专题突破：平行线常见模型专题训练-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙教版2024）

专题突破：平行线常见模型及其辅助线 一、平行线常见模型 1、猪蹄型： 2、铅笔型： 3、锄头型 4、其他型 二、平行线问题常见辅助线 ①过“拐点”做已知平行线的平行线 ②延长使两条平行线被第三条直线所截 题型一 猪蹄模型针对训练 【例1】．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　 　． 【变式1-1】．（2024春•新昌县期末）李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 【变式1-2】．（2024春•余姚市期中）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式1-3】．（2024春•诸暨市校级月考）如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝36°，∠D＝108°． ①如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 题型二 铅笔模型针对训练 【例2】．（2024春•金华期中）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板DE∥AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°，则∠BCD＝　 　；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中∠B，∠BCE大小不变，∠BAF＝148°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，则∠DCD'＝　 　． 【变式2-1】．（2024春•西湖区校级期中）如图，FG∥HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝32°，则∠FDB的度数为（　　） A．32° B．38° C．42° D．44° 【变式2-2】．（2024春•拱墅区校级月考）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）． （1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN） （2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°； （3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值 【变式2-3】．（2023春•永嘉县期中）把一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）放在两条平行线AB，CD之间． （1）如图1，若三角形的60°角的顶点G放在CD上，且∠2＝2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请直接写出∠AEG与∠CFG的数量关系． 题型三 其他模型针对训练 【例3】．（2023春•吴兴区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1 【变式3-1】．（2023•滨江区校级模拟）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（　　） A．61° B．60° C．59° D．58° 【变式3-2】．（2024春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接CE，若∠C＝46°，∠A＝116°，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式3-3】．（2024春•诸暨市校级月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE． （1）求∠α与∠β的度数； （2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （3）求∠C的度数． 【变式3-4】．（2024春•浦江县期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点A、C，已知∠PAC＝70°，点P是射线AB上的一个动点（不包括端点A）． （1）若点E是直线CD上点C右侧一点，且∠AEC＝50°，当∠APC＝50°时，求证：PC∥AE． （2）若将△APC沿PC折叠，使顶点A落在点F处． ①若点F刚好在直线CD上，求：∠APC的度数． ②若点F落在两平行线之间，且，求：∠APC的度数． 题型四 常见辅助线的应用 【例4】．（2024春•苍南县期中）如图，已知AB∥CD，EF平分∠AEN，连接FN交CD于点M，若∠CMF＝40°，∠AEF＝70°，则∠ENM的度数为（　　） A．80° B．70° C．90° D．110° 【变式4-1】．（2024春•义乌市校级月考）如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F＝∠FND＝2∠EMB，则∠F的度数是（　　） A．60° B．72° C．120° D．144° 【变式4-2】．（2024春•桐乡市月考）如图，AB∥EF，，，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° 【变式4-3】．（2024春•平湖市期末）如图，直线AB∥CD，点E，M分别在直线AB，CD上，点N在两平行线之间，连接NE，NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG交直线CD于点F．若∠BEN＝150°，则∠NGD﹣∠MNF的度数为（　　） A．90° B．105° C．120° D．150° 【变式4-4】．（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：平行线常见模型及其辅助线 一、平行线常见模型 1、猪蹄型： 2、铅笔型： 3、锄头型 4、其他型 二、平行线问题常见辅助线 ①过“拐点”做已知平行线的平行线 ②延长使两条平行线被第三条直线所截 题型一 猪蹄模型针对训练 【例1】．（2024春•慈溪市期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG与∠FHG的平分线交于点M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，则∠M＝　32°　． 【分析】过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，根据已知易得：AB∥GN∥MP∥KH∥CD，再利用锯齿模型可得∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD＝104°，然后利用角平分线的定义可得∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF，从而可得∠AEM+∠MHF＝52°，进而可得∠AEM+∠MHK＝32°，最后利用猪脚模型可得∠EMH＝∠AEM+∠MHK＝32°，即可解答． 【解答】解：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD， ∵GN∥AB， ∴∠AEG＝∠EGN， ∵GN∥KH， ∴∠GHK＝∠NGH， ∵KH∥CD， ∴∠KHF＝∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF＝∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠GHF＝∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°， ∴∠AEG+∠GHF＝104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠GHF， ∴∠AEM∠AEG，∠MHF∠GHF， ∴∠AEM+∠MHF（∠AEG+∠GHF）＝52°， ∵∠KHF＝20°， ∴∠AEM+∠MHK＝32°， ∵MP∥AB∥KH， ∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK＝∠EMP+∠PMH＝32°， 即∠EMH＝32°， 故答案为：32°． 【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-1】．（2024春•新昌县期末）李四在学习“平行线”的知识后，将手中的等腰直角三角形摆放在直尺上，如图所示，则∠1与∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+∠2＝90° D．2∠1+∠2＝180° 【分析】过点E作EF∥AB，先根据猪脚模型可得∠GEH＝∠3+∠4＝90°，然后利用对顶角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，从而利用等量代换可得∠1+∠2＝90°，即可解答． 【解答】解：如图：过点E作EF∥AB， ∴∠5＝∠3， ∵AB∥CD， ∴∠EF∥CD， ∴∠6＝∠4， ∵∠GEH＝∠5+∠6＝90°， ∴∠3+∠4＝90°， ∵∠3＝∠1，∠4＝∠2， ∴∠1+∠2＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式1-2】．（2024春•余姚市期中）如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠1＝10°，那么∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】过点A作AB∥b，利用猪脚模型进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：过点A作AB∥b， ∴∠1＝∠DAB＝10°， ∵∠DAC＝60°， ∴∠CAB＝∠DAC﹣∠DAB＝50°， ∵a∥b， ∴AB∥a， ∴∠2＝∠CAB＝50°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键． 【变式1-3】．（2024春•诸暨市校级月考）如图，已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD之间的点． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝36°，∠D＝108°． ①如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【分析】（1）：过点E作EM∥AB，则EM∥AB∥CD，然后根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM，∠D＝∠DEM，即可解题； （2）①如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥FP∥CD，可得∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得，，由三角形的内角和定理可得∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝∠3—∠2，结合①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°，从而可得∠P＝18°． 【解答】解：（1）过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠B＝∠BEM，∠D＝∠DEM， ∴∠B+∠D＝∠BE+∠DEM＝∠BED＝100°； （2）①∠EFD﹣∠BEF＝36°，是定值，理由如下： 如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EN∥FP∥CD，而∠B＝36°，∠D＝108°， ∴∠1＝∠B＝36°，∠4＝180°﹣∠D＝72°，∠3＝∠2， ∴∠EFD﹣∠BEF＝∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝∠4﹣∠1＝72°﹣36°＝36°； ②如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴， ∴∠P＝180°﹣（∠2+∠PFE）＝180°﹣（∠2+180°﹣∠3）＝∠3﹣∠2， ∵由①得：∠EFD﹣∠BEF＝36°， ∴， ∴∠P＝18°． 【点评】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 题型二 铅笔模型针对训练 【例2】．