第1章 相交线与平行线 知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

第1章 《相交线与平行线》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、直线的相交 1、直线相交的定义：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫作这两条直线的交点． 如图：直线AB与CD相交，交点是O，其中相对的任何一对角叫作对顶角，如∠1与∠2、∠AOD与∠BOC 对顶角的性质：对顶角相等； 2、垂直：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3、垂线的性质：一般地，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的性质：一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 要点诠释： （1）对顶角相等是转化角的常用等量关系； （2）垂直是相交的一种特殊情况。 二、“三线八角” 当两条直线被第三条直线所截，构成的8个角，根据规定的位置关系，对应两角的关系有同位角、内错角、同旁内角。具体定义如下： 1、同位角： 2、内错角： 3、同旁内角： 要点诠释： 两条直线被第三条直线所截，都会形成这三种角的关系，但是在做题中，如果把直线改为线段，有些角就不一定存在了，做题中要加以识别。A B C D 三、平行线 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线； 符号：“平行”用符号“∥”表示 如图，直线AB和CD是平行线，记作AB∥CD（或CD∥AB），读作“AB平行CD”（或“CD平行AB”）。 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 四、平行线的判定 判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单地说，同位角相等，两直线平行。 判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单地说，内错角相等，两直线平行。 判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 要点诠释： 平行线其他判定方法： 1、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 2、平行于同一直线的两条直线互相平分； 五、平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 要点诠释： 平行线的性质得到的是角和角之间的相等关系或者互补关系，所以常结合对顶角、垂直、平角、三角形内角和等信息求解角度信息 六、图形的平移 定义：一个图形沿某法方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移； 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 要点诠释： 要描述一个平移，必须指出平移的方向和移动的距离； 题型一　对顶角与垂线 例题： 1．（2024春•新城区期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•临海市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠EOD＝40°，则∠AOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 3．（2024秋•镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　． 4．（2024秋•嵊州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数． 巩固训练 5．（2024春•临海市校级期中）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝220°，那么∠3等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 6．（2024春•玉环市期末）如图所示，三条直线l1、l2、l3相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝　 　． 7．（2023秋•余姚市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD＝68°，则∠BOF的度数为（　　） A．55° B．56° C．57° D．58° 8．（2024春•临海市期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE．若∠BOC＝120°，求∠AOF的度数． 题型二　垂线段的性质 例题： 1．（2024秋•嵊州市期末）下列说法正确的是（　　） A．垂线最短 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 2．（2024春•温岭市期末）小茗同学练习跳远，如图，点A是她落地时脚后跟所在点，则这次跳远成绩是图中线段（　　）的长度． A．AB B．AC C．AD D．CD 3．（2024春•路桥区期末）如图，要把河中的水引到农田P处，若PB⊥河岸a，垂足为点B，则沿着线段PB铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 　 　． 巩固训练 4．（2024秋•嵊州市期末）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　 　的长度． 5．（2024秋•杭州期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（　　） ①线段BP的长度是点P到直线l的距离； ②线段AP的长度是A点到直线PC的距离； ③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短； ④线段PC的长度是点P到直线l的距离． A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 题型三　“三线八角” 例题： 1．（2024春•江山市期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2．（2024春•莲都区期末）如图，∠1和∠5是一对（　　） A．内错角 B．同旁内角 C．同位角 D．对顶角 3．（2024春•余杭区月考）如图，下列说法正确的是（　　） A．∠2与∠B是同位角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠4与∠A是内错角 巩固训练 4．（2024春•海曙区期末）如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024春•鄞州区期中）如图，若∠2＝100°，则∠1的同位角等于 　 　度，∠1的内错角等于 　 　度，∠1的同旁内角等于 　 　度． 6．（2022秋•海曙区校级开学考）如图，∠1的同旁内角有 　 　个． 题型四　平行线的判定 例题： 1．（2024秋•江干区期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 2．（2024春•路桥区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2+∠3＝180° C．∠2＝∠5 D．∠4＝∠5 3．（2024春•瓯海区校级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ABD＝180° 4．（2024春•鄞州区期末）如图，下列说法正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE 5．（2024春•鹿城区校级期中）如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠3+∠4＝180°；④∠2+∠4＝180°中，一定能判断l1∥l2的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 巩固训练 6．（2024春•越城区期末）如图，下列条件，不能判定AB∥FD的是（　　） A．∠A+∠2＝180° B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 7．