数学（重庆卷，2025新题型）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（重庆卷） （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 故选：． 2．年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕某一个点旋转后，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；把一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】由， 根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得，所以A不正确； 由， 根据不等式的基本性质3，两边都乘以，得， 再根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得，所以B正确； 由， 根据不等式的基本性质2，两边都乘以，得，所以C不正确； 由， 根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得，所以D不正确． 故选：B． 4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象的中心对称性确定交点坐标是解题的关键． 根据题意得出，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于两点， 两点关于原点对称， ，， 把代入得， ， 反比例函数的解析式为，故选：C ． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（　 　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查命题真假的判定，说明命题是假命题时，只要举出反例即可：即符合命题的条件，但不符合命题的结论；掌握举反例的方法是解题的关键．根据题意，将各个选项验证即可． 【详解】解：A、，，且，满足“若，则”，故A选项不符合题意； B、，，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项符合题意； C、，，且，满足“若，则”，故C选项不符合题意； D、，，此时不满足，故D选项不符合题意． 故选：B． 6．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ，故选：A． 7．如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、规律型以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的定义，找出规律是解题的关键．先根据题意求得前几个正方形的面积，再求出第．个正方形的边长为则即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，第一个正方形的边长为2， 是等腰直角三角形， 第二个正方形的边长为， 同理：第三个正方形的边长为， 第四个正方形的边长为， 第个正方形的边长为 故选：B． 8．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，过点作于点，根据解直角三角形求得，从而求得，最后根据列式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点，   ，，， ， ， ， ， ， ， ，故选：B． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判断，先由菱形的性质得到，，，再证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，由，推出，得到，由，推出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行 四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【详解】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂．先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：，故答案为：． 12．如图，随机闭合开关中的两个，则能让小灯泡同时发光的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，找出随机闭合开关中的两个的情况数以及能让两盏灯泡同时发光的情况数，即可求出所求概率，弄清题中的电路图是解本题的关键． 【详解】解：画树状图，如图所示： 由图知，随机闭合开关中的两个有六种情况，能让两盏灯泡同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则P（能让两盏灯泡同时发光）．故答案为：． 13．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，运用等面积法求出，结合勾股定理得，，然后在中，，则在中，，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 在中，， 则，解得， 依题意，设， ∴， 在中， ，解得， ∴， 在中， ∵，， 则在中，， ∴，故答案为：． 14．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰有个偶数解，确定出的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数的值，求出这些整数的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键． 【详解】解：不等式组整理得，解得：， ∵不等式组恰有个偶数解， ∴，解得：， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴且，解得：且， ∴且， ∴满足条件的整数的值有，,，，， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是．故答案为：． 15．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作⊙O的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 16．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为_________；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为___________． 【答案】 84293 63285 【分析】本题考查了整式的加减计算，解不定方程，数的整除，难度较大，正确理解题意是解题的关键． ①由，结合条件得到，继而得到，，继而可求解； ②先将S表示为，由新定义得满足，则，表示出，，则，问题化为需要被11整除即可，再分类讨论枚举即可． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足， ∴最大为4，则最大为8， ∴， ∵， ∴最大为9，则， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵五位数的百位数字和千位数字都不为0，满足， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴需要被11整除， ∵，， ∴， ∴可取， 当，则， ∴，则 ∴； 当，则， ∴，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则， ∴，则， ∴， 当，则（舍）， ∴满足条件的的值的和为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17．（1）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，完全平方公式等知识点，先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把,的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解答此题的关键． 【详解】解：， = ， 当时，原式． （2）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分子分母因式分解和除法运算转化为乘法运算，再约分，接着根据乘法的分配律计算得到原式，然后根据分式有意义的条件，把代入计算即可，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【详解】解： ， ；，当时，原式． 18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)5；144；(2)40；360；(3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由调查的学生的总人数减去其他组的人数得出的值，再由乘以组所占的比例即可； （2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可； （3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：统计表中的， 统计图中组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：5，144； （2）解：阅读时间在范围内的数据的众数是40， 估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数为：（人， 故答案为：40，360； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种， 恰好选择一名男生和一名女生的概率为． 19．