（2024春•金华期中）图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板DE∥AF，∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°，则∠BCD＝　43°　；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中∠B，∠BCE大小不变，∠BAF＝148°，再顺时针调整平板DE至D′E′，使得D′E′∥AF，则∠DCD'＝　75°　． 【分析】如图2：过点B作BG∥AF，利用铅笔模型可得∠A+∠ABC+∠BCE＝360°，然后进行计算即可解答；如图3：延长FA交BC于点H，先利用三角形的外角性质可得∠AHB＝62°，然后利用平行线的性质可得∠AHB＝∠BCE′＝62°，从而利用角的和差关系可得∠ECE′＝75°，最后利用对顶角相等即可解答． 【解答】解：如图2：过点B作BG∥AF， ∴∠A+∠ABG＝180°， ∵AF∥DE， ∴DE∥BG， ∴∠CBG+∠BCE＝180°， ∴∠A+∠ABG+∠CBG+∠BCE＝360°， ∴∠A+∠ABC+∠BCE＝360°， ∵∠BAF＝∠BCE，∠B＝86°， ∴∠BAF＝∠BCE＝137°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝43°； 如图3：延长FA交BC于点H， ∵∠BAF是△ABH的一个外角， ∴∠AHB＝∠BAF﹣∠B＝148°﹣86°＝62°， ∵AF∥D′E′， ∴∠AHB＝∠BCE′＝62°， ∵∠BCE＝137°， ∴∠ECE′＝∠BCE﹣∠BCE′＝137°﹣62°＝75°， ∴∠ECE′＝∠DCD′＝75°， 故答案为：43°；75°． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2-1】．（2024春•西湖区校级期中）如图，FG∥HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝32°，则∠FDB的度数为（　　） A．32° B．38° C．42° D．44° 【分析】过点B作BN∥FG，根据平行线的性质得∠FDB+∠BAH＝90°，设∠FDB＝α，用含有α的式子表示角，根据∠I的大小列出关于α的方程，于是得到结论． 【解答】解：如图，过点B作BN∥FG，则BN∥HK， ∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN， ∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°， 设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CAK＝180°﹣∠BAH﹣∠BAC＝α+30°， ∵点I在∠EDC的平分线上，且∠CAI：∠KAI＝1：3， ∴∠IDG，∠IAK（α+30°）， ∵FG∥HK， ∴∠DGA＝∠IAK（α+30°）， ∵∠I＝32°， ∴∠I+∠IDG＝32°∠DGA（α+30°）， ∴α＝38°， 即∠IAK的度数为38°， 故选：B． 【点评】本题主要查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解决本题的关键． 【变式2-2】．（2024春•拱墅区校级月考）如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α（α为锐角）． （1）求∠NAD与∠PBD的和；（提示过点D作EF∥MN） （2）当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°； （3）当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值 【分析】（1）过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE，EF∥OP，依据平行线的性质可得到∠PBD＝∠BDE，则∠NAD+∠PBD＝∠ADB，最后，依据垂线的定义求解即可；（2）由（1）得∠NAD＝90°﹣∠PBD，然后结合∠OBD+∠PBD＝180°，进行证明即可； （3）先求得∠OBD的度数（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE． ∵MN∥OP，EF∥MN， ∴EF∥OP． ∴∠PBD＝∠BDE， ∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠NAD+∠PBD＝90°． （2）由（1）得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD． ∵∠OBD+∠PBD＝180°， ∴∠OBD＝180°﹣∠PBD， ∴∠OBD﹣∠NAD＝（180°﹣∠PBD）﹣（90°﹣∠PBD）＝90°． （3）若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA． ∵OP∥MN， ∴∠OBA＝∠NAB＝2α， ∴∠OBD＝4α． 由（2）知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°． 【点评】本题主要考查的是平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 【变式2-3】．（2023春•永嘉县期中）把一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）放在两条平行线AB，CD之间． （1）如图1，若三角形的60°角的顶点G放在CD上，且∠2＝2∠1，求∠1的度数； （2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系； （3）如图3，若把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上，请直接写出∠AEG与∠CFG的数量关系． 【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1＝∠EGD，再根据∠2＝2∠1，∠FGE＝60°，即可得出，进而得到∠1＝40°； （2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE＝180°，再根据∠FEG+∠EGF＝90°，即可得到∠AEF+∠FGC＝90°； （3）依据AB∥CD，可知∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝∠AEG﹣30°，∠CFE＝∠CFG﹣90°，即可求出∠AEG+∠CFG＝300°． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1＝∠EGD， ∵∠2＝2∠1， ∴∠2＝2∠EGD， 又∵∠FGE＝60°， ∴， ∴∠1＝40°； （2）∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE＝180°， 即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°， 又∵∠FEG+∠EGF＝90°， ∴∠AEF+∠FGC＝90°； （3）∠AEG+∠CFG＝300°．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴∠AEG﹣∠FEG+∠CFG﹣∠EFG＝180°， ∵∠FEG＝30°，EFG＝90°， ∴∠AEG﹣30°+∠CFG﹣90°＝180°， ∴∠AEG+∠CFG＝300°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 题型三 其他模型针对训练 【例3】．（2023春•吴兴区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　） A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2 C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1 【分析】根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC＝180°，∠BDC+∠1＝∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2， ∵EF∥CD， ∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1， ∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1， 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补． 【变式3-1】．（2023•滨江区校级模拟）如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（　　） A．61° B．60° C．59° D．58° 【分析】根据三角形外角的性质∠DBC＝∠A+∠2，欲求∠1，需求∠DBC．根据平行线的性质，由a∥b，得∠1＝∠DBC，从而解决此题． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠1＝∠DBC， ∵∠DBC＝∠A+∠2， ＝28°+31° ＝59°． 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键． 【变式3-2】．（2024春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接CE，若∠C＝46°，∠A＝116°，则∠E的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据平行线的性质求出∠EFD，根据三角形外角的性质可得∠E的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠A＝116°， ∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝116°﹣46°＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式3-3】．（2024春•诸暨市校级月考）如图∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE． （1）求∠α与∠β的度数； （2）判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （3）求∠C的度数． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可得到答案； （2）证明AB∥EF，结合CD∥EF，可得结论； （3）先证明∠CAE＝90°，∠C+∠CAB＝180°，从而可得答案． 【解答】解：（1）由， ①﹣②得：3∠α＝120°， 解得∠α＝40°， 把∠α＝40°代入②得∠β＝140°； （2）AB∥CD． 理由如下：∵∠α＝40°，∠β＝140°， ∴∠α+∠β＝180°， ∴AB∥EF， 又∵CD∥EF， ∴AB∥CD； （3）∵AC⊥AE． ∴∠CAE＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠CAB＝180°， ∴∠C＝180°﹣90°﹣40°＝50°． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，平行线的性质与判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定方法是解本题的关键． 【变式3-4】．（2024春•浦江县期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点A、C，已知∠PAC＝70°，点P是射线AB上的一个动点（不包括端点A）． （1）若点E是直线CD上点C右侧一点，且∠AEC＝50°，当∠APC＝50°时，求证：PC∥AE． （2）若将△APC沿PC折叠，使顶点A落在点F处． ①若点F刚好在直线CD上，求：∠APC的度数． ②若点F落在两平行线之间，且，求：∠APC的度数． 【分析】（1）利用平行线的性质可证； （2）①②由折叠可得∠FCP＝∠ACP，再由两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠APC＝∠PCD＝50°， ∵∠AEC＝50°， ∴∠PCD＝∠AEC， ∴PC∥AE； （2）解：①如图，由折叠可知∠FCP＝∠ACP， ∵AB∥CD，∠PAC＝70°， ∴∠ACF＝110°， ∴∠FCP＝∠ACP＝55°， ∵AB∥CD， ∴∠APC＝55°； ②如图，由折叠可知，∠ACP＝∠PCF， ∵， ∴∠ACP＝∠PCF＝2FCD， ∴∠DCA＝5∠FCD， ∵AB∥CD，∠PAC＝70°， ∴∠DCA＝110°， ∴∠FCD＝22°， ∴∠APC＝∠DCP＝3∠FCD＝66°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解决本题的关键． 