江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在比例尺为1：400000的地图上，两处景点的距离为8cm，则这两处景点的实际距离为(    ) A. B. 32km C. 5km D. 50km 2.三角形内切圆的圆心是(    ) A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 3.如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分分 5 6 7 8 9 10 人数人 2 3 5 ♦ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是(    ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4.已知二次函数的图象经过点，，且存在最高点.请在下列选项中选出一个m的值，使其所对应的函数图象最高点的纵坐标最小.(    ) A. B. C. 1 D. 2 5.已知线段，则平面内与点A的距离为5，且与点B的距离为6的直线有(    ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6.已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.若，则的值为______. 8.方程的解是______. 9.如图，，，，则______. 10.如图，以AB为直径的半圆经过的顶点D，E，点C在AB上，，若，则______ 11.已知关于x的方程的两根为和，则______. 12.某村2022年，2024年水稻的平均每公顷产量分别为7200kg，8450kg，设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则可列方程______. 13.甲、乙、丙三人各自通过APP买到了某演唱会门票，三张票的座位是连续的，记甲乙座位相邻的概率为，甲乙座位不相邻的概率为，则______填“>”“<”或“=”号 14.一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是______. 15.平面内A，B，C，D，E五个点如图.过点______所作的圆的半径最大从中选填三个点 16.如图，在中，，，，以边AB上一点O为圆心，作与边AC相切，若与边BC只有一个公共点，则OA的取值范围是______. 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解下列方程： ； 18.本小题6分 如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证： 19.本小题8分 某足球兴趣小组共有12名球员，每位球员能力值如下： 根据统计图回答问题： 这12名球员能力值的中位数是______分，众数是______分. 将这12名球员分成A，B两组，准备进行对抗练习，具体方案如下： A组球员编号 B组球员编号 方案I ，，，，， ，，，，， 方案Ⅱ ，，，，， ，，，，， 方案Ⅲ ，，，，， ，，，，， 方案IV ，，，，， ，，，，， ①方案I中，球员能力值更稳定的是______填“A组”“B组”或“一样” ②若A，B两组球员能力值的平均数和方差都接近，则认为组内对抗的实战价值更优.在这四个分组方案中，组内对抗的实战价值最优的方案是______填“Ⅰ”“Ⅱ”“Ⅲ”或“Ⅳ” 20.本小题8分 不透明的袋子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，这些球除编号外无其他区别.从袋子中随机摸出2个球，求它们编号之和是偶数的概率. 不透明的袋子中装有9个编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球，这些球除编号外无其他区别.从袋子中随机摸出8个球，它们编号之和是偶数的概率为______. 21.本小题7分 矩形种植区域ABCD如图所示，米，米.现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米. ______米用含x的代数式表示，______米； 求DF的长. 22.本小题7分 已知二次函数为常数 该函数的图象的顶点坐标是______用含m的代数式表示 已知，是该函数图象上的点.若，求m的取值范围. 23.本小题8分 如图，在中，，，BD是的角平分线. 求证∽； 若，求AD的长. 24.本小题9分 已知二次函数，与x的部分对应值如表： x … 0 1 … 6 … … 0 5 8 … … 求该二次函数的表达式，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象. 结合图象，直接写出当时，x的取值范围是______. 在该平面直角坐标系中描出函数的图象. 25.本小题8分 如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点 判断AE与半圆的位置关系，并说明理由. 若，求 26.本小题8分 如图，一台移动喷灌设备喷出的水流可以近似的看作是形状不变的抛物线，喷水头的高度即PA的长是当喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度 求水流喷出的最远水平距离 斜坡ON如图所示，斜坡的水平距离即为27m，竖直高度即为9m，一株高12m的大树在斜坡前方，大树顶端T与MN所在直线的距离为若要使该移动喷灌设备喷出的水流刚好经过大树的顶端T，求该设备与坡底的距离 27.本小题11分 如图，在中，，以AB为直径作，交BC于点D，连接 求证 已知点P，的位置如图所示. ①若过点P的直线l与有两个交点M，N，用两种不同的方法求作直线l，使得要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明 ②设的半径为r，改变点P的位置，①中求作的直线l可能不存在.请直接写出直线l存在时对应的OP的取值范围用含r的代数式表示 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：设这两处景点的实际距离为x厘米， 则：1：：x， 解得， 3200000厘米千米． 故选： 根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 本题考查了比例尺，要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算． 2.【答案】C  【解析】解：因为三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点． 故选： 根据三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．