【探究与证明】 (1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， __________， ， ， __________， ， ∵∠CDF=∠BCE （__________）填判定依据，用字母表示 (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 【答案】(1)，90，；(2)不成立，理由见解析；(3)或 【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可． （2）根据矩形的性质，证明即可． （3）利用三角形相似的性质计算即可． 【详解】（1）解：设与交于点     四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∵∠CDF=∠BCE， ， ． 故答案为：，90，． （2）解：不成立，理由如下：设与交于点， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （3）补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答： 如图3-1，． 同（2）得，且相似比为， △BCE中， 中，， ， ∴ ， ； 如图3-2，同理可得． 综上所述或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水． (1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？ (2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？ (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值． 【答案】(1)两个水池同时注满水，见解析 (2)注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系 (3)a的值为40 【分析】本题主要考查了列方程解应用题，能根据两水池注水速度之间的关系，分别表示出两水池中的水量是解题的关键． （1）根据题意，分别求出注满甲、乙水池所需的时间即可解决问题． （2）根据题意建立方程，结合分类讨论的数学思想即可解决问题． （3）根据题意得出当甲注满时，乙池的水量为，据此建立分式方程即可解决问题． 【详解】（1）解：同时注满，理由如下： 因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 则（分钟），． 因为， 所以两个水池同时注满水． （2）解：因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 设注水x分钟时，两个水池里的水量成2倍关系， 当甲是乙的两倍时， ，解得． 当乙是甲的两倍时， ，解得， 此时乙注满，甲正好是一半． 综上所述，注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系． （3）解：因为甲比乙提前注满， 所以当甲注满水时，乙中的水量为． 根据题意得， ，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，所以a的值为40． 21．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可； （3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可． 【详解】（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，，经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴，解得， ∴． 22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 (1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） (2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 【答案】(1)23米；(2)6米/秒 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， （1）连接，过点C作，垂足为G，根据题意可得：，设米，则米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答； （2）过点F作，垂足为H，根据题意可得： 米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用（1）的结论求出的长，从而利用线段的和差关系求出米，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接，过点C作，垂足为G， 由题意得：， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∴，解得：， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴该时刻无人机的离地高度约为23米； （2）过点F作，垂足为H， 由题意得：米，， 在中，， ∴（米）， ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米/秒）， ∴无人机水平飞行的平均速度为6米/秒． 23．如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①作于点，作于点，证明，求得，即，设直线的解析式为，联立得，利用根与系数的关系，列方程求解即可； ②分三种情况讨论，画出图形，同①法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①，，， ∴，，，∴， 作于点，作于点，如图， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∴，， ∴， 即，解得， ∴直线的解析式为； ②∵，，，， ∴，， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且， ∴， 作轴交抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意， ∵，即， 整理得， 解得或， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程得或， ∴点的坐标为； 作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点， 此时， ∴， ∴点符合题意， ∵，直线，又， ∴， 同理，直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， 即点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 过点作交轴于点，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴点符合题意， 作轴于点， 设直线交轴于点， 令，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立得，解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了是二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24．【问题提出】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： （1）如图1，△ABC中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求的最小值； 【拓展应用】 （3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为， ，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时的长．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接，则，，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长，证明，求出，则，，则由勾股定理可得，即的最小值为； （2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于，先得到；可证明四边形是平行四边形，得到，，则；再证明点D在与平行，且与之间的距离为的直线上，过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动，证明四边形是平行四边形，得到，则；如图所示，作点B关于直线的对称点，连接，则，，可得，当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，即可得到的最小值为； （3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形，可得，将点P沿着垂直于的方向平移到，使得，则四边形是平行四边形，可得；如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接，可得四边形是平行四边形，则，，即可证明四边形是平行四边形，得到；过点C作交延长线于I，在上取一点使得，则即为所在圆圆心，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到；如图所示，连接，可得当最小时，最小，进而推出当五点共线时有最小值，最小值为；过点O作于K，则四边形是矩形，则，，，得到，则的最小值为米．设此时与交于V，与交于W，证明，可得，则，即． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于， ∵△ABC和都是等腰直角三角形，．， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵，即点D到直线的距离为定值， ∴点D在与平行，且与之间的距离为的直线上， 过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图所示，作点B关于直线的对称点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∴的最小值为； （3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形， ∴， 将点P沿着垂直于的方向平移到，使得， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 过点C作交延长线于I，在上取一点使得， ∵与所在的圆相切与点C， ∴的圆心在射线上， 又∵所对的圆心角为， ∴即为所在圆圆心， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴当最小时，最小， ∵，， ∴， ∴当五点共线时有最小值，最小值为； 过点O作于K，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为米． 设此时与交于V，与交于W， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于构造将军饮马模型，确定取得最值的情形． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（重庆卷） 数学·参考答案 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B C B A B B B C 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 84293 63285 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17．（1）解：， = ， 当时，原式． （2）解： ， ；，当时，原式． 18．（1）解：统计表中的， 统计图中组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：5，144； （2）解：阅读时间在范围内的数据的众数是40， 估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数为：（人， 故答案为：40，360； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种， 恰好选择一名男生和一名女生的概率为． 19．（1）解：设与交于点     四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∵∠CDF=∠BCE， ， ． 故答案为：，90，． （2）解：不成立，理由如下：设与交于点， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （3）补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答： 如图3-1，． 同（2）得，且相似比为， △BCE中， 中，， ， ∴ ， ； 如图3-2，同理可得． 综上所述或． 20．（1）解：同时注满，理由如下： 因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 则（分钟），． 因为， 所以两个水池同时注满水． （2）解：因为每分钟向甲注水， 所以每分钟向乙注水． 设注水x分钟时，两个水池里的水量成2倍关系， 当甲是乙的两倍时， ，解得． 当乙是甲的两倍时， ，解得， 此时乙注满，甲正好是一半． 综上所述，注水分钟或30分钟，两个水池里的水量成2倍关系． （3）解：因为甲比乙提前注满， 所以当甲注满水时，乙中的水量为． 根据题意得， ，解得， 经检验，是原方程的解且符合题意，所以a的值为40． 21．(1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，，经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴，解得， ∴． 22．（1）解：连接，过点C作，垂足为G， 由题意得：， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∴，解得：， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴该时刻无人机的离地高度约为23米； （2）过点F作，垂足为H， 由题意得：米，， 在中，， ∴（米）， ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米/秒）， ∴无人机水平飞行的平均速度为6米/秒． 23．（1）解：∵抛物线经过，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①，，， ∴，，，∴， 作于点，作于点，如图， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∴，， ∴， 即，解得， ∴直线的解析式为； ②∵，，，， ∴，， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且， ∴， 作轴交抛物线于点， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意， ∵，即， 整理得， 解得或， 当时，， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程得或， ∴点的坐标为； 作点关于直线的对称点，连接交延长交抛物线于点， 此时， ∴， ∴点符合题意， ∵，直线，又， ∴， 同理，直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得，， 即点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 过点作交轴于点，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴点符合题意， 作轴于点， 设直线交轴于点， 令，，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 同理，直线的解析式为， 联立得，解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 24．解：（1）如图所示，过点E作于D，作点A关于的对称点，连接， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）如图所示，连接，过点D作于G，交直线于， ∵△ABC和都是等腰直角三角形，．， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴； ∵，即点D到直线的距离为定值， ∴点D在与平行，且与之间的距离为的直线上， 过点D作分别交直线于M、N，则点D在直线上运动， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图所示，作点B关于直线的对称点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为， ∴的最小值为； （3）如图所示，过点M作于R，则四边形是矩形， ∴， 将点P沿着垂直于的方向平移到，使得， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，以为直径画圆，圆心设为O，连接， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 过点C作交延长线于I，在上取一点使得， ∵与所在的圆相切与点C， ∴的圆心在射线上， 又∵所对的圆心角为， ∴即为所在圆圆心， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴当最小时，最小， ∵，， ∴， ∴当五点共线时有最小值，最小值为； 过点O作于K，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为米． 设此时与交于V，与交于W， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第一次模拟考试（重庆卷） 数学·答题卡 选择题(请用 2B 铅笔填涂) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 17 题 16 分，其余每题 10 分，共 86 分．解答时每小题必须给出 必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位 置上） 17．（16 分） 18．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10 分） 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 11 ) 2025年中考第一次模拟考试（重庆卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 选择题(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 4 0 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二 、填空题（每小题 4 分，共 24 分） _________________ 12 ． ___________________ __________________ 14 ． __________________ ___________________ 16 . ___________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（ 本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分 ． 解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在 答题卡 中对应的位置上 ） 1 7 ．