第07讲 整式乘法（6个知识清单+8类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版2024）

第07讲 整式乘法 课程标准 学习目标 1 单项式乘单项式 2 单项式乘多项式 3 多项式乘多项式 4 整式的除法 5 整式的混合运算 6整式的混合运算—化简求值 1.知道乘法“乘法交换律”“乘法结合律”“同底数幂的运算性质”是进行单项式乘法的依据. 2.能熟练进行单项式乘单项式计算. 3.经历探索单项式乘单项式法则的过程，体验运用法则的价值；培养学生观察、比较、归纳及运算的能力.发展有条理的思考和语言表达能力. 学习重点：运用法则进行计算 学习难点：运用法则进行计算 知识点01 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【即学即练1】 1．（2024春•裕安区校级期末）下列计算结果正确的是（　　） A．（a3）2＝a6 B．a5+a＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．2a×3b＝5ab 【分析】根据幂的乘方法则、合并同类项、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可． 【解答】解：A、（a3）2＝a6，计算结果正确，符合题意； B、a5与a不是同类项，不能合并，故本选项计算结果错误，不符合题意； C、a6÷a2＝a4，故本选项计算结果错误，不符合题意； D、2a×3b＝6ab，故本选项计算结果错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 【即学即练2】 2．（2024春•埇桥区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂以及整数指数幂的法则分别进行计算，即可得出答案； （2）按照积的乘方法则先算乘方，再根据单项式乘除单项式法则进行计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）原式＝1﹣+﹣（﹣1）＝2； （2）原式＝a2b2•（﹣b）﹣（a2b3+1） ＝﹣a2b3﹣a2b3﹣1 ＝﹣a2b3﹣1． 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式和有理数的加减混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式和有理数的加减混合运算法则是关键． 知识点02 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【即学即练1】 3．（2024春•舒城县期末）当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x﹣y）+y2（y﹣x）的值（　　） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【分析】将x2（x﹣y）+y2（y﹣x）转化为x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）再因式分解为（x﹣y）2（x+y），根据条件即可判断． 【解答】解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣y2）＝（x﹣y）2（x+y）， ∵x＞0，y＞0，且x≠y， ∴（x﹣y）2（x+y）＞0， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的相关运算，熟练掌握分解因式是关键． 【即学即练2】 4．（2023春•霍山县校级期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为2（a+b），这边上的高为a，那么此三角形板的面积是　a2+ab　． 【分析】根据三角形的面积公式底×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：根据三角形的面积公式得： ×2（a+b）•a＝a2+ab； 故答案为：a2+ab． 【点评】此题考查了单项式乘多项式，掌握三角形的面积公式底×高和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【即学即练3】 5．（2024春•埇桥区期中）计算： （1）（a4）3+a8•a4； （2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）． 【分析】（1）先计算幂的乘方和单项式乘单项式，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（1）（a4）3+a8•a4 ＝a12+a12 ＝2a12； （2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）＝﹣6a3b2+10a3b3． 【点评】本题考查了幂的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 知识点03 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【即学即练1】 6．（2024春•瑶海区校级期末）若x+y＝3且xy＝2，则代数式（3﹣x）（3﹣y）的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．0 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后将已知条件代入计算即可． 【解答】解：∵x+y＝3且xy＝2， ∴（3﹣x）（3﹣y） ＝9﹣3y﹣3x+xy ＝9﹣3（x+y）+xy ＝9﹣3×3+2 ＝9﹣9+2 ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【即学即练2】 7．（2024春•瑶海区校级期中）已知（x+a）（2x2﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为 　　． 【分析】先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项即可求出a的值． 【解答】解：（x+a）（2x2﹣4x+1） ＝2x3﹣4x2+x+2ax2﹣4ax+a ＝2x3+（2a﹣4）x2+（1﹣4a）x+a， ∵展开式中不含x项， ∴1﹣4a＝0， 解得a＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则及多项式结果中不含某一项的意义是解题的关键． 【即学即练3】 8．（2024春•大观区校级期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　＞　S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有3个，则m的值为 　　． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可， （2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有3个，列出不等式，根据m为正整数即可求值． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， ∴S1﹣S2＞0， ∴S1＞S2， 故答案为：＞； （2）由（1）知|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1， ∵满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有3个， ∴2m﹣1＜n≤2024的整数n有且只有3个， ∴这三个整数解为2024，2023，2022， ∴2021≤2m﹣1＜2022， 解得：1011≤m＜1011.5， ∵m为正整数， ∴m＝1011， 故答案为：1011； 【点评】本题考查了多项式乘多项式法则、绝对值的性质和不等式的性质，能够作差比较大小是解题的关键； 知识点04 整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【即学即练1】 9．