精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期 第三次阶段测试九年数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题(共10小题，每小题3分共30分．每小题只有一个正确选项)． 1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “367人中至少有2人同月同日生”，这一事件是（ ） A. 随机事件． B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 3. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(　　) A. 0.22 B. 0.56 C. 0.50 D. 0.44 4. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A. 60° B. 45° C. 30° D. 22．5° 5. 妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 切 于点A，．则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若 中弦 所对的圆周角为 ，且，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正六边形 中，，则它的边长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 已知y=ax2+k的图像上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是( ) A. a>0 B. a<0 C. a≥0 D. a≤0 10. 如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法，其中正确说法的个数是（　　） （1）AC与BD的交点是圆O的圆心； （2）AF与DE的交点是圆O的圆心； （3）； （4）DE＞DG， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)． 11. 已知 是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 12. 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是______． 13. 一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有________个． 14. 如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为___． 15. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转 度（），当的边 与的某一边平行时，相应的旋转角 的值是__________． 三、解答题．(共8小题，共75分．) 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，请按照要求完成下列各题： （1）将 绕点B逆时针旋转 ，得到．请画出； （2）求 旋转到过程中线段 扫过的面积．(计算结果用表示) 17. 小明和小乐做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有个红球和个绿球，每个球除颜色外 都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小 明得分，若是绿球小乐得分，游戏结束时得分多者获胜． （ ）你认为这个游戏对双方公平吗？ （）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方 公平． 18. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢 套餐的人数为 ，扇形统计图中“ ”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 19. 如图，点O为斜边 上的一点，以为半径的⊙O与 交于点D，与 交于点E，连接 ，且 平分 （1）求证： 是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 20. 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件． （1）求k，b的值； （2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润． 21. （1）如图，某工人师傅想利用一块三角形．木板裁出一个尽可能大的圆形部件．请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置．(要求尺规作图，不写作法、保留作图痕迹)． （2）如果此三角形木板的三边，，．求此圆形部件的半径． 22. 如图①边长为和3的两个正方形放在直线l上，连接 、 ，则． （1）将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②． 还等于 吗？说明理由． （2）将正方形绕点O逆时针旋转，使点E在直线l上，如图③，求 的长． 23. 我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与 轴交点也相同的二次函数称为“同轴相交二次函数”．例如：的“同轴相交二次函数”为． （1）的“同轴相交二次函数”为 ； （2）证明：二次项系数为的二次函数的“同轴相交二次函数”是它本身； （3）如图，二次函数∶与其“同轴相交二次函数”都与 轴交于点 ，点分别在上，点的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，连接． ①若 ，且四边形为正方形，求 的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 第三次阶段测试九年数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题(共10小题，每小题3分共30分．每小题只有一个正确选项)． 1. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. “367人中至少有2人同月同日生”，这一事件是（ ） A. 随机事件． B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件； 在相同条件下每次试验一定不发生的事件叫做不可能事件．根据一年365天，结合定义判断即可． 【详解】解：“367 人中至少有 2 人同月同日生”这一事件是必然事件， 故答案选B． 3. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为(　　) A. 0.22 B. 0.56 C. 0.50 D. 0.44 【答案】B 【解析】 【分析】由于事件“凸面向上”和“凹面向上”是对立事件，根据对立事件的概率和为1计算即可． 【详解】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1-0.44=0.56， 故答案为0.56． 【点睛】本题考查了概率的意义、等可能事件的概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面． 4. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）． A. 60° B. 45° C. 30° D. 22．5° 【答案】C 【解析】 【详解】设正六边形每个内角是a，(6-2)a, a=120°，所以∠DAB=60°，AD是直径，∠ADB=30°，所以选C. 5. 妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树形图，即可求出在这两个路口都直接通过的概率． 【详解】解：由题意画树形图得， 由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=． 故选：A 【点睛】本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键． 6. 如图， 切 于点A，．则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，切线的性质，先证明 ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵ 切 于点A， ∴ ， ∵， ∴， 故选：B 7. 若 中弦 所对的圆周角为 ，且，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，锐角三角函数的应用，掌握弧长公式是解题的关键．