浙江省强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题

浙江省“强基联盟”2025届高三下学期2月联考数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若，则(    ) A. B. C. D. 3.已知向量，，若，则(    ) A. B. 0 C. 1 D. 2 4.将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知圆上一点关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若MP，MQ分别交x轴于点R，S，则(    ) A. B. 2 C. D. 4 7.已知函数，有恒成立，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态中的任何一种：，，，或游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是(    ) A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，，调整为，，，，决定系数不变附：，， 10.设函数，则(    ) A. 曲线存在对称轴 B. 曲线存在对称中心 C. D. 11.已知椭圆，直线，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点异于，处的切线分别交，处的切线于点，，则(    ) A. 直线MN过定点 B. ，，，四点共圆 C. 当时，是线段MN的三等分点 D. 的最大值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为          . 13.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则          . 14.对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， 求 若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， Ⅰ求 Ⅱ求 16.本小题15分 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上点满足 求抛物线C的方程; 设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 17.本小题15分 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，，，E为AB的中点，M为CE的中点. 证明： 若，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为，求四棱锥的体积. 18.本小题17分 已知函数，其中 若函数是偶函数，求 当时，讨论函数在上的零点个数; 若，，求的取值范围. 19.本小题17分 设，对于数列，，，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，，为强数列. 判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列; 若存在公比为负数的等比数列，，，，使得它为强数列，求公比q的取值范围; 设，，，为强数列，且数列中正数与负数交替出现不出现，证明：一定可以从数列，，，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，， ， 故选： 2.【答案】D  【解析】解：由，得， 故选： 3.【答案】C  【解析】解：由，， 得，， 由条件得， 解得 4.【答案】B  【解析】解：设圆锥底面圆半径为r，高为h， 由题意得， 所以，， 所以 5.【答案】D  【解析】解：， 由，得， 所以， 即 故选：D 6.【答案】B  【解析】解：易得Q坐标为， 设， 则直线MP的方程为， 令得，所以， 同理直线MQ的方程为， 令得，所以， 故 故选 7.【答案】A  【解析】解：等价于， 即， 故有或在上恒成立， 设，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为， 又在，，当且仅当时取得等号， 所以，解得， 故a的取值范围为 故选 8.【答案】A  【解析】解：对于A，经过甲操作可以变为，，，，或， 对于，乙操作成 对于，乙操作成 对于，乙操作成 对于，乙操作成 对于，乙操作成 对于，乙操作成 无论如何乙都能赢; 对于B，甲将操作为，此时乙可以操作为，，，甲必胜; 对于C，甲将操作为，甲必胜; 对于D，甲将操作为，由A知甲必胜. 故选 9.【答案】BD  【解析】解：数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为，故A错误; 由可知 故，即C，D相互独立，B正确; 散点不一定在回归直线上，故C错误; 由于，变成了，，， 从而，都不变，所以，D正确. 10.【答案】ACD  【解析】解：由于， ， ， 即， 所以曲线存在对称轴，故A正确; 假设曲线存在对称中心，则结合选项A可知，为周期函数，显然函数不是周期函数，假设不成立，故B错误; 由于，，， 则，当时取等号，故选项C正确; 当时等号成立，当有， 令，则， 又， 所以当时，，即，得， 当时，，即，得， 所以， 所以，故D正确. 故选 11.【答案】ABD  【解析】解：设，则直线MN的方程为， 又由于，故有， 故直线MN过定点，故A正确; 设，则Q处的切线为， 令得，， 而，故， 同理，所以，，，四点共圆，所以B正确; 当时，直线MN的方程为， 可以验证此时有，故C不正确; 由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知， 等号在Q为短轴端点时取到，故D正确. 故选 12.【答案】  【解析】解：由轴，， 得， 化简得，则， 即，解得，舍负 故答案为 13.【答案】  【解析】解：设两个抛物线相切于， 对于，则， 故切线方程为， 即，即 对于，设切线方程为， 联立， 得， 即， 所以， 即， 即，即，解得， 故切线方程为， 即，即， 即，化简得， 即 所以，解得，，从而 14.【答案】  【解析】解：法一：0个红格，共种个红格，共种个红格，共种; 3个红格，共种个红格，共种， 所以 法二：设n个格，相邻的格不染红色染法数为， 则， 由，，可知， 故相邻的格不染红色的概率为 15.【答案】解：由正弦定理得 因为， 所以 由于，， 所以 又，故 Ⅰ是BC的中点， Ⅱ，N分别是BC，AC的中点，，， 所以与的夹角等于， ， ，   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：由，可得， 所以抛物线C的方程为 设，，， 由得， 所以， 则， 所以是的角平分线.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：证明：在梯形ABCD中，连接BD交CE于一点，因为且， 所以四边形CDEB为平行四边形， 所以BD与CE的交点即为CE中点 由已知可得，，，， 所以， 则AB222， 所以， 因为，， 所以，又， 所以平面PBD， 又平面PBD，所以 由知，平面PDM，如图， 以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，则，， 平面PDM的一个法向量为， 设直线AN与平面PDM所成角为， 则，， 化简得 由，可得， 求得，， 故  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：因为函数是偶函数，所以， 即，解得： 当时，，，， 设，则 当时，，当时，，单调递增， 又，，所以存在，使得  ，，单调递减，，，单调递增，  而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. 当时， 当时，，则 当时，成立; 当时，若，则，单调递增， 所以 若，则，，成立; 当时，若，则成立; 只要考虑，又， 此时，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减;若，则，递增. 所以，解得 此时，所以，从而 综上，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：数列，，，，即0，1，0，，0，前两项和为1，后三项和为，不是强数列; 数列，，，，即1，0，，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，是强数列. 方法一：等比数列求和设首项，公比， 依题意，，即， 故，即，故 另一方面，， 即， 故，即，故 于是，， 又1，，1，，1，，1满足条件， 综上， 方法二：局部分析设首项，公比， 依题意，， ， 又， ， 故，即， 故，即， 同理，， 故，则， 于是， 又1，，1，，1，，1满足条件， 综上， 注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小， 取数列中绝对值最小的一项，若最小的同时存在正项和负项，取负项 如果，①若，则，，故，与中矛盾; ②若，则，，故，由知矛盾， 于是不为首项，同理不为末项，我们取，，三项. 若，则，，且，， 故，，，，构成强数列; ，，构成强数列. 若，则，，且，， 故，，，，构成强数列.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$