（2024春•濉溪县期末）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣x3y）2＝x6y2 B．x6÷x2＝x3 C．（4a2+2a）÷2a＝2a﹣1 D． 【分析】A．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； C．根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可； D．根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵（﹣x3y）2＝x6y2，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵x6÷x2＝x4，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C．∵（4a2+2a）÷2a＝2a+1，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂相除法则、多项式除以单项式法则和负整数指数幂的性质． 【即学即练2】 10．（2023春•谯城区校级期末）计算：（6m2﹣3m）÷3m＝　 　． 【分析】根据相关法则计算即可e． 【解答】解：（6m2﹣3m）÷3m＝6m2÷3m﹣3m÷3m＝2m﹣1， 故答案为：2m﹣1． 【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【即学即练3】 11．（2024春•萧县月考）化简：． 【分析】根据单项式除以单项式法则计算求解即可． 【解答】解：． 【点评】本题考查了单项式除以单项式．熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键． 知识点05 整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 【即学即练1】 12．（2024春•利辛县期末）下列运算正确的是（　　） A．x+x4＝x5 B．x•x3＝x4 C．（﹣x2）3＝x6 D．x6÷x2＝x3 【分析】根据整式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：A、x+x4≠x5，x•x4＝x5，故选项A不符合题意； B、x•x3＝x4，故选项B符合题意； C、（﹣x2）3＝﹣x6，故选项C不符合题意； D、x6÷x2＝x4，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【即学即练2】 13．（2024春•埇桥区校级月考）计算： （1）（﹣3）2+（5﹣π）0﹣|﹣1|+（）﹣2； （2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2． 【分析】（1）先按照零指数幂，负整数指数幂，绝对值的计算方法逐项，再按四则混合运算计算即可； （2）按去括号，合并同类项的步骤计算即可得解． 【解答】解：（1）原式＝9+1﹣1+9 ＝9+9 ＝18； （2）原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 ＝x2﹣5． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，零指数幂和负整指数幂的运算，按顺序计算即可． 知识点06整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【即学即练1】 14．（2024春•埇桥区校级期中）已知x2﹣x＝3，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10）的值为（　　） A．34 B．14 C．26 D．7 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2﹣x＝3代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10） ＝9x2﹣4+x2﹣10x ＝10x2﹣10x﹣4， 当x2﹣x＝3时，原式＝10（x2﹣x）﹣4 ＝10×3﹣4 ＝30﹣4 ＝26， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【即学即练2】 15．（2024春•大观区校级期末）已知实数a满足（a﹣2023）（a﹣2024）＝3，则（a﹣2023）2+（a﹣2024）2的值是 　　． 【分析】根据已知条件设元求解是关键．设a﹣2023＝x，a﹣2024＝y，得xy＝3，x﹣y＝1，利用完全平方公式变形得x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，代入计算即可得答案． 【解答】解：设a﹣2023＝x，a﹣2024＝y， ∴x﹣y＝a﹣2023﹣（a﹣2024）＝1， ∵（a﹣2023）（a﹣2024）＝3， ∴xy＝3， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy， ∴x2+y2＝12+2×3＝7， ∴（a﹣2023）2+（a﹣2024）2＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提， 【即学即练3】 16．（2024春•花山区校级期中）先化简，再求值：，其中，y＝﹣1. 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求出答案 【解答】解：原式＝4x2﹣y2﹣4x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣y2， 当x＝，y＝﹣1时， 原式＝2××（﹣1）﹣×（-1）2 ＝﹣﹣ ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式乘法运算法则是解题关键． 题型01 整式乘法混合运算 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式乘法混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：第一次操作后的整式串为：a，3，， 第二次操作后的整式串为a，，3，a，， 即a，，3，a，，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为， ， ，即， ， 即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为 第四次操作后整式串为共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为， 第二次操作后所有整式的和为， 第三次操作后所有整式的和为， ， 第n次操作后所有整式的积为， ∴第2024次操作后，所有的整式的和为， 故④的说法正确，符合题意；        正确的说法有①④，       故选：D． 2．（20-21七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：   ①1×2-0×3=2；②2×3-1×4=2；③3×4-2×5=2；④4×5-3×6=2；…… （1）请按上述规律写出第⑤个式子：________；     （2）请按上述规律写出第n个等式(用含字母的式子表示)；     （3）你认为（2）中所写的等式一定成立吗？