先画图证明，过 作于 ，结合 ，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵ ，， ∴， 过 作于 ， ， ∴，， ∴， 长为： ． 故选B． 8. 如图，在正六边形 中，，则它的边长是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，即∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，于是AG=，AB=2. 【详解】如图，过点 作 于点 ． 正六边形 中，每个内角为， ∴， ∴， ∴， 即边长为2． 故选D． 【点睛】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键． 9. 已知y=ax2+k的图像上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是( ) A. a>0 B. a<0 C. a≥0 D. a≤0 【答案】A 【解析】 【详解】∵点在抛物线上， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 故选：A． 10. 如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法，其中正确说法的个数是（　　） （1）AC与BD的交点是圆O的圆心； （2）AF与DE的交点是圆O的圆心； （3）； （4）DE＞DG， A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则；接着利用OG=OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心，根据圆周角定理得到DE是圆的直径，于是可判断DE＞DG． 【详解】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图， ∵G是BC的中点， ∴AG=DG， ∴； ∴HG⊥AD， ∵OG=OD， ∴点O不是HG的中点， ∴圆心O不是AC与BD的交点； 而四边形AEFD为⊙O的内接矩形， ∴AF与DE的交点是圆O的圆心； ∵∠DAB=90°， ∴DE是⊙的直径， ∴DE＞DG， ∴（1）错误，（2）（3）（4）正确． 故选D． 【点睛】考查了圆心角、弧、弦的关系，矩形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)． 11. 已知 是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+m=6即可． 【详解】解：∵m为一元二次方程的一个根． ∴m2+m-6=0， ∴m2+m=6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12. 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是______． 【答案】12cm 【解析】 【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可． 【详解】设圆锥的母线长为Rcm，由题意得 解得R=12， 故答案为：12cm． 【点睛】此题考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长． 13. 一个不透明的口袋中装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有________个． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，分式方程的解法，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，再建立方程进而求出白球个数即可． 【详解】解：设白球个数为 个 ∵摸到红球的频率稳定在附近 ∴口袋中得到红色球的概率为 ∴ 解得： 经检验，符合题意 即白球的个数为18个 故答案为：18 14. 如图，在边长为2的正方形 中， 是以 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】设AE与以 为直径的半圆切于点F，根据题意可得AB、EC与BC为直径的半圆相切，从而得到EC=EF，AB=AF，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得 ，最后利用正方形的面积减去半圆和△ADE的面积，即可求解． 【详解】解：如图，设AE与以 为直径的半圆切于点F， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD=90°，∠ABC=90°， ∴AB、EC与BC为直径的半圆相切， ∴EC=EF，AB=AF， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴DE=2-CE，AE=2+CE， 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴阴影部分面积等于 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线长定理，正方形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 15. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将 绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转 度（），当 的边 与的某一边平行时，相应的旋转角 的值是__________． 【答案】165°，30°，75° 【解析】 【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算． 【详解】解：在 Rt △ ACD 中，∠ACD = 60°，∠ADC=30°，在 Rt △ AOB 中 ∠BAO = ∠ABO= 45°当△ ACD 的边 CD 与△ AOB 的某一边平行时，分3种情况讨论： （1）当CD边与AB边平行时，∠DAB＝∠D＝30°， ∴α＝30°， （2）当CD边与AO边平行时，∠DAO＝∠D＝30°， ∴∠DAB＝∠BAO+∠OAD=75°， ∴α＝75°， （3）当CD边与OB边平行时，作EF∥OB ∴∠O=∠EAO=90° ∵CD∥OB ∴EF∥CD ∴∠D=∠DAE=30° ∴∠OAD＝120°， ∴∠DAB＝∠BAO+∠OAD=165°， ∴α＝165°． 故答案为：165°，30°，75°． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 三、解答题．(共8小题，共75分．) 16. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点上，请按照要求完成下列各题： （1）将 绕点B逆时针旋转 ，得到．请画出； （2）求 旋转到过程中线段 扫过的面积．(计算结果用表示) 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，求解扇形的面积； （1）分别确定绕点B逆时针旋转 的对应点，再画出即可； （2）由旋转可得，结合，再利用扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：∵将 绕点B逆时针旋转 ，得到， ∴， ∵， ∴线段 扫过的面积为：． 17. 小明和小乐做摸球游戏：在一个不透明的口袋里放有个红球和 个绿球，每个球除颜色外 都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小 明得分，若是绿球小乐得 分，游戏结束时得分多者获胜． （ ）你认为这个游戏对双方公平吗？ （ ）若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方 公平． 【答案】（ ）不公平．（ ）见解析. 【解析】 【详解】试题分析: 游戏是否公平,关键要看游戏双方取胜的机会是否相等,即判断双方取胜的概率是否相等,或转化为在总情况明确的情况下,判断双方取胜所包含的情况数目是否相等. 试题解析:（ ）不公平, （ ）摸出红球的概率为，平均每次得分（分）, 摸出绿球的概率为,平均每次得分（分）,而, 所以游戏不公平,修改规则不唯一,例如可修改为:若是红球,小明得 分,若是绿球,小乐得分. 18. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢 套餐的人数为 ，扇形统计图中“ ”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 【答案】（1）60，108°；（2）336；（3） 【解析】 【分析】（1）用最喜欢 套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案； （2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可； （3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率． 