（2024春•东阳市期末）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　 　． 8．（2024春•东阳市期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是 　 　． ①∠1＝∠2； ②∠ABD＝∠BDC； ③∠3＝∠4； ④∠BAD＝∠BCD． 9．（2024春•萧山区月考）用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：　 　． 10．（2024春•嘉兴期末）如图，CD平分∠ACB，∠CDE＝∠DCE． （1）判断DE与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠CDE＝38°，求∠BED的度数． 题型五　平行线的性质 例题： 1．（2024春•余杭区月考）如图，直线AB，CD相交于点E，AB∥DF，若∠BEC＝125°，则∠D等于（　　） A．45° B．55° C．65° D．125° 2．（2024秋•宁波期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE，交AB于点E，若∠BED＝64°，则∠ADE的度数是（　　） A．23° B．26° C．32° D．37° 3．（2024秋•海曙区期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝　 　． 4．（2024春•临海市校级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　 　． 5．（2024春•温岭市期末）如图，AB∥CD，过点B的直线EF交CD于点G，在AB，CD之间作射线BP，∠1与∠2互余． （1）求证：BP⊥EF； （2）作∠PBF的平分线交CD于点H，若∠BHD＝65°，求∠1的度数． 巩固训练 6．（2024春•南浔区期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A、B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝27°，则∠2的度数为（　　） A．27° B．30° C．45° D．57° 7．（2024春•海曙区期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 8．（2024春•义乌市月考）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边BC上（AD∥BC），若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 9．（2024秋•义乌市校级月考）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝124°，则∠COE＝ 　 　°． 10．（2023春•杭州期中）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）当∠A＝52°时，∠ABN的度数是 　 　，∠CBD的度数是 　 　； （2）当∠A＝x°时，求∠CBD的度数（用含x的式子表示）； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD，∠A＝x°时，求∠ABP的度数（用含x的代子表示）． 题型六　平行线的性质与判定的综合 例题： 1．（2024春•义乌市校级月考）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝53°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行． A．62 B．65 C．75 D．115 2．（2024春•西湖区期末）如图，∠AEF＝∠C，∠AFD+∠EDF＝180°，则下列结论中正确的是（　　） A．∠BFD＝∠A B．∠AFE＝∠EDC C．∠A+∠AFD＝180° D．∠FDE＝∠CED 3．（2024春•鹿城区校级期中）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝129°，则∠3＝　 　． 4．（2024春•金华期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠　 　＝60°．（　 　） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠　 　＝180°．（　 　） ∴∠　 　＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE∠ADC120°＝60°．（　 　） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（　 　） 5．（2024春•拱墅区校级期中）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点， 且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数． 巩固训练 6．（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 7．（2024春•义乌市校级月考）如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F＝∠FND＝2∠EMB，则∠F的度数是（　　） A．60° B．72° C．120° D．144° 8．（2023春•拱墅区校级月考）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止．此时射线PB也停止旋转，若射线QC先转60秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 　 　秒时，PB′∥QC′． 9．（2024春•龙湾区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠BED． （1）请说明DE∥BC的理由． （2）若DE平分∠ADC，∠BED＝120°时，求∠ADE的度数． 10．（2024秋•沭阳县期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE． （2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 题型七　图形的平移 例题： 1．（2024春•开化县期中）如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（　　） A．BC B．BF C．BE D．CE 2．（2024春•莲都区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024春•越城区期末）如图，在6×6的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移3格，再向上平移2格得到△A′B′C' B．将△ABC先向上平移2格，再向右平移3格得到△A′B′C' C．将△A′B′C'先向右平移3格，再向下平移2格得到△ABC D．将△A′B′C'先向下平移2格，再向左平移3格得到△ABC 4．（2024•新昌县一模）如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 　 　． 巩固训练 5．（2024春•慈溪市期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴影部分的面积为　 　． 6．（2024春•江山市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将三角形ABC沿AB方向平移2cm得到三角形DEF． （1）求∠E的度数． （2）若AE＝8cm，求出DB的长． 7．（2024春•上城区校级期中）如图，在边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． （1）补全△A′B′C′； （2）这个平移过程可以看作△ABC先向 　 　平移 　 　个单位，再向 　 　平移 　 　个单位； （3）求线段AB平移过程中扫过的面积S． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《相交线与平行线》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、直线的相交 1、直线相交的定义：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫作这两条直线的交点． 