请说明理由． 【答案】（1）5×6-4×7=2；（2）n（n+1）-（n-1）（n+2）=2；（3）成立，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、整式乘法混合运算 【分析】（1）观察各式，发现规律即可得到第⑤个式子； （2）从特殊到一般，用表示出各式规律即可； （3）根据整数的运算求证（2）中的等式即可． 【详解】解：（1）5×6-4×7=2； （2）n（n+1）-（n-1）（n+2）=2； （3）一定成立；理由如下： n（n+1）-（n-1）（n+2）=n2+n-n2-2n+n+2=2    【点睛】本题考查规律探究及整式乘法的混合运算，观察已知等式找到变化规律是关键． 题型02 计算单项式乘单项式 3．（2022·安徽安庆·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（22-23七年级下·安徽六安·期中）计算的结果等于 ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【知识点】合并同类项、计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算是解题的关键． 题型03 单项式乘多项式的应用 6．（七年级下·安徽亳州·期末）图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式、单项式乘多项式的应用 【分析】根据图形中的字母，可以表示出“L”型钢材的截面的面积，本题得以解决． 【详解】解：由图可得， “L”型钢材的截面的面积为：ac+（b-c）c=ac+bc-c2，故选项B、D正确， 或“L”型钢材的截面的面积为：bc+（a-c）c=bc+ac-c2，故选项C正确，选项A错误， 故选：A． 【点睛】本题考查整式运算的应用，解答本题的关键是理解题意，掌握基本运算法则，利用数形结合的思想解答． 7．（22-23七年级下·安徽六安·期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 【答案】 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】根据三角形的面积公式底高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据三角形的面积公式得： ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了单项式乘多项式，掌握三角形的面积公式底高和单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 【答案】(1)； (2)平方米 【知识点】列代数式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了列式表示数量关系，长方形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据长方形的性质即可得到，，根据线段的和差关系可用含x的代数式表示的长度； （2）根据长方形的面积公式求出答案即可． 【详解】（1）解：∵①②③三个长方形区域的面积相等， ∴， ∴，， ∴米， ∴米； （2）解：长方形的面积为： 平方米． 题型04 计算多项式乘多项式 9．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．由多项式乘以多项式进行化简，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ； 故选：A． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据恒等式，求出的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 11．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】见解析 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】根据单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式的法则将原式化简，即可作出判断． 【详解】解： ； 所以原多项式的值与x的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键． 题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，熟练的进行多项式的乘法运算是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式可得结果为，再根据结果不含的一次项，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ， 故选：C． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式中不含某一项的系数特点，解题的关键是能够掌握做题方法，不含某一项，则多项式合并后，该项的系数为0．先计算的结果，不含的项，则合并后含的项的系数为0． 【详解】解： ∵已知的计算结果中不含的项， ∴ ∴ 故答案为：． 14．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求的值． 【答案】10 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】多项式与多项式相乘积中含项和项的系数为0，求出a、b的值，再计算的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项和项， ∴，且， ∴，， ∴． ∴的值为10． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 题型06多项式乘多项式——化简求值 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：D 16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 9 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，． （2）由，得，故．由当时，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． 所以． （2）∵，， ∴． ． 若当时，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：9，． 17．（22-23七年级下·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后把x＝1代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，包括多项式乘多项式、单项式乘多项式等知识点，掌握运算法则是解题的关键． 题型07多项式除以单项式 18．（22-23七年级下·安徽宣城·期中）长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式除以单项式 【分析】根据长方形的面积计算，则另一边为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴它的另一边是， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确计算是解决问题的关键． 19．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算, 多项式除以单项式先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加减． 