精品解析： 内蒙古呼和浩特市赛罕区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.若两条较短边的和小于或等于最长边，则不能构成三角形，据此分析即可. 【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不符题意 B、，不满足三角形的三边关系，不符题意 C、，满足三角形的三边关系，符合题意 D、，不满足三角形的三边关系，不符题意 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三角形的三边关系是解题关键. 2. 如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的稳定性直接回答即可． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以非常方便的使用它上网课，这样做的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 【点睛】考查了三角形的稳定性，解题的关键是从图形中抽象出三角形模型，难度不大． 3. 画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是BC边上的高， ∴表示△ABC中BC边上的高的是D选项． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．解题时注意：钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 4. 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 有一个角是100，底边相等的两个等腰三角形 D. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与等腰三角形的性质对各项进行判断即可． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误； B、两个等边三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误； C、100°角只能是两个等腰三角形的顶角，可知底角也相等，由于底相等，利用“ASA”可证得此两个三角形全等，故此选项正确； D、没有指明边是腰还是底，角是顶角还是底角，不能证明全等，故此选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定，解答的关键是掌握等腰三角形的性质、熟知全等三角形的判定方法． 5. 下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得，则依据可得的长． 【详解】解：，与是对应角，与是对应边， ， 又， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． 7. 如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A.根据，可知，再由平分可知，在与中，，，可求出，由可求出，故可求出； B.由选项Ａ中可直接得出结论； C.由选项Ａ中可知，，故，，在中，，根据可知，，即可求出，即； D.由选项Ｃ可知，是等腰三角形，由于，故，在中，若，则，与选项Ｂ中相矛盾，故； 【详解】解：A.，， ， 平分， ， 在与中，，， ， ，，， ， ； 故选项A正确； B.选项A中， ， 故选项B正确； C.选项A中， ，， ， 在中，， ， ， ，即， 故C正确； D.由选项C可知，是等腰三角形， ， ， 在中，若，则，与选项B中相矛盾， 故， 故选项D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键． 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用含t的代数式表示CM=3t，BM=10-3t,BN=3t，分两种情况：当∠BMN=90°时，根据等边三角形的性质可知∠B=60°，则∠BNM=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可知BN=2BM，即3t=2×（10-3t），即可求得t的值；当∠BNM=90°时，同理可求t的值. 【详解】点M、N都以3cm/s的速度运动 则CM=3t，BM=10-3t,BN=3t, 当∠BMN=90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BNM=30° ∴BN=2BM，即3t=2×（10-3t） 解得： 当∠BNM=90°时，∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠BMN=30° ∴BM=2B2，即2×3t=（10-3t） 解得： 综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形 故选D 【点睛】本题考查了三角形动点问题，难度较大，考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识点，熟练掌握各个性质定理以及分类讨论思想是解题关键. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 正十边形一个外角的度数是________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可． 【详解】解：正十边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 10. 如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 11. 如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是______________. 【答案】21或18 【解析】 【分析】根据题意要根据腰的情况分类讨论，第一当腰为5cm是计算周长；第二当腰为8cm计算周长. 【详解】解：根据题意可得第一当腰为5cm时，周长为：5+5+8=18； 当腰为8cm时，周长为:8+8+5=21 故答案为21或18 【点睛】本题主要考查等腰三角形的腰的分类讨论，这是数学中最常用的思想，必须掌握理解. 12. 已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系判断：，，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出，是解题的关键． 13. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图得到垂直平分，平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再利用三角形内角和定理计算出，则，然后利用角平分线的定义求解． 【详解】解：由作图得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质及角平分线的定义． 14. 点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相同；是解本题的关键． 根据关于x轴对称对称的两个点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，，垂足分别为D，E．若，，则DE的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题目条件证明，进而得到，，于是根据即可得到答案． 【详解】解：， ， ,， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，中，，，平分交于，于点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中结论正确的是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】过作于，可得，进而证明，即可判断①，作，交于，证明，可得，根据等腰三角形的性质与判定得出，，进而判断②③；过作于，证明，则，进而得出，即可判断④ 【详解】解：过作于， ，平分， ， 在，中， ∴ ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，①错误； 作，交于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②正确，③正确； 过作于， ， ， ， 平分，，， ， 在和中 ，，， ， ， 在中， ， ， ∴， ∴④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和外角性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并用坐标表示_____，_____，_____； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，为所作 ，， （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形－轴对称变换，关键是正确确定出图形的对称点的位置． （1）找出关于x轴对称的图形，顺次连接各顶点，并写出其坐标即可； （2）根据割补法，利用网格求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，将补充梯形 ∴，，，，， ． 故答案为：9． 18. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由推导出，即可由全等三角形判定定理证明，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 19. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CD是中线．求证：BE＝CD． 【答案】 证明：∵、是中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【解析】 【分析】由中线性质得，，再证，由，得≌，可证. 【详解】略 【点睛】本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：灵活运用全等三角形判定和性质证线段相等. 20. 如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD． 【答案】 如图所示，过点E作EF⊥BC交BC于F， ∵BE平分∠ABC，∠A=90°，EF⊥BC， ∴AE=FE，∠EFC=∠D=90°， 又∵BE=BE， ∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL）， ∴AB=FB， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE=FE， 又∵CE=CE， ∴Rt△CED≌Rt△CEF（HL）， ∴CD=CF， ∴BC=BF+CF=AB+CD． 【解析】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥BC交BC于F，由角平分线的性质得到AE=FE，即可证明Rt△AEB≌Rt△FEB得到AB=FB，再证明Rt△CED≌Rt△CEF得到CD=CF，即可推出BC=BF+CF=AB+CD． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长． 【答案】（1）60°；（2）8 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE=15°，再利用角平分线定义得到∠ABC=2∠ABE=30°，然后根据高的定义和互余可求出∠BAF的度数； （2）先根据中线定义得到BC=2BD=10，然后利用三角形面积公式求AF的长． 【详解】（1）∵∠BED=∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE=40°-25°=15°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=30°， ∵AF为高， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°-∠ABF=90°-30°=60°； （2）∵AD为中线， ∴BD=CD=5， ∵S△ABC=AF•BC=40， ∴AF==8． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． 22. 如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：； （2） 解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用证明，进而可得，然后利用三线合一即可得出结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，即可得出的形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三线合一，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． 23. 如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP； （2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ， 证明：延长BQ交AP于G， 由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°， ∴∠PQC=45°=∠QPC， ∴CQ=CP， ∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC， ∴在△BCQ和△ACP中 ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBQ+∠BQC=90°， ∵∠CQB=∠AQG， ∴∠AQG+∠PAC=90°， ∴∠AGQ=180°-90°=90°， ∴AP⊥BQ； （3）成立． 证明：如图，∵∠EPF=45°， ∴∠CPQ=45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP=∠CPQ， CQ=CP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ=AP； 延长BQ交AP于点N， ∴∠PBN=∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC=∠APC． 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°， ∴∠APC+∠PBN=90°． ∴∠PNB=90°． ∴BQ⊥AP． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可； （2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可； （3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样． 【详解】（1）AB=AP且AB⊥AP， 证明：∵AC⊥BC且AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=, 又∵△ABC与△EFP全等， 同理可证∠PEF=45°， ∴∠BAP=45°+45°=90°， ∴AB=AP且AB⊥AP； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在上网课时把平板放在三角形支架上用到的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 3. 画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） A. 两个等腰直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 有一个角是100，底边相等的两个等腰三角形 D. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 5. 下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5 7. 如图，在中，，，平分，交的延长线于F，垂足为E．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB=AC=BC=10cm，DC=4cm．如果点M、N都以3cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 正十边形一个外角的度数是________． 10. 如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ___． 11. 如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是______________. 12. 已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为__________． 13. 如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则___________°． 14. 点与点关于轴对称，则______． 15. 如图，在中，，，，，垂足分别为D，E．若，，则DE的长为______． 16. 如图，中，，，平分交于，于点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中结论正确的是______． 三、解答题 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于x轴对称的图形，并用坐标表示_____，_____，_____； （2）求的面积． 18. 如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 19. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CD是中线．求证：BE＝CD． 20. 如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD． 21. 如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD=5，求AF的长． 22. 如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 23. 如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP. （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $