直线n于点F，CE平分∠BCD交直线n于点E．设∠BFD＝α． （1）如图1，当点D在点C右侧时，若α＝40°， ①求∠BCD的度数； ②求证DF∥CE； （2）当点D在直线m上运动时，设∠BEC＝β，直接写出α与β的数量关系． 24．（12分）（2024春•义乌市校级月考）（1）如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，3∠BEC＝5∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K． ①∠AKF＝　 　°； ②若，求∠FBE； （2）如图2将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，△AFG绕着点F以每秒3°的速度顺时针旋转，旋转时间为t，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，求出此时t的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$