如图：直线AB与CD相交，交点是O，其中相对的任何一对角叫作对顶角，如∠1与∠2、∠AOD与∠BOC 对顶角的性质：对顶角相等； 2、垂直：当两条直线相交所构成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 3、垂线的性质：一般地，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的性质：一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。 要点诠释： （1）对顶角相等是转化角的常用等量关系； （2）垂直是相交的一种特殊情况。 二、“三线八角” 当两条直线被第三条直线所截，构成的8个角，根据规定的位置关系，对应两角的关系有同位角、内错角、同旁内角。具体定义如下： 1、同位角： 2、内错角： 3、同旁内角： 要点诠释： 两条直线被第三条直线所截，都会形成这三种角的关系，但是在做题中，如果把直线改为线段，有些角就不一定存在了，做题中要加以识别。A B C D 三、平行线 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线； 符号：“平行”用符号“∥”表示 如图，直线AB和CD是平行线，记作AB∥CD（或CD∥AB），读作“AB平行CD”（或“CD平行AB”）。 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 四、平行线的判定 判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单地说，同位角相等，两直线平行。 判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单地说，内错角相等，两直线平行。 判定方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单地说，同旁内角互补，两直线平行。 要点诠释： 平行线其他判定方法： 1、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 2、平行于同一直线的两条直线互相平分； 五、平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 要点诠释： 平行线的性质得到的是角和角之间的相等关系或者互补关系，所以常结合对顶角、垂直、平角、三角形内角和等信息求解角度信息 六、图形的平移 定义：一个图形沿某法方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移； 平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 要点诠释： 要描述一个平移，必须指出平移的方向和移动的距离； 题型一　对顶角与垂线 1．（2024春•新城区期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行选择即可． 【解答】解：只有两直线相交时，才产生对顶角 ∴∠1与∠2是对顶角的是C， 故选：C． 【点评】本题考查了对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键． 2．（2024春•临海市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠EOD＝40°，则∠AOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】先根据垂直定义得∠EOB＝90°，则∠BOD＝∠EOB﹣∠EOD＝50°，然后根据对顶角的性质可得出∠AOC的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∵∠EOD＝40°， ∴∠BOD＝∠EOB﹣∠EOD＝50°， ∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC＝∠BOD＝50°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了垂直定义，对顶角的性质，准确识图，熟练掌握此题主要考查了垂直定义，对顶角的性质是解决问题的关键． 3．（2024秋•镇海区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　． 【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解． 【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴， ∴∠BOD＝∠AOC＝40° ∵EO⊥CD， ∴∠EOC＝90°， ∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024秋•嵊州市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC＝∠COB﹣40°，求∠BOE的度数． 【分析】设∠COB＝x°，则∠AOC＝（x﹣40）°，然后根据∠AOC和∠BOC互补即可列方程求得∠COB，进而求解∠AOC的度数，再根据对顶角相等求得∠BOD的度数，最后依据角平分线的定义求解． 【解答】解：设∠COB＝xo，则∠AOC＝（x﹣40）°． 根据题意得：x+（x﹣40）＝180， 解得：x＝110． 则∠AOC＝110°﹣40°＝70°．∠BOD＝∠AOC＝70°． ∵OE平分∠BOD， ∴ 【点评】本题考查了对顶角以及角的平分线的定义，利用邻补角的概念计算∠AOC的度数是关键． 巩固训练 5．（2024春•临海市校级期中）如图，直线a，b相交于点O，如果∠1+∠2＝220°，那么∠3等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】根据对顶角相等即可求出∠1的度数，再根据邻补角互补即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵∠1+∠2＝220°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝110°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°， 故选：C． 【点评】本题考查了对顶角，邻补角，熟知对顶角相等，邻补角互补是解题的关键． 6．（2024春•玉环市期末）如图所示，三条直线l1、l2、l3相交于一点，则∠1+∠2+∠3＝　180°　． 【分析】根据对顶角相等求出∠3＝∠4，再根据平角的定义解答． 【解答】解：如图，∵∠4＝∠3， ∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠2+∠4＝180°． 故答案为：180°． 【点评】本题考查了对顶角相等的性质，把三个角转化为一个平角是解题的关键． 7．（2023秋•余姚市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD＝68°，则∠BOF的度数为（　　） A．55° B．56° C．57° D．58° 【分析】根据对顶角相等得出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义得出∠BOE的度数，根据垂直的定义得出∠EOF＝90°，从而求出∠BOF的度数． 【解答】解：∵∠AOD＝68°， ∴∠BOC＝∠AOD＝68°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣34°＝56°， 故选：B． 【点评】本题考查了对顶角，角平分线，垂线，要注意领会由垂直得直角这一要点． 8．（2024春•临海市期中）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE．若∠BOC＝120°，求∠AOF的度数． 【分析】先根据邻补角定义求出∠AOC＝60°，再根据角平分线定义得∠AOE∠AOC＝30°，然后根据垂直定义得∠EOF＝90°，最后根据∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE可得出答案． 【解答】解：∵直线AB，CD交于点O，∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE∠AOC＝30°， ∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°． 【点评】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算，理解角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 题型二　垂线段的性质 例题： 1．