根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】此题主要考查了多项式除以单项式，关键是掌握计算法则，注意符号的确定．利用多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可． 【详解】解：原式， ． 题型08整式四则混合运算 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式四则混合运算 【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可． 【详解】解：由图可得， ， ， ， ， ， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】1 【知识点】零指数幂、幂的乘方运算、整式四则混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的运算，涉及幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、零指数幂、整式的混合运算，利用幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法法则推导出，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 23．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】根据多项式乘以多项式，多项式除以单项式，完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 一、单选题 1．计算的结果为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式乘以单项式运算法则，即可得到答案. 【详解】解：， 故选择：B. 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则. 2．计算(-2a3)5÷(-2a5)3的结果是（     ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】首先利用积的乘方与幂的乘方的性质化简原式可得：-32a15÷（-8a15），然后由整式的除法的性质求解即可求得答案． 【详解】(-2a3)5÷(-2a5)3= -32. 故选C. 【点睛】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练掌握整式的除法的性质. 3．已知，，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据单项式除以单项式的法则进行计算，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选A． 【点睛】本题考查的是单项式除以单项式，熟练的掌握单项式的除法法则及同底数幂的除法法则是关键． 4．按下列程序计算，最后输出的答案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出算式，求出即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式，注意：运算顺序，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（       ） A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 【答案】B 【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可． 【详解】解：（x+1）×（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以a=-2，b=-3， 故选B． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键． 6．长方形的面积为，长为，则它的宽为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得： （2a2－4ab+2a）÷（2a）=a－2b+1， ∴长方形的面积为2a2－4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a－2b+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 7．观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， ……， 利用你发现的规律回答：若（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝﹣2，则x2022的值是（） A．﹣1 B．0 C．1 D．22022 【答案】C 【分析】根据已知算式得出规律，然后求出答案即可． 【详解】解：根据题意， ∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， ……， ∴（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键． 8．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（　　　） A．20181 B．20191 C．20201 D．20211 【答案】B 【分析】根据题目提供的算式找到规律：第n个数为：9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1，进而即可求解． 【详解】解：由上述等式可得，当其为第n个数时， 即9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1， ∴9×2019+2020＝10×2019+1＝20191． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了规律性问题的一般知识，能够从中找出其内在之间的联系，进而熟练求解． 9．化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算对代数式先化简，再将，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算、有理数混合运算等知识，掌握相关运算法则是解决问题的关键． 10．若，则a+b= A．-2 B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】解：当 时， ； 当 时，； 解得： ， 故选D. 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12．计算：x3·(-x)2 （结果用幂的形式表示）． 【答案】x5 【分析】先由乘方的性质确定符号，然后再利用同底数幂的乘法法则进行计算即可. 【详解】x3·(-x)2=x3•x2=x3+2=x5， 故答案为x5. 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握和灵活运用法则是解题的关键. 13．计算：(m－1)(1－m2)＝ ；(3x＋y)(x－2y)＝ ． 【答案】 －m3＋m2＋m－1, 3x2－5xy－2y2 【分析】运用多项式乘以多项式的计算法则把括号展开，再合并同类项即可得到结果. 【详解】(m－1)(1－m2)＝－m3＋m2＋m－1; (3x＋y)(x－2y)=3x2+xy-6xy-2y2=3x2－5xy－2y2. 