题型四 常见辅助线的应用 【例4】．（2024春•苍南县期中）如图，已知AB∥CD，EF平分∠AEN，连接FN交CD于点M，若∠CMF＝40°，∠AEF＝70°，则∠ENM的度数为（　　） A．80° B．70° C．90° D．110° 【分析】延长FN交AB于点G，利用平行线的性质可得∠CMF＝∠AGF＝40°，然后利用角平分线的定义可得∠AEN＝140°，从而利用平角定义可得∠NEG＝40°，最后再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：延长FN交AB于点G， ∵AB∥CD， ∴∠CMF＝∠AGF＝40°， ∵EF平分∠AEN， ∴∠AEN＝2∠AEF＝140°， ∴∠NEG＝180°﹣∠AEN＝40°， ∵∠ENM是△ENG是三角形的一个外角， ∴∠ENM＝∠AGF+∠NEG＝80°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式4-1】．（2024春•义乌市校级月考）如图，AB∥CD，射线FE，FG分别与AB，CD交于点M，N，若∠F＝∠FND＝2∠EMB，则∠F的度数是（　　） A．60° B．72° C．120° D．144° 【分析】过点F作FH∥AB，可得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数． 【解答】解：如图，过点F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∴∠EMB＝∠EFH，∠HFN+∠FND＝180°， ∵∠EFN＝∠FND＝2∠EMB， ∴， ∴， ∴， ∴∠EFN＝120°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式4-2】．（2024春•桐乡市月考）如图，AB∥EF，，，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（　　） A．58° B．60° C．62° D．64° 【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可． 【解答】解：过C作CQ∥AB， ∵AB∥EF， ∴AB∥EF∥CQ， ∴∠ABC+∠BCQ＝180°，∠EFC+∠FCQ＝180°， ∴∠ABC+∠BCF+∠EFC＝360°， ∵∠FCD＝60°， ∴∠BCF＝120°， ∴∠ABC+∠EFC＝360°﹣120°＝240°， ∵，， ∴∠ABP+∠PFE＝60°， ∴∠P＝60°． 故选：B． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用． 【变式4-3】．（2024春•平湖市期末）如图，直线AB∥CD，点E，M分别在直线AB，CD上，点N在两平行线之间，连接NE，NM，过点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG交直线CD于点F．若∠BEN＝150°，则∠NGD﹣∠MNF的度数为（　　） A．90° B．105° C．120° D．150° 【分析】过点N作NH∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补继而得出∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°，再由角平分线的意义得出∠ENG＝∠GNM，继而得出∠GNM+∠NFG＝120°，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：过点N作NH∥AB， ∴∠BEN+∠ENH＝180°， ∵AB∥CD， ∴NH∥CD， ∴∠HNF+∠NFG＝180°， ∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°， ∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°， ∵∠BEN＝150°， ∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝210°， ∵NG平分∠ENM， ∴∠ENG＝∠GNM， ∴2∠GNM+∠MNF+∠NFG＝210°， ∵NF⊥NG， ∴∠GNM+∠MNF＝90°＝∠GNF， ∴∠GNM+90°+∠NFG＝210°， ∴∠GNM+∠NFG＝120°， ∵∠NGD＝∠GNM+∠MNF+∠NFG， ∴∠NGD﹣∠MNF＝∠GNM+∠NFG＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的意义，垂线的性质等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式4-4】．（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 【分析】根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠C＝α， ∵GE平分∠BGC， ∴∠BGE＝∠CGE∠BGCα， 如图，当点P在AB和CD之间时，过点P作PM∥AB， ∴∠BGE＝∠GPMα， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠MPH＝∠PHC＝∠GPH﹣∠GPM＝∠GPHα， ∴∠GPH﹣∠PHCα，故A不符合题题意； 当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB， ∴∠FGA＝∠BGEα， ∵PN∥AB， ∴∠FPN＝∠FGAα， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠NPH＝∠PHC， ∵∠FPN+∠NPH+∠GPH＝180°， ∴α+∠PHC+∠FPH＝180°，故C不符合题题意；D符合题意； 当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB， ∴∠FPK＝∠AGFα， ∵AB∥CD， ∴PK∥CD， ∴∠CHP＝∠HPK， ∵∠GPH+∠KPH＝∠GPKα， ∴∠GPH+∠KPHα，故B不符合题题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，分类讨论思想，根据题意正确分类并根据平行性的性质得出角度之间的关系是解题关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$