（2024秋•嵊州市期末）下列说法正确的是（　　） A．垂线最短 B．对顶角相等 C．两点之间直线最短 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短；对顶角的性质：对顶角相等；两点之间，线段最短；垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直分别进行分析即可． 【解答】解：A、垂线最短，说法错误； B、对顶角相等，说法正确； C、两点之间直线最短，说法错误； D、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了垂线段、线段、对顶角、垂线，关键是熟练掌握课本基础知识． 2．（2024春•温岭市期末）小茗同学练习跳远，如图，点A是她落地时脚后跟所在点，则这次跳远成绩是图中线段（　　）的长度． A．AB B．AC C．AD D．CD 【分析】利用垂线段最短求解． 【解答】解：跳远成绩的依据是：垂线段最短，所以这次跳远成绩是图中线段AC的长度． 故选：B． 【点评】此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键． 3．（2024春•路桥区期末）如图，要把河中的水引到农田P处，若PB⊥河岸a，垂足为点B，则沿着线段PB铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 　垂线段最短　． 【分析】根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【解答】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【点评】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 巩固训练 4．（2024秋•嵊州市期末）如图，AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段 　AC　的长度． 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案． 【解答】解：AC⊥BC，垂足为点C，CD⊥AB，垂足为点D，则点A到BC的距离是线段AC的长度， 故答案为：AC． 【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度． 5．（2024秋•杭州期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（　　） ①线段BP的长度是点P到直线l的距离； ②线段AP的长度是A点到直线PC的距离； ③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短； ④线段PC的长度是点P到直线l的距离． A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④ 【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条线段的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可得解． 【解答】解：∵PB⊥l于点B， ∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误； ∵∠APC＝90°， ∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②正确； 根据垂线段最短，在PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故③正确； 故选A． 【点评】本题考查了垂线的性质，解题的关键是掌握垂线的性质． 题型三　“三线八角” 例题： 1．（2024春•江山市期末）如图，AB，CD被DE所截，则∠D的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【解答】解：A、∠1与∠D是同位角，故A不符合题意； B、∠2与∠D是同旁内角，故B符合题意； C、∠3与∠D是内错角，故C不符合题意； D、∠4与∠D不是同旁内角，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 2．（2024春•莲都区期末）如图，∠1和∠5是一对（　　） A．内错角 B．同旁内角 C．同位角 D．对顶角 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【解答】解：如图，∠1和∠5是一对同位角． 故选：C． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角、邻补角，关键是掌握同位角的定义． 3．（2024春•余杭区月考）如图，下列说法正确的是（　　） A．∠2与∠B是同位角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠4与∠A是内错角 【分析】根据同位角和同旁内角的定义解答即可． 【解答】解：A．∠2与∠B是同位角，该说法正确，故该选项符合题意； B．∠1与∠4是同旁内角，原说法错误，故该选项不符合题意； C．∠2与∠3是同位角，原说法错误，故该选项不符合题意； D．∠4与∠A是同旁内角，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 巩固训练 4．（2024春•海曙区期末）如图所示，下列说法中：①∠A与∠B是同旁内角；②∠2与∠1是内错角；③∠A与∠C是内错角；④∠A与∠1是同位角．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接利用同位角、内错角、同旁内角的定义分别分析得出答案． 【解答】解：①∠A与∠B是同旁内角，正确； ②∠2与∠1是内错角，正确； ③∠A与∠C是内错角，错误，应为同旁内角； ④∠A与∠1是同位角，正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，正确把握相关定义是解题关键． 5．（2024春•鄞州区期中）如图，若∠2＝100°，则∠1的同位角等于 　80　度，∠1的内错角等于 　80　度，∠1的同旁内角等于 　100　度． 【分析】在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系． 【解答】解：∵∠2＝100°， ∴∠1的同位角＝∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°， ∠1的内错角＝∠5＝180°﹣∠2＝180°﹣100°＝80°， ∠1的同旁内角＝∠4＝∠2＝100°． 故答案为：80°；80°；100°． 【点评】本题考查了同位角、同旁内角和内错角，掌握同位角、同旁内角和内错角的定义是关键． 6．（2022秋•海曙区校级开学考）如图，∠1的同旁内角有 　3　个． 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．据此解答即可． 【解答】解：∠1的同旁内角有∠EFD、∠ECD和∠ECB，共有3个． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了同旁内角的识别，解题时注意：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 题型四　平行线的判定 例题： 1．（2024秋•江干区期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【分析】根据平行线的判定逐个判断即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 2．（2024春•路桥区期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中能判定a∥b的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2+∠3＝180° C．∠2＝∠5 D．∠4＝∠5 【分析】根据平行线判定定理逐一判断即可． 【解答】解：A、∠1＝∠4，不能得到a∥b，不符合题意； B、∠2+∠3＝180°，不能得到a∥b，不符合题意； C、∠2＝∠5，对顶角相等，不能得到a∥b，不符合题意； D、∠4＝∠5，内错角相等，两直线平行，能得到a∥b，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查的平行线的判定定理，关键是平行线判定定理的熟练应用． 3．