即可解决问题． 本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 3.【答案】C  【解析】解：设得8分的人数为x，9分人数为y， 则，且， 所以当时，，此时中位数为9分，众数为9分，符合题意； 当时，，此时中位数为8分，不符合题意； 当时，，此时中位数为8分、众数为8分和9分，不符合题意； 故成绩得9分的人数是11人， 故选： 设得8分的人数为x，9分人数为y，则，且，再根据中位数和众数的定义逐一求解即可． 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义求解即可． 4.【答案】B  【解析】解：二次函数的图象经过点，，且存在最高点， 二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，， 设， 代入得，， ， ， 顶点的纵坐标为， ， 纵坐标y随m的增大而减小， ， 在四个选项中，时，纵坐标的值最小， 故选： 由题意可知二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，，故可设设，代入得出，即可得到顶点的纵坐标为，根据y与m的关系式即可断． 本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意得出 y与m的关系式是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：作一个以点A为圆心，以5为半径的圆，以B为圆心，以6为半径的圆， 因为， 所以两圆有一个交点，故圆A和圆B相切，其切线有3条． 故选： 分别以点A，B为半径，分别以5和6为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 本题考查了两点之间的距离，直线定义，圆与圆的位置关系，掌握两点之间的距离，直线定义，圆与圆的位置关系是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：根据二次函数图象得出，， 抛物线对称轴为， ， 二次函数的开口向下，与y轴交于正半轴， 函数的图象不可能是A， 故选： 根据二次函数图象得出，，从而判断出二次函数的开口向下，与y轴交于正半轴， 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数性质是关键． 7.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 利用比例的性质，进行计算即可解答． 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8.【答案】0或4  【解析】解：原方程可化为：， ， 解得或4， 故答案为：0或 此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得，即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 9.【答案】10  【解析】解：， ， ， ， ， 故答案为： 根据平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 10.【答案】110  【解析】解：如图，连接BD， 在中，，， ， ， 是半圆的直径， ， ， 四边形ABDE为圆内接四边形， ， 故答案为： 连接BD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11.【答案】1  【解析】解：由根与系数的关系得：， 故答案为： 根据根与系数的关系进行解答即可． 本题主要考查一元二次方程的性质，熟练掌握根与系数的关系是关键． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得： ， 故答案为： 由题意得：第一年水稻产量，第二年水稻产量：，进而可得方程 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 13.【答案】>  【解析】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲乙座位相邻的结果有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共4种，甲乙座位不相邻的结果有：甲丙乙，乙丙甲，共2种， ，， ， 故答案为： 画树状图可得出所有等可能的结果数，以及甲乙座位相邻的结果数、甲乙座位不相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3， 所以这个圆锥的侧面积 故答案为： 根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15.【答案】A、E、C  【解析】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、 要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：如图1，与BC相切于点E，此时与边BC只有一个公共点， ，，， ， 设与AC相切于点D，连接OD、OE，则，， ， ，， ∽，∽， ，， ，， ， ， 解得； 如图2，经过点B，设此时与AC相切于点H，连接OH，则， ， 解得， ， 当，与边BC只有一个公共点， ， ， 综上所述，OA的取值范围是或， 故答案为：或 分两种情况讨论，一是与BC相切于点E，此时与边BC只有一个公共点，由，，，求得，设与AC相切于点D，连接OD、OE，可证明∽，∽，则，，求得，，则，求得；二是经过点B，设此时与AC相切于点H，连接OH，则，由，得，则，当，与边BC只有一个公共点，所以，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 17.【答案】解：， ， ， 则， 所以 ， ， ， ， 则或， 所以  【解析】利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-配方法及解一元二次方程-因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18.【答案】证明：过圆心O作于点E， 在大圆O中，， 在小圆O中，，   【解析】过圆心O作于点E，根据垂径定理得到，同理得到，又因为，进而求证出 本题考查垂径定理的实际应用． 19.【答案】  和  B  Ⅲ  【解析】解：名球员的中位数是第6名和第7名的平均数， 由统计图可知第6名和第7名都是分， 所以中位数为：分， 根据统计图可知出现频次最多的是分和分，均为两次， 所以众数为：分和分， 故答案为：，和； ①方案Ⅰ： A组：分， ； B组：分， ； ， 组球员能力更稳定， 故答案为：B； ②同①中计算方法可得： 方案Ⅱ中：分，； 分，； 方案Ⅲ中：分，； 分，； 方案Ⅳ中：分，； 分，； 综上数据分析，A，B两组球员能力值的平均数和方差都接近的是方案Ⅲ， 故答案为：Ⅲ 根据中位数和众数的定义即可得解； ①分别计算出方案Ⅰ中的A组和B组的方差，根据方差越小，越稳定即可得解； ②将每组方案的平均数和方差计算出来作比较即可得解． 