（ 16 分） 18 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ． （ 10 分） 2 0 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ． （1 0 分） ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( …… ………… ○…… ………… 内…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( …… ………… ○…… ………… 内 …… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… …… ………… ○…… ………… 外…… ………… ○…… ………… 装…… ………… ○…… ………… 订…… ………… ○…… ………… 线 …… ………… ○…… ………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025年中考第一次模拟考试（重庆卷） 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（　 　） A．， B．， C．， D．， 6．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11．计算：___________． 12．如图，随机闭合开关中的两个，则能让小灯泡同时发光的概率为___________． 13．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为___________． 14．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 15．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作⊙O的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是___________． 16．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为___________；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为___________． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 19．【探究与证明】 (1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， __________， ， ， __________， ， ∵∠CDF=∠BCE （__________）填判定依据，用字母表示 (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水． (1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？ (2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？ (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值． 21．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 (1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） (2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 23．如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．【问题提出】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： （1）如图1，△ABC中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求的最小值； 【拓展应用】 （3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为， ，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时的长．（结果保留根号） 试题第3页（共8页）试题第4页（共8页） 试题第1页（共8页）试题第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（重庆卷） 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若正比例函数与反比例函数的图象交于两点，则反比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明这个命题是假命题的是（　 　） A．， B．， C．， D．， 6．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．如图，边长为2的正方形面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，以点为圆心、为半径画弧交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点，，垂足为点，分别交、及的延长线于点、、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11．计算：___________． 12．如图，随机闭合开关中的两个，则能让小灯泡同时发光的概率为___________． 13．如图，在中，，于点，为上一点，连结并延长，交边于点，且，过点作交的延长线于点．若，，则的长为___________． 14．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是___________． 15．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作⊙O的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是___________． 16．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为___________；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为___________． 三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）先化简，，然后从范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有______人； (3)A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 19．【探究与证明】 (1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程： 证明：设与交于点， ∵四边形是正方形， __________， ， ， __________， ， ∵∠CDF=∠BCE， （__________）填判定依据，用字母表示 . (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长． 20．某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为，原有水量分别为，，现向甲、乙同时注水，直至两个水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水． (1)若每分钟向甲注水，则哪个水池先注满水？为什么？ (2)若每分钟向甲注水，注水多少分钟时，两个水池里的水量成2倍关系？ (3)若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，直接写出a的值． 21．【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 22．某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验，如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即米），两台测角仪相距60米（即米），在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为，B处测得其仰角为． 【参考数据：，，，，】 (1)求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数） (2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时A处测得无人机的仰角为，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） 23．如图，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)作直线，l交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），已知， ①求直线l的解析式； ②点P是抛物线上的动点，作，垂足为点K，是否存在点P，使得以P、E、K为顶点的三角形与相似？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．【问题提出】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题： （1）如图1，△ABC中，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，．，在直线上运动时，求的最小值； 【拓展应用】 （3）如图3，是某公园的示意图，是三处栅栏，是该公园附近的一条道路（宽度不计），半圆及其内部是一个带舞台的广场．已知，所对的圆心角为，与所在的圆相切于点C，点E、G在上，点F、H在上，点M在上，矩形是一条河流在该公园内的一段（），其中半圆的直径为， ，河岸离的距离为，河宽为，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥，使得与之和最短，求出此时的长．（结果保留根号） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$