（2024春•瓯海区校级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB∥CD的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ABD＝180° 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠3＝∠4， ∴AC∥BD， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠4， 不能判断AB∥CD， 故B不符合题意； ∵∠D＝∠DCE， ∴AC∥BD， 故C不符合题意； ∵∠D+∠ABD＝180°， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 4．（2024春•鄞州区期末）如图，下列说法正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则BC∥DE B．若∠2＝∠4，则BC∥DE C．若∠1+∠2＝180°，则BC∥DE D．若∠1+∠3＝180°，则BC∥DE 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：由∠1＝∠2，不能判定BC∥DE， 故A不符合题意； 由∠2＝∠4，不能判定BC∥DE， 故B不符合题意； 如图， ∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴BC∥DE， 故C符合题意； 由∠1+∠3＝180°，不能判定BC∥DE， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 5．（2024春•鹿城区校级期中）如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠3+∠4＝180°；④∠2+∠4＝180°中，一定能判断l1∥l2的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：①∠1＝∠2，由同位角相等，两直线平行判定l1∥l2，故①符合题意； ②∠2和∠3不是同位角，也不是内错角，∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故②不符合题意； ③由∠5＝∠4，∠3+∠4＝180°；推出∠3+∠5＝180°，判定l1∥l2，故③符合题意； ④∠2和∠4不是同旁内角，∠2+∠4＝180°不能判定l1∥l2，故④不符合题意． ∴一定能判定l1∥l2的是①③． 故选：B． 【点评】本题考查出平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 巩固训练 6．（2024春•越城区期末）如图，下列条件，不能判定AB∥FD的是（　　） A．∠A+∠2＝180° B．∠A＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【分析】由平行线的判定方法得出A、B、C能判定AB∥FD，D不能判定AB∥FD，即可得出结果． 【解答】解：A能判定； ∵∠A+∠2＝180°， ∴AB∥FD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴A能判定； B能判定； ∵∠A＝∠3， ∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行）， ∴B能判定； C能判定； ∵∠1＝∠4， ∴AB∥FD（内错角相等，两直线平行）， ∴C能判定； D不能判定； ∵∠1＝∠A， ∴AC∥ED，不能证出AB∥FD， ∴D不能； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 7．（2024春•东阳市期末）如图，若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是 　内错角相等，两直线平行　． 【分析】直接根据平行线的判定定理解答即可． 【解答】解：若∠1＝∠2，则AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． 8．（2024春•东阳市期中）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是 　②　． ①∠1＝∠2； ②∠ABD＝∠BDC； ③∠3＝∠4； ④∠BAD＝∠BCD． 【分析】根据平行线的判定逐个判断即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC； ②∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC； ③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC； ④∵∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD， 故答案为：②． 【点评】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用判定定理进行推理是解此题的关键． 9．（2024春•萧山区月考）用三角尺和直尺按如下4个步骤画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：　同位角相等，两直线平行　． 【分析】由同位角相等，两直线平行，即可得到答案． 【解答】解：用三角尺和直尺画出的直线b与已知直线a是平行的依据是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 10．（2024春•嘉兴期末）如图，CD平分∠ACB，∠CDE＝∠DCE． （1）判断DE与AC的位置关系，并说明理由； （2）若∠CDE＝38°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用角平分线换算即可． （1）利用三角形外角计算即可． 【解答】解：（1）DE∥AC． 理由： ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE， ∵∠CDE＝∠DCE， ∴ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC． （2）∠BED＝∠CDE+∠DCE＝38°+38°＝76°． 【点评】本题考查了平行线的判定，三角形内角和知识，利用三角形外角计算是解题关键． 题型五　平行线的性质 例题： 1．（2024春•余杭区月考）如图，直线AB，CD相交于点E，AB∥DF，若∠BEC＝125°，则∠D等于（　　） A．45° B．55° C．65° D．125° 【分析】由邻补角的定义，即可求得∠AEC的度数，然后由AB∥DF，根据两直线平行，同位角角相等，即可求得∠D的度数． 【解答】解：∵∠AEC＝180°﹣∠CEB＝180°﹣125°＝55°， 又∵AB∥DF， ∴∠D＝∠AEC＝55°， 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2024秋•宁波期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AC∥DE，交AB于点E，若∠BED＝64°，则∠ADE的度数是（　　） A．23° B．26° C．32° D．37° 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到∠CAE＝∠BED＝64°，结合角平分线，得到∠CAD∠CAE＝32°，再利用两直线平行，内错角相等，得到结果． 【解答】解：∵AC∥DE，∠BED＝64°， ∴∠CAE＝∠BED＝64°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD∠CAE＝32°， ∵AC∥DE， ∴∠EDA＝∠CAD＝32°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2024秋•海曙区期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝　270°　． 【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF＝90°，于是得到结论． 【解答】解：过点B作BF∥AE，如图， ∵CD∥AE， ∴BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵AB⊥AE， ∴AB⊥BF， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°． 故答案为：270°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 4．（2024春•临海市校级期中）如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，则∠DFG＝　77°　． 【分析】先依据折叠可得，∠BGF∠BGE（180°﹣26°）＝77°，再根据平行线的性质，即可得到∠DFG的度数． 【解答】解：由折叠可得，∠BGF∠BGE（180°﹣26°）＝77°， ∵AD∥BC， ∴∠DFG＝∠BGF＝77°， 故答案为：77°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 5．（2024春•温岭市期末）如图，AB∥CD，过点B的直线EF交CD于点G，在AB，CD之间作射线BP，∠1与∠2互余． （1）求证：BP⊥EF； （2）作∠PBF的平分线交CD于点H，若∠BHD＝65°，求∠1的度数． 【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ABG+∠2＝180°，从而可得∠1+∠PBF+∠2＝180°，再根据余角定义可得∠1+∠2＝90°，然后进行计算可得∠PBF＝90°，即可得证； （2）利用（1）的结论和角平分线的定义可得∠PBH＝45°，然后利用平行线的性质可得∠ABH＝∠BHD＝65°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABG+∠2＝180°， 即∠1+∠PBF+∠2＝180°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠PBF＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°， ∴BP⊥EF； （2）解：∵BH平分∠PBF， ∴∠PBH∠PBF＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠ABH＝∠BHD＝65°， ∴∠1＝∠ABH﹣∠PBH＝20°． 【点评】本题考查了余角和补角，垂线，平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 巩固训练 6．（2024春•南浔区期中）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A、B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝27°，则∠2的度数为（　　） A．27° B．30° C．45° D．57° 【分析】在△ABC中，∠ABC＝30°，由直线m∥n，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠2的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝30°， ∴∠ABC+∠1＝30°+27°＝57° ∵直线m∥n， ∴∠2＝∠ABC+∠1＝57°． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 7．（2024春•海曙区期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠1＝150°，∠2＝25°，则∠3的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝30°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝25°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数． 【解答】解：∵AB∥OF， ∴∠1+∠OFB＝180°， ∵∠1＝150°， ∴∠OFB＝30°， ∵∠POF＝∠2＝25°， ∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 8．（2024春•义乌市月考）如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边BC上（AD∥BC），若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 【分析】利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2． 【解答】解：∵∠1＝35°， ∴∠3＝35°， ∵∠5＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠2＝∠4＝90°﹣∠3＝55°，． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出∠3的度数是解决本题的关键． 9．（2024秋•义乌市校级月考）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO＝90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B'点，当A'B'∥OE时，恰好CB'平分∠OCE，若∠CB'A'＝124°，则∠COE＝ 　22　°． 【分析】延长CB′交OE于点K，先根据平行线的性质求出∠OKC＝∠CB′A′，进而求出∠CKE，根据直角三角形两锐角互余求出∠ECK，由角平分线定义得到∠ECO＝2∠ECK，即可求出∠COE的度数． 【解答】解：如图，延长CB′交OE于点K， ∵A′B′∥OE， ∴∠OKC＝∠CB′A′＝124°， ∴∠CKE＝180°﹣124°＝56°， ∵∠CEO＝90°， ∴∠ECK＝90°﹣56°＝34°， ∵CB′平分∠OCE， ∴∠ECO＝2∠ECK＝68°， ∴∠COE＝90°﹣∠ECO＝22°． 故答案为：22． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠OKC＝∠CB′A′． 10．（2023春•杭州期中）如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）当∠A＝52°时，∠ABN的度数是 　128°　，∠CBD的度数是 　64°　； （2）当∠A＝x°时，求∠CBD的度数（用含x的式子表示）； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD，∠A＝x°时，求∠ABP的度数（用含x的代子表示）． 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABN＝124°，然后根据角平分线的定义可得∠CBD∠ABN，即可解答； （2）根据平行线的性质可得∠ABN＝180°﹣x，然后利用（1）的结论进行计算即可解答； （3）根据三角形内角和定理和已知可得∠ABC＝∠ADB，然后利用平行线的性质可得∠ADB＝∠DBN，从而可得∠ABC＝∠DBN，再利用角平分线的定义可得∠ABP＝∠NBP∠ABN，最后利用（2）的结论进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝128°， ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠NBP， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP ∠ABP∠NBP （∠ABP+∠NBP） ∠ABN ＝64°， ∴∠CBD＝64°， 故答案为：128°；64°； （2）当∠A的度数为x时， ∵AM∥BN， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣x， 由（1）得： ∠CBD∠ABN（180°﹣x）＝90°x， ∴∠CBD的度数为90°x； （3）∵∠ACB＝∠ABD，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∠ABD+∠A+∠ADB＝180°， ∴∠ABC＝∠ADB， ∵AM∥BN， ∴∠ADB＝∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠ABP＝2∠ABC，∠NBP＝2∠DBN， ∴∠ABP＝∠NBP∠ABN， ∵∠A的度数为x， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣x， ∴∠ABP＝90°x． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型六　平行线的性质与判定的综合 例题： 1．（2024春•义乌市校级月考）义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝53°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行． A．62 B．65 C．75 D．115 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝62°，∠BAC＝53°， ∴∠ACB＝65°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝65°时，AM∥CB． 故选：B． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 2．（2024春•西湖区期末）如图，∠AEF＝∠C，∠AFD+∠EDF＝180°，则下列结论中正确的是（　　） A．∠BFD＝∠A B．∠AFE＝∠EDC C．∠A+∠AFD＝180° D．∠FDE＝∠CED 【分析】根据平行线的判定与性质并结合图形，逐一判断即可解答． 【解答】解：∵∠AEF＝∠C， ∴EF∥BC， ∴∠AFE＝∠B， ∵∠AFD+∠EDF＝180°， ∴AB∥DE， ∴∠B＝∠EDC， ∴∠AFE＝∠EDC， ∵AC和DF不一定平行， ∴∠BFD和∠A不一定相等，∠A和∠AFD不一定互补，∠FDE和∠CED不一定相等， 故A、C、D不正确，B正确， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 3．（2024春•鹿城区校级期中）如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝129°，则∠3＝　43°　． 【分析】由∠1＝∠2，判定AB∥CD，得到∠3＝∠4，∠AEF＝∠2，再由角平分线的定义得到∠2＝2∠4，可求出∠4＝43°，即可得解． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴∠3＝∠4，∠AEF＝∠2， ∵EG是∠AEF的角平分线， ∴∠AEF＝∠2＝2∠4， ∵∠2+∠4＝129°， ∴∠4＝43°， ∴∠3＝43°， 故答案为：43°． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 4．（2024春•金华期末）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠　B　＝60°．（　两直线平行，同位角相等　） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠　ADC　＝180°．（　两直线平行，同旁内角互补　） ∴∠　ADC　＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE∠ADC120°＝60°．（　角平分线定义　） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（　内错角相等，两直线平行　） 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AD∥BC，（已知） ∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等） ∵∠1＝∠C，（已知） ∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换） ∵AD∥BC，（已知） ∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质） ∵DE平分∠ADC，（已知） ∴∠ADE∠ADC120°＝60°．（角平分线的定义） ∴∠1＝∠ADE．（等量代换） ∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．） 故答案为：B；两直线平行，同位角相等；ADC；两直线平行，同旁内角互补；ADC；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 5．（2024春•拱墅区校级期中）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点， 且∠1＝∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数． 【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠C，由∠1＝∠A，得∠C＝∠1，即可得出结论； （2）由三角形的外角公式可求出∠D，AB∥DC可推得∠D＝∠B． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C （ 两直线平行，内错角相等 ）， 又∵∠1＝∠A， ∴∠C＝∠1， ∴FE∥OC（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠BFE＝∠1+∠D， ∴∠D＝∠BFE﹣∠1＝110°﹣60°＝50°， 又∵∠B＝∠D， ∴∠B＝50°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 巩固训练 6．（2024春•义乌市月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④ 【分析】过点H作HQ∥AB，设∠NEB＝x，∠HGC＝y，利用猪脚模型、锯齿模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB//CD， ∴①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB，∠GHQ＝∠HGC， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 7．（2024春•义乌市校级月考）如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F＝∠FND＝2∠EMB，则∠F的度数是（　　） A．60° B．72° C．120° D．144° 【分析】过点F作FH∥AB，可得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数． 【解答】解：如图，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∴∠EMB＝∠EFH，∠HFN+∠FND＝180°， ∵∠EFN＝∠FND＝2∠EMB， ∴， ∴， ∴， ∴∠EFN＝120°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 8．（2024春•蓬江区校级月考）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止．此时射线PB也停止旋转，若射线QC先转60秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 　15或50或105或110　秒时，PB′∥QC′． 【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求． 【解答】解：当PB'∥QC'，则∠PB'Q＝∠CQC'，如图： ∵AB∥CD， ∴∠PB'Q＝∠BPB'． ∴∠CQC'＝∠BPB'． 设光线PB旋转时间为t秒， ∴60×1+t＝5t． 解得：t＝15． 当PB'∥QC'，则∠CQC'＝∠PB'C，如图： ∵AB∥CD， ∴∠PB'Q＝∠BPB'． ∴∠BPB'＝∠CQC'． 设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回， ∴∠APB'＝5t°﹣180°． ∴∠BPB'＝180°﹣∠APB'＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°． ∴360﹣5t＝60×1+t． ∴t＝50； 当光线PB再次往返时，得： 5t﹣360＝60+t， 解得：t＝105； 当光线PB第二次由PA处返回时， 720﹣5t＝60+t， 解得：t＝110， 综上，光线PB旋转的时间为15或50或105或110秒． 故答案为：15或50或105或110秒． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键． 9．（2024春•龙湾区校级期中）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠BED． （1）请说明DE∥BC的理由． （2）若DE平分∠ADC，∠BED＝120°时，求∠ADE的度数． 【分析】（1）先根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠B+∠C＝180°，进而得到∠B+∠BED＝180°，即可得到DE∥BC； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得∠AED＝∠EDC＝60°，再根据角平分线的定义即可得到结果． 【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝∠BED， ∴∠B+∠BED＝180°， ∴DE∥BC； （2）∵∠BED＝120°， ∴∠AED＝60°， ∵AB∥CD ∴∠AED＝∠EDC＝60°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC＝60°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，解题时要明确：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 10．（2024秋•沭阳县期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）求证：HG∥AE． （2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数． 【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB＝∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论； （2）求出∠AEB＝70°，由平行线的性质进而得出答案． 【解答】（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF， ∵EG平分∠CEF， ∴∠FEG＝∠CEG， ∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°， ∴AE⊥EG， ∵HG⊥EG， ∴HG∥AE； （2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°， ∴∠AEB＝70°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE＝70°， ∵HG∥AE， ∴∠DHG＝∠DAE＝70°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质和矩形的性质是解题的关键． 题型七　图形的平移 例题： 1．（2024春•开化县期中）如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（　　） A．BC B．BF C．BE D．CE 【分析】根据平移的概念判断即可． 【解答】解：∵△ABC沿射线BC平移得到△DEF， ∴点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴线段BE、CF可表示平移距离， 故选：C． 【点评】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 2．（2024春•莲都区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，已知点A，D之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平移的性质得到BE＝CF＝AD＝1，然后计算EC即可． 【解答】解：∵三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF，AD＝1， ∴BE＝CF＝AD＝1， ∵BF＝4， ∴EC＝BF﹣BE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 3．（2024春•越城区期末）如图，在6×6的网格中，可通过平移其中一个三角形得到另一个三角形．则下列各种平移过程，不正确的是（　　） A．将△ABC先向右平移3格，再向上平移2格得到△A′B′C' B．将△ABC先向上平移2格，再向右平移3格得到△A′B′C' C．将△A′B′C'先向右平移3格，再向下平移2格得到△ABC D．将△A′B′C'先向下平移2格，再向左平移3格得到△ABC 【分析】根据所给图形，得出平移的方式，对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 将△ABC向上平移2格，再向右平移3格得到△A′B′C'， 所以AB选项不符合题意． 将△A′B′C'向下平移2格，再向左平移3格得到△ABC， 所以D选项不符合题意，C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知图象平移的性质是解题的关键． 4．（2024•新昌县一模）如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 　18　． 【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解． 【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝CF＝2， ∴四边形ABFD的周长 ＝AB+BC+DF+CF+AD ＝△ABC的周长+AD+CF ＝12+3+3 ＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形ABFD的周长是解题的关键． 巩固训练 5．（2024春•慈溪市期中）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移4个单位长度得到三角形DEF，CG＝3，EF＝7，则图中阴影部分的面积为　22　． 【分析】根据平移的性质可得S△DEF＝S△ABC，则阴影部分的面积＝梯形BEFG的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【解答】解：∵Rt△ABC沿AB的方向平移AD距离得△DEF， ∴EF＝BC＝7，S△DEF＝S△ABC，BE＝4， ∴S△ABC﹣S△DBG＝S△DEF﹣S△DBG， ∴S四边形ACGD＝S梯形BEFG， ∵CG＝3， ∴BG＝BC﹣CG＝7﹣3＝4， ∴S梯形BEFG（BG+EF）•BE（4+7）×4＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式． 6．（2024春•江山市期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将三角形ABC沿AB方向平移2cm得到三角形DEF． （1）求∠E的度数． （2）若AE＝8cm，求出DB的长． 【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝55°，然后根据平移的性质确定∠E的值； （2）根据平移的性质得到AB＝DE，则AD＝BE，然后利用AD+BD+BE＝AE，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝35° ∴∠ABC＝90°﹣35°＝55°， ∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF， ∴∠E＝∠ABC＝55°； （2）∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF， ∴AB＝DE， ∴AD＝BE＝2cm， ∵AD+BD+BE＝AE＝8cm， ∴DB＝4cm． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 7．（2024春•上城区校级期中）如图，在边长为1的方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′． （1）补全△A′B′C′； （2）这个平移过程可以看作△ABC先向 　左　平移 　5　个单位，再向 　下　平移 　2　个单位； （3）求线段AB平移过程中扫过的面积S． 【分析】（1）根据点B和点B′的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． （2）根据（1）所画图形即可解决问题． （3）根据平移的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示， （2）由（1）中所画图形可知， 将△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度可得△A′B′C′． 故答案为：左，5，下，2． （3）连接AA′和BB′， 则线段AB扫过的面积S＝8×9﹣222×2×4＝22， 所以线段AB平移过程中扫过的面积S为22． 【点评】本题考查平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$