本题主要考查了数据分析、平均数、方差、众数、中位数等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 共有6种等可能的结果，其中它们编号之和是偶数的结果有：，，共2种， 它们编号之和是偶数的概率为 从袋子中随机摸出8个球，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共9种， 其中它们编号之和是偶数的结果有：，，，，，共5种， 从袋子中随机摸出8个球，它们编号之和是偶数的概率为 故答案为： 列表可得出所有等可能的结果数以及它们编号之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 由题意可列出所有等可能的结果数以及它们编号之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】  25  【解析】解：计划从矩形种植区域ABCD开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． 米，米，， 米，米， 故答案为：，25； 由题意得，， 解得，不合题意，舍去， 米． 根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； 根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出EC；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22.【答案】  【解析】解：二次函数为常数， 二次函数为常数与x轴的交点为和， 对称轴为直线， ， 顶点为 故答案为：； 二次函数为常数的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时y随x的增大而增大，则，符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时y随x的增大而减小，则，不符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ， 解得： 综上所述，m的取值范围为 利用二次函数的对称性求得对称轴，进一步求得顶点坐标； 分三种情况：当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23.【答案】证明：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ∽ 解：由得，，∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或不符合题意，舍去， 的长是  【解析】由，，求得，则，所以，而，即可证明∽； 由，得，，所以，则，而，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，求得 此题重点考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明∽是解题的关键． 24.【答案】  【解析】解：由题意可得，， 二次函数的表达式为 ， 抛物线对称轴是直线 作图如下． 由题意，令， 或 抛物线与x轴的交点为， 结合图象，当时，x的取值范围是 故答案为： 由题意得，结合可得，，此时的部分对应值如表： x 0 1 … 5 0 5 8 … 0 0 … 0 作图如下． 依据题意可得，，从而，进而可得解析式，最后即可作图； 依据题意，令，从而或，故抛物线与x轴的交点为，，进而可以判断得解； 依据题意得，结合可得，，再列出的部分对应值表，最后即可作图得解． 本题主要考查了二次函数与不等式组、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 25.【答案】解：与半圆相切； 理由：设半圆的圆心为O， 连接OA，OE， 四边形ABCD是正方形， ， 在与中， ， ≌， ， 是半圆O的半径， 与半圆相切； 四边形ABCD是正方形， ， 是半圆O的直径， 是半圆O的切线， 与半圆相切， ， 设， ，， ， ， 解得，   【解析】设半圆的圆心为O，连接OA，OE，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； 根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26.【答案】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ， ， ， 抛物线的解析式为，当时， 即， 解得或不合题意，舍去， 水流喷出的最远水平距离AB为米； 如图，过T作于F，过A作于E，于H， 则四边形AHFE是矩形， ，， 当时，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 答：该设备与坡底的距离OA为  【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由喷出的水流与PA的水平距离为6m时，达到最大高度5m，得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，解方程得到抛物线的解析式为，当时，即，解方程即可得到结论； 如图，过T作于F，过A作于E，于H，根据矩形的性质得到，，当时，，求得，得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 27.【答案】证明：， ， ， ， ， ； 解：①作法一：如图，直线l即为所求， 作法提示：①连接PO并延长交于点E、F； ②以P为圆心，EF长为半径画弧交的EF下方于点Q； ③连接QO并延长交于点N，过P、N作直线l交于点M，则直线l即为所求． 证明：连接QM， 是直径， ，即， ， 作法二：连接PO并延长，交于C、D两点， 如图，设，，， 由得， ， ， 以点P为圆心，PM长即x长为半径画弧，交于点M，连接PM并延长交于点N，则PN即为所求； 根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的与有交点即可，   【解析】利用等腰三角形的等角对等边即可得解； ①作法一：构造等腰三角形OPN，，利用三线合一即可得解；作法二：根据切割线定理可得，进而可得到，利用射影定理构造出PM长即可得解； ②根据①作法一可知，以P为圆心，2r为半径的与有交点即可，进而得解． 本题主要考查了平行弦的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$