故答案为－m3＋m2＋m－1； 3x2－5xy－2y2 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键. 14．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为 ． 【答案】7 【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ∵C类卡片的面积为 ， ∴C类卡片需要7张． 故答案为7． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 三、解答题 15．计算：． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16．计算：． 【答案】m2+12mn-5n2. 【分析】利用平方差公式与完全平方公式化简即可. 【详解】原式=3m2+8mn-3n2-2（m2-2mn+n2） =3m2+8mn-3n2-2m2+4mn-2n2 =m2+12mn-5n2 【点睛】此题主要考查整式的乘法运算法则. 17．计算：． 【答案】 【分析】根据“多项式除以单项式”的运算法则进行计算即可解答． 【详解】解： = ． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确运用多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19．计算：（1）（－3）2＋（π＋3）0 （2）（－2a）3b3÷（6a3b2） 【答案】（1）10；（2）b 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质化简得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式除单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）（-3）2+（π+3）0 =9+1 =10； （2）（-2a）3•b3÷（6a3b2） =-8a3•b3÷6a3b2 =b． 【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质以及积的乘方运算、单项式除单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20．化简求值∶[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷xy，其中x=-2， y=． 【答案】20xy-32，-40． 【分析】先把原式按整式乘、除的相关运算法则结合乘法公式进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式=[4(x2y2-2xy+1)-(4-x2y2)]÷xy =(4x2y2-8xy+4-4+x2y2)÷xy =(5x2y2-8xy)÷xy =20xy-32， 把x=-2，y= 代入上式得： 原式=20×(-2)×-32=-40． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将(a-b)看作整体，根据同底数幂的乘法可以解答本题； （2）根据积的乘方、单项式乘单项式及合并同类项运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解： = =； （2）解： = = = 【点睛】本题考查幂的运算，解答本题的关键是熟练掌握幂的运算的法则． 23．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 整式乘法 课程标准 学习目标 1 单项式乘单项式 2 单项式乘多项式 3 多项式乘多项式 4 整式的除法 5 整式的混合运算 6整式的混合运算—化简求值 1.知道乘法“乘法交换律”“乘法结合律”“同底数幂的运算性质”是进行单项式乘法的依据. 2.能熟练进行单项式乘单项式计算. 3.经历探索单项式乘单项式法则的过程，体验运用法则的价值；培养学生观察、比较、归纳及运算的能力.发展有条理的思考和语言表达能力. 学习重点：运用法则进行计算 学习难点：运用法则进行计算 知识点01 单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【即学即练1】 1．（2024春•裕安区校级期末）下列计算结果正确的是（　　） A．（a3）2＝a6 B．a5+a＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．2a×3b＝5ab 【即学即练2】 2．（2024春•埇桥区校级期中）计算： （1）； （2）． 知识点02 单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【即学即练1】 3．（2024春•舒城县期末）当x＞0，y＞0，且x≠y时，x2（x﹣y）+y2（y﹣x）的值（　　） A．总是为正 B．总是为负 C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负 【即学即练2】 4．（2023春•霍山县校级期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为2（a+b），这边上的高为a，那么此三角形板的面积是　　． 【即学即练3】 5．（2024春•埇桥区期中）计算： （1）（a4）3+a8•a4； （2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）． 知识点03 多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 【即学即练1】 6．（2024春•瑶海区校级期末）若x+y＝3且xy＝2，则代数式（3﹣x）（3﹣y）的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．0 【即学即练2】 7．（2024春•瑶海区校级期中）已知（x+a）（2x2﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为 　　． 【即学即练3】 8．（2024春•大观区校级期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2． （1）S1与S2的大小关系为：S1　　S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空） （2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有3个，则m的值为 　　． 知识点04 整式的除法 整式的除法： （1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式． 【即学即练1】 9．（2024春•濉溪县期末）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣x3y）2＝x6y2 B．x6÷x2＝x3 C．（4a2+2a）÷2a＝2a﹣1 D． 【即学即练2】 10．（2023春•谯城区校级期末）计算：（6m2﹣3m）÷3m＝　 　． 【即学即练3】 11．（2024春•萧县月考）化简：． 知识点05 整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 【即学即练1】 12．（2024春•利辛县期末）下列运算正确的是（　　） A．x+x4＝x5 B．x•x3＝x4 C．（﹣x2）3＝x6 D．x6÷x2＝x3 【即学即练2】 13．（2024春•埇桥区校级月考）计算： （1）（﹣3）2+（5﹣π）0﹣|﹣1|+（）﹣2； （2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2． 知识点06整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 【即学即练1】 14．（2024春•埇桥区校级期中）已知x2﹣x＝3，则代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣10）的值为（　　） A．34 B．14 C．26 D．7 【即学即练2】 15．（2024春•大观区校级期末）已知实数a满足（a﹣2023）（a﹣2024）＝3，则（a﹣2023）2+（a﹣2024）2的值是 　　． 【即学即练3】 16．（2024春•花山区校级期中）先化简，再求值：，其中，y＝﹣1. 题型01 整式乘法混合运算 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期中）小聪在学校的社团《数学新天地》读物里阅读到“整式串”的题目．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：a，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：a，，3，a，； ②第二次操作后，当，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有18个整式； ④第2024次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 2．（20-21七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：   ①1×2-0×3=2；②2×3-1×4=2；③3×4-2×5=2；④4×5-3×6=2；…… （1）请按上述规律写出第⑤个式子：________；     （2）请按上述规律写出第n个等式(用含字母的式子表示)；     （3）你认为（2）中所写的等式一定成立吗？请说明理由． 题型02 计算单项式乘单项式 3．（2022·安徽安庆·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·安徽六安·期中）计算的结果等于 ． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）计算： 题型03 单项式乘多项式的应用 6．（七年级下·安徽亳州·期末）图为“”型钢材的截面，要计算其截面面积，下列给出的算式中，错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·安徽六安·期中）有一块三角形的铁板，其中一边的长为，这边上的高为a，那么此三角形板的面积是 ． 8．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，用总长21米的篱笆围成三个面积相等的长方形区域①②③，为方便进出，三个区域均留有一扇宽为1米的门，若米． (1)用含x的代数式表示 米， 米； (2)用含x的代数式表示长方形的面积（要求化为最简形式）． 题型04 计算多项式乘多项式 9．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 11．（22-23七年级下·安徽滁州·期中）试说明多项式的值与x的取值无关． 题型05 已知多项式乘积不含某项求字母的值 12．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的计算结果中不含项，则的值为 ． 14．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）若多项式与多项式的乘积中不含项和项，求的值． 题型06多项式乘多项式——化简求值 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定，例如，已知，则代数式的值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 16．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，． （1）当，，则 ； （2）当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 17．（22-23七年级下·安徽六安·期中）先化简，再求值：，其中． 题型07多项式除以单项式 18．（22-23七年级下·安徽宣城·期中）长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）计算： ． 20．（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： 题型08整式四则混合运算 21．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式处置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知，，则 ． 23．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）计算： 一、单选题 1．计算的结果为（    ）. A． B． C． D． 2．计算(-2a3)5÷(-2a5)3的结果是（     ） A．-2 B．2 C．4 D．-4 3．已知，，的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．按下列程序计算，最后输出的答案是（    ） A． B． C． D． 5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（       ） A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 6．长方形的面积为，长为，则它的宽为（    ）． A． B． C． D． 7．观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1， （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1， （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， ……， 利用你发现的规律回答：若（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝﹣2，则x2022的值是（） A．﹣1 B．0 C．1 D．22022 8．观察下列等式：，，，，…根据以上规律得出的结果是（　　　） A．20181 B．20191 C．20201 D．20211 9．化简求值，其中，时，结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．若，则a+b= A．-2 B． C．2 D．4 二、填空题 11．计算： ． 12．计算：x3·(-x)2 （结果用幂的形式表示）． 13．计算：(m－1)(1－m2)＝ ；(3x＋y)(x－2y)＝ ． 14．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要C类卡片张数为 ． 三、解答题 15．计算：． 16．计算：． 17． 计算：． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．计算：（1）（－3）2＋（π＋3）0 （2）（－2a）3b3÷（6a3b2） 20．化简求值∶[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷xy，其中x=-2， y=． 21．计算： (1)； (2)． 22．计算 (1) (2) 23．解不等式：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$