【详解】（1）最喜欢 套餐的人数=25%×240=60（人）， 最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人）， 扇形统计图中“ ”对应扇形的圆心角为：360°×=108°， 故答案为：60，108°； （2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%， 估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数为：960×35%=336（人）； （3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁， 其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种， 故所求概率P==． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键． 19. 如图，点O为斜边 上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与 交于点E，连接 ，且 平分 （1）求证：是⊙O的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1） 证明：连接，如图 ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可； （2）连接 、，由题干得为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，得出阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，交 于点M， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又由（1）知，，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性质、平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式． 20. 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 ，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件． （1）求k，b的值； （2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润． 【答案】（1）k=-1，b=80；（2），最大利润为400元． 【解析】 【分析】（1）将“当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件”代入一次函数 ，即可解答； （2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到，再根据二次函数的性质得到利润最大为400元即可． 【详解】解：（1）由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10， 代入 中得： ，解得：， ∴k=-1，b=80； （2）由（1）可知，y=-x+80， ∴， ∵y=-x+80≥0， ∴ ∵-1＜0， ∴当x=60时，w有最大值，此时w=400， 即最大利润为400元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并熟悉二次函数的性质． 21. （1）如图，某工人师傅想利用一块三角形．木板裁出一个尽可能大的圆形部件．请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置．(要求尺规作图，不写作法、保留作图痕迹)． （2）如果此三角形木板的三边，，．求此圆形部件的半径． 【答案】（1）画图见解析，（2）此圆形部件的半径为． 【解析】 【分析】（1）先作，的角平分线，得到交点 ，可得 即为所求． （2）由（1）得： 为三角形 的内切圆，如图，连接，记 与切于，连接，可得，，而，，证明，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：（1）如图， 即为所求； 理由如下：过 分别作三边的垂线，垂足分别为， 由作图可得：，分别平分， ∴， ∴以 为圆心， 为半径的圆为裁剪的最大圆，且为 的内切圆； （2）由（1）得： 为三角形 的内切圆， 如图，连接，设， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴此圆形部件的半径为． 【点睛】本题考查的是作三角形的内切圆，勾股定理的逆定理的应用，角平分线的性质，等面积法的应用，熟练的作图是解本题的关键． 22. 如图①边长为和3的两个正方形放在直线l上，连接 、 ，则． （1）将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②． 还等于 吗？说明理由． （2）将正方形绕点O逆时针旋转，使点E在直线l上，如图③，求 的长． 【答案】（1）成立，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明再由对应边相等得出．旋转一定角度后，和只是在 基础上再增加旋转的角度，所以仍然等于，再通过边角边证明和全等，再证对应边． （2）由于，可以转换成求 更方便，连接 ，利用正方形性质，求出 和 的一半，再利用勾股定理求出 的长度即可． 【小问1详解】 解：，理由： 如图①在和中， ， ∴， ∴， 将正方形绕点O逆时针旋转一定的角度，如图②．成立，理由： ∵四边形和都是正方形 ∴ ， ， ， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：由（2）得：， 连接 交 于 ， ∵四边形都是正方形． ∴，． ∵正方形的边长为 ∴． ∴． ∵正方形的边长是3 ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形判定与证明、正方形性质、勾股定理、图形的旋转，关键是找出图形变化中始终全等的两个三角形． 23. 我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与 轴交点也相同的二次函数称为“同轴相交二次函数”．例如：的“同轴相交二次函数”为． （1）的“同轴相交二次函数”为 ； （2）证明：二次项系数为的二次函数的“同轴相交二次函数”是它本身； （3）如图，二次函数∶与其“同轴相交二次函数”都与 轴交于点 ，点分别在上，点的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为，连接． ①若，且四边形为正方形，求 的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出 的值． 【答案】（1） （2） 证明：设二次函数解析式为：设， ∴对称轴为：， ∴它的“同轴相交二次函数”的二次项系数为：， ∴它的“同轴相交二次函数”的解析式为：， ∵对称轴相同， ∴， ∴， ∵与 轴交点相同， ∴“同轴相交二次函数”的解析式为． （3）①；② 的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的二次函数的性质、正方形的性质以及求一个数的绝对值， 根据题意可设其“同轴相交二次函数”为，结合二次项系数之和为1，对称轴相同可解得即可； 根据题意设二次函数解析式为，则其“同轴相交二次函数”对称轴为：，二次项系数为，与 轴交点相同，即可求得相等； 二次函数的对称轴为直线，其“同轴相交二次函数”． ①根据题意得二次函数，二次函数，即可求得点B和点C，进一步得到点和点的坐标，则有，，利用正方形的性质得，解得 即可； ②有题意得点 和点 的坐标，进一步得点和点的坐标，则，．结合题意得或，解得 的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可设其“同轴相交二次函数”为， ∵二次项系数之和为1，对称轴相同， ∴，，解得， 则的“同轴相交二次函数”为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 二次函数的对称轴为直线，其“同轴相交二次函数”． ①∵， ∴二次函数， 二次函数， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，． ∵四边形为正方形， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴ 的值为； ②当时，点 的坐标为，点 的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，． ∵四边形的邻边之比为 ， ∴或，即或， 解得：，，（舍），（舍）， ∴ 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $