黄金卷04（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏南京专用） 黄金卷 一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 2 3 4 5 6 B B C A D B 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7．8 8．x≤2且x≠﹣3 9．（1） 10．（x﹣1）（x+2）（x﹣2） 11．2 12． 13．甲 14．45° 15．a≤1 16． 三．解答题（本大题共有11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分） 解：原式 ． 18．（8分） 解：由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 则不等式组的非负整数解为0，1． 19．（7分） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF． 20．（8分） 解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，故中位数m＝168； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n＝165或n＝166； （2）由题意得，p1＝9，p2＝12， ∴p1＜p2． 故答案为：＜； （3）∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm． 故答案为：163、164、180． 21．（8分） 解：（1）将比赛内容分为“A、B、C”三题．选手小明从三张卡片中随机抽取一张， 则小明抽取到卡片的概率是； （2）（2）所有可能出现的结果列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表可知共有9种等可能出现的结果，其中相同的有3种， ∴P． 答：出小明和小亮恰好抽到同一题的概率是． 22．（8分） 解：（1）在AB上截取AD＝b，过C，D作直线l，如图： 直线l即为所求； （2）作AC的中点E，BC的中点F，过E，F作直线l，如图： 直线l即为所求． 23．（8分） 解：过点B作BD⊥AE，垂足为E，过点C作CF⊥AE，垂足为F， 由题意得：BC＝DF＝45米， 设AD＝x米，则AF＝AD+DF＝（x+45）米， 在Rt△ADB中，∠DAB＝49°， ∴BD＝AD•tan49°≈1.15x（米）， 在Rt△ACF中，∠FAC＝45°， ∴CF＝AF•tan45°＝（x+45）米， ∴1.15x＝x+45， 解得：x＝300， ∴CF＝x+45＝345（米）， ∴无人机在A处距离地面的高度约为345米． 24．（8分） 解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN． ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD，△OEF∽OMN，△OEB∽△OMD， ∴，，， ∴， ∵EF＝AB， ∴MN＝CD， ∴沿着AB方向平移时，CD长度不变． （2）解：①以A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ． 此时AB所在位置为AH． ②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°， ∴△GHA∽△GPO， ∴， ∴设GA＝x，则GO＝2x， 在Rt△OPG中， OP2+PG2＝OG2， ∴302+（15+x）2＝（2x）2， ∴x2﹣12x﹣540＝0， ∴x1＝25，x2＝﹣15（舍去）， ∴AG＝25， 由（1）同理得出， ∴， ∴CQ＝75， 即CD的长度的最大值为75cm． 25．（8分） 解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a≠0）， ∴抛物线的对称轴为直线x1，与y轴的交点为（0，1）， ∴（0，1）关于直线x＝1的对称点（2，1）也在抛物线上， ∴该函数的图象必经过两个定点（0，1），（2，1）． 故答案为：（0，1），（2，1）； （2）∵该函数图象与x轴只有一个交点，对称轴为直线x＝1， ∴函数图象的顶点坐标为（1，0）； （3）∵点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2， ∴①当a＜0时，抛物线开口向下，点A（a，y1），B（a+1，y2）在对称轴直线x＝1的左侧，C（a+2，y3）在对称轴的右侧符合题意， ∴， 解得a＜0， ②当a＞0，抛物线开口向上，B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在对称轴的右侧，y3＞y2，不合题意； ∴点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2，a的取值范围是a＜0． 26．（9分） 解：（1）①∵， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD为⊙O直径， ∴∠BCD＝90°， ∵BC＝3CD＝18， ∴； ②过点A作AE⊥BC于点E，连接CO，如图所示： ∵∠BCD＝90°，BC＝3CD＝18， ∴， ， ∵BO＝DO， ∴，， ∴， ∵AB＝AC， ∴CE＝BE， ∴AE垂直平分BC， ∵BO＝CO， ∴点O在AE上， ∵∠AEB＝∠BCD＝90°， ∴AE∥CD， ∴∠MAO＝∠MCD，∠MOA＝∠MDC， ∴△AMO∽△CMD， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴． （2）∵AB＝AC， ∴，∠ABC＝∠ACB， ∵， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠AFC， ∴∠BAC＝∠AFC， ∴AC＝CF， ∴AB＝CF， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB， ∴∠FBC＝∠ADB， ∵，， ∴， ∴∠BCF＝∠ABD， ∴△BCF≌△DBA， ∴BF＝AD，∠BFC＝∠BAD，BD＝BC＝18， ∴FM∥AD， ∴， ∵， ∴∠CBD＝∠ACF， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴△ACF∽△BCD， ∴， ∴， ∴， ∴， 设AD＝x，则，， ∴， ∵， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵， ∴∠CBM＝∠CAD， ∴△ACD∽△BCM， ∴， 即， 解得：，负值舍去， 即． 27．（9分） （1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠DAB，∠B＝∠DCE， ∴△ABD∽△ECD， ∴， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠DAB， ∴∠DAC＝∠E， ∴CE＝AC， ∴； （2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知：， 又∵AC＝2，AB＝4， ∴， ∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵∠BAD＝∠DAC，即AD是∠BAC的角平分线， ∴由（1）可得：， ∵AB＝12，AC＝8，BD＝3， ∴， ∴CD＝2， ∵AD的中垂线EF交BC延长线于F， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠FAC， ∵∠AFB＝∠CFA， ∴△FBA∽△FAC， ∴， 又∵CF＝DF﹣CD＝AF﹣2， ∴， ∴AF＝6． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏南京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．5的算术平方根是（　　） A．25 B． C． D． 2．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣5，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣4 C．﹣5 D．4 3．在第七次全国人口普查中，江苏常住人口约为84700000人，将84700000用科学记数法表示应为（　　） A．0.847×108 B．8.47×108 C．8.47×107 D．847×105 4．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 5．用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（　　） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），，其中m，n均为常数，且n≠0．当△ABC的面积最小时，n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7．相反数是 　 　． 8．若式子有意义，则x的取值范围是 　 　． 9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果BP的长度为2cm，那么AP的长度为 　 　cm． 10．因式分解：x2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝ 　 　． 11．如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径r等于 　 　cm． 12．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　 　． 13．如表记录了甲、乙两名运动员在女子气步枪40发比赛中前5发的成绩，则在前5发的射击中发挥较稳定的运动员是 　 　． 第一发 第二发 第三发 第四发 第五发 甲 5 8 7 6 9 乙 4 8 8 7 8 14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 　 　． 15．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是　 　． 16．如图，正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点E，线段FG的长为2，FG在边BC上移动，连接FE，GE，则EF+EG的最小值是　 　． 三．解答题（本大题共有11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）化简：． 18．（8分）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，使得DE∥BF．求证：AE＝CF． 20．（8分）某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1　 　p2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 　 　cm． 21．（8分）某校举办“数学微说题”比赛，提供A、B、C三题由参赛选手抽签决定比赛内容．比赛前将正面写有A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张，记下字母． （1）求小明抽到B卡片的概率； （2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一题的概率． 22．（8分）尺规作图：如图1，已知线段a、b，并且，在△ABC中，AB＝a．求作直线l，使l分别满足下列条件并且在△ABC中分出一个面积等于的部分． （1）在图2中，直线l经过△ABC的一个顶点； （2）在图3中，直线l不经过△ABC的任何一个顶点． 23．（8分）如图，无人机在A处观察正面为横跨河流两岸的大桥BC，测得B的俯角为49°，测得点C的俯角为45°．已知长度为45米的大桥BC与地面在同一水平面上．求无人机在A处距离地面的高度．（参考数据：sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15） 24．（8分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面．上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD． （1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝30cm，PA＝15cm，AB＝15cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②求CD的长度的最大值． 25．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a≠0）． （1）该函数的图象必经过两个定点　 　，　 　； （2）若该函数图象与x轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2，直接写出a的取值范围． 26．（9分）如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18． （1）如图1，若BD为⊙O直径． ①求tan∠BAC的值； ②求四边形ABCD的面积． （2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度． 27．（9分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝2，AB＝4，求DE的长； （3）拓展升华：如图4，△ABC中，AB＝12，AC＝8，∠BAD＝∠CAD，AD的中垂线EF交BC延长线于点F，当BD＝3时，求AF的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏南京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．5的算术平方根是（　　） A．25 B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：5的算术平方根是． 故选：B． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 2．已知（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣5，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣4 C．﹣5 D．4 【分析】根据多项式乘以多项式，即可解答． 【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2+（m﹣n）x﹣mn， ∵（x+m）（x﹣n）＝x2﹣4x﹣5， ∴x2+（m﹣n）x﹣mn＝x2﹣4x﹣5， ∴m﹣n＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式． 3．在第七次全国人口普查中，江苏常住人口约为84700000人，将84700000用科学记数法表示应为（　　） A．0.847×108 B．8.47×108 C．8.47×107 D．847×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：将84700000用科学记数法表示应为8.47×107． 故选：C． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题关键是要正确确定a的值以及n的值． 4．若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣4 D．4 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2， ∴x1•x2＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 5．用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不同几何体的截面的形状，进行判断即可． 【解答】解：球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的． 故选：D． 【点评】本题考查截一个几何体，掌握各种几何体的截面形状是正确判断的前提． 6．平面直角坐标系xOy中，已知A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2），，其中m，n均为常数，且n≠0．当△ABC的面积最小时，n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C． D． 【分析】先利用两点之间的距离公式得出|AB|，再根据当△ABC的面积最小时，h最小，利用三角形的面积得出结果． 【解答】解：∵A（2m，﹣m﹣1），B（2m+2，﹣m﹣2）， ∴|AB|， 此时，△ABC中，|AB|长度确定，设△ABC的高为h， ∴， ∴当△ABC的面积最小时，h最小， 设直线AB为：y＝kx+b，则， 解得：k， ∴直线AB为：y（x﹣2m）﹣m﹣1x﹣1， ∴2y＝﹣x﹣2，x+2y+2＝0， 点C到直线AB的距离为：n， 由图可知， 点C在第三象限会使h最小时，n＜0，n4， 当且仅当n，n＝﹣2时，才会有最小值， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质及三角形的面积，解题的关键是理解当△ABC的面积最小时，h最小． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7．相反数是 　8　． 【分析】先求出的值，再求出相反数即可． 【解答】解：∵8， 因为8的相反数为﹣8， 所以的相反数为8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相反数和立方根的有关知识． 8．若式子有意义，则x的取值范围是 　x≤2且x≠﹣3　． 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解． 【解答】解：由题意可得， 解得：x≤2且x≠﹣3， 故答案为：x≤2且x≠﹣3． 【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键． 9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点P为AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果BP的长度为2cm，那么AP的长度为 　（1）　cm． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点P为AB的黄金分割点（AP＞PB），BP＝2cm， ∴， ∴AP＝（1）cm， 故答案为：（1）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 10．因式分解：x2（x﹣1）﹣4（x﹣1）＝ 　（x﹣1）（x+2）（x﹣2）　． 【分析】首先提取公因式（x﹣1），然后利用平方差公式继续进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣1）（x2﹣4） ＝（x﹣1）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x﹣1）（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法与公式法进行因式分解是解决此题的关键． 11．如图，在综合与实践活动课上，同学们用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成了一个无底圆锥形小帽，则这个小纸帽的底面半径r等于 　2　cm． 【分析】利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长＝4π cm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2． 【解答】解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长4π cm， ∴圆锥的底面圆的周长为4π cm， 设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π， 解得：r＝2， ∴圆锥的底面圆的半径为2cm， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 12．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 　　． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 13．如表记录了甲、乙两名运动员在女子气步枪40发比赛中前5发的成绩，则在前5发的射击中发挥较稳定的运动员是 　甲　． 第一发 第二发 第三发 第四发 第五发 甲 5 8 7 6 9 乙 4 8 8 7 8 【分析】先计算出甲、乙成绩的方差，再根据方差的意义求解即可． 【解答】解：甲成绩的平均数为7，乙成绩的平均数为7， 所以甲成绩的方差为[（5﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝2， 乙成绩的方差为[（4﹣7）2+（7﹣7）2+3×（8﹣7）2]＝2.4， ∵2＜2.4， ∴在前5发的射击中发挥较稳定的运动员是甲， 故答案为：甲． 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和意义． 14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，则∠CPQ的度数为 　45°　． 【分析】根据圆内接正六边形中心角的计算方法求出∠COD＝∠DOE＝60°，再根据圆周角定理求出∠COQ的度数，再由圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OC、OD、OE、OQ， ∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠COD＝∠DOE60°， ∵点Q是的中点， ∴∠DOQ＝∠EOQ∠DOE＝30°， ∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝60°+30°＝90°， ∴∠CPQ∠COQ＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 15．若关于x的不等式组恰有两个整数解，则a的取值范围是　a≤1　． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解，求出实数a的取值范围． 【解答】解：， 由①得：x， 由②得：x＜2a， 不等式组的解集为：x＜2a， ∵不等式组只有两个整数解为0、1， ∴1＜2a≤2， ∴a≤1． 故答案为a≤1． 【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16．如图，正方形ABCD的边长为5，对角线AC，BD交于点E，线段FG的长为2，FG在边BC上移动，连接FE，GE，则EF+EG的最小值是　　． 【分析】过E作EH∥BC，过G点作GH∥EF，作E点关于CB的对称点E'，连接E'G，当H、G、E'三点共线时，EF+EG的值最小；分别求出EH＝2，EE'＝5，再由勾股定理可求E'H即为所求． 【解答】解：过E作EH∥BC，过G点作GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴EH＝FG，EF＝GH， ∴EF+EG＝GH+EG， 作E点关于CB的对称点E'，连接E'G， ∴EG＝E'G， ∴当H、G、E'三点共线时，EF+EG的值最小， 此时EF+EG＝GH+GE'＝HE'， ∵EE'⊥BC，AB＝5， ∴EE'＝5， ∵FG＝2， ∴EH＝2， ∴E'H， ∴EF+EG的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 三．解答题（本大题共有11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）化简：． 【分析】先计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再约分即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 18．（8分）解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，继而求出非负整数解即可． 【解答】解：由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 则不等式组的非负整数解为0，1． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 19．（7分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，BF，使得DE∥BF．求证：AE＝CF． 【分析】根据平行四边形的想着全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 20．（8分）某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1　＜　p2（填“＞”“＜”或“＝”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 　163、164、180　cm． 【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【解答】解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，故中位数m＝168； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n＝165或n＝166； （2）由题意得，p1＝9，p2＝12， ∴p1＜p2． 故答案为：＜； （3）∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm． 故答案为：163、164、180． 【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． 21．（8分）某校举办“数学微说题”比赛，提供A、B、C三题由参赛选手抽签决定比赛内容．比赛前将正面写有A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张，记下字母． （1）求小明抽到B卡片的概率； （2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一题的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）列表，找出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）将比赛内容分为“A、B、C”三题．选手小明从三张卡片中随机抽取一张， 则小明抽取到卡片的概率是； （2）（2）所有可能出现的结果列表如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表可知共有9种等可能出现的结果，其中相同的有3种， ∴P． 答：出小明和小亮恰好抽到同一题的概率是． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）尺规作图：如图1，已知线段a、b，并且，在△ABC中，AB＝a．求作直线l，使l分别满足下列条件并且在△ABC中分出一个面积等于的部分． （1）在图2中，直线l经过△ABC的一个顶点； （2）在图3中，直线l不经过△ABC的任何一个顶点． 【分析】（1）根据ba，在AB上取点D，使AD＝b，作直线CD即可； （2）作AC的中点E，BC的中点F，过E，F作直线即可． 【解答】解：（1）在AB上截取AD＝b，过C，D作直线l，如图： 直线l即为所求； （2）作AC的中点E，BC的中点F，过E，F作直线l，如图： 直线l即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法． 23．（8分）如图，无人机在A处观察正面为横跨河流两岸的大桥BC，测得B的俯角为49°，测得点C的俯角为45°．已知长度为45米的大桥BC与地面在同一水平面上．求无人机在A处距离地面的高度．（参考数据：sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15） 【分析】过点B作BD⊥AE，垂足为E，过点C作CF⊥AE，垂足为F，根据题意可得：BC＝DF＝45米，然后设AD＝x米，则AF＝（x+45）米，分别在Rt△ADB和Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BD⊥AE，垂足为E，过点C作CF⊥AE，垂足为F， 由题意得：BC＝DF＝45米， 设AD＝x米，则AF＝AD+DF＝（x+45）米， 在Rt△ADB中，∠DAB＝49°， ∴BD＝AD•tan49°≈1.15x（米）， 在Rt△ACF中，∠FAC＝45°， ∴CF＝AF•tan45°＝（x+45）米， ∴1.15x＝x+45， 解得：x＝300， ∴CF＝x+45＝345（米）， ∴无人机在A处距离地面的高度约为345米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24．（8分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面．上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD． （1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝30cm，PA＝15cm，AB＝15cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②求CD的长度的最大值． 【分析】（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．利用平行相似即可； （2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ； ②先证明△GHA∽△GPO，再利用勾股定理求出AG＝25，由（1）同理得出，即可求出CD的长度的最大值． 【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN． ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD，△OEF∽OMN，△OEB∽△OMD， ∴，，， ∴， ∵EF＝AB， ∴MN＝CD， ∴沿着AB方向平移时，CD长度不变． （2）解：①以A为圆心，AB长为半径画圆， 当OQ与⊙A相切于H时，此时CD最大为CQ． 此时AB所在位置为AH． ②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°， ∴△GHA∽△GPO， ∴， ∴设GA＝x，则GO＝2x， 在Rt△OPG中， OP2+PG2＝OG2， ∴302+（15+x）2＝（2x）2， ∴x2﹣12x﹣540＝0， ∴x1＝25，x2＝﹣15（舍去）， ∴AG＝25， 由（1）同理得出， ∴， ∴CQ＝75， 即CD的长度的最大值为75cm． 【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． 25．（8分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a≠0）． （1）该函数的图象必经过两个定点　（0，1）　，　（2，1）　； （2）若该函数图象与x轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； （3）若点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）求得对称轴和与y轴的交点，然后利用抛物线的对称性可知点（2，1）也在抛物线上； （2）利用对称轴直接写出顶点坐标； （3）分两种情况讨论，得出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a≠0）， ∴抛物线的对称轴为直线x1，与y轴的交点为（0，1）， ∴（0，1）关于直线x＝1的对称点（2，1）也在抛物线上， ∴该函数的图象必经过两个定点（0，1），（2，1）． 故答案为：（0，1），（2，1）； （2）∵该函数图象与x轴只有一个交点，对称轴为直线x＝1， ∴函数图象的顶点坐标为（1，0）； （3）∵点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2， ∴①当a＜0时，抛物线开口向下，点A（a，y1），B（a+1，y2）在对称轴直线x＝1的左侧，C（a+2，y3）在对称轴的右侧符合题意， ∴， 解得a＜0， ②当a＞0，抛物线开口向上，B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在对称轴的右侧，y3＞y2，不合题意； ∴点A（a，y1），B（a+1，y2），C（a+2，y3）都在该函数图象上，且y1＜y3＜y2，a的取值范围是a＜0． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（9分）如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18． （1）如图1，若BD为⊙O直径． ①求tan∠BAC的值； ②求四边形ABCD的面积． （2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度． 【分析】（1）①根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BDC，根据BD为⊙O直径，得出∠BCD＝90°，根据BC＝3CD＝18，得出； ②过点A作AE⊥BC于点E，连接CO，根据勾股定理得出，求出，根据BO＝DO，得出，，证明AE垂直平分BC，根据BO＝CO，得出点O在AE上，证明△AMO∽△CMD，得出，求出，得出，求出，最后求出四边形的面积即可； （2）证明△BCF≌△DBA，得出BF＝AD，∠BFC＝∠BAD，BD＝BC＝18，求出FM∥AD，得出，证明△ACF∽△BCD，得出，求出，得出，设AD＝x，则，，求出，证明△ACD∽△BCM，得出，即，求出x的值即可． 【解答】解：（1）①∵， ∴∠BAC＝∠BDC， ∵BD为⊙O直径， ∴∠BCD＝90°， ∵BC＝3CD＝18， ∴； ②过点A作AE⊥BC于点E，连接CO，如图所示： ∵∠BCD＝90°，BC＝3CD＝18， ∴， ， ∵BO＝DO， ∴，， ∴， ∵AB＝AC， ∴CE＝BE， ∴AE垂直平分BC， ∵BO＝CO， ∴点O在AE上， ∵∠AEB＝∠BCD＝90°， ∴AE∥CD， ∴∠MAO＝∠MCD，∠MOA＝∠MDC， ∴△AMO∽△CMD， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∴． （2）∵AB＝AC， ∴，∠ABC＝∠ACB， ∵， ∴∠BDC＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠AFC， ∴∠BAC＝∠AFC， ∴AC＝CF， ∴AB＝CF， ∵， ∴∠ADB＝∠ACB， ∴∠FBC＝∠ADB， ∵，， ∴， ∴∠BCF＝∠ABD， ∴△BCF≌△DBA， ∴BF＝AD，∠BFC＝∠BAD，BD＝BC＝18， ∴FM∥AD， ∴， ∵， ∴∠CBD＝∠ACF， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴△ACF∽△BCD， ∴， ∴， ∴， ∴， 设AD＝x，则，， ∴， ∵， ∴∠BCE＝∠ACD， ∵， ∴∠CBM＝∠CAD， ∴△ACD∽△BCM， ∴， 即， 解得：，负值舍去， 即． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等和相似的判定方法． 27．（9分）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．若AC＝2，AB＝4，求DE的长； （3）拓展升华：如图4，△ABC中，AB＝12，AC＝8，∠BAD＝∠CAD，AD的中垂线EF交BC延长线于点F，当BD＝3时，求AF的长． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠E＝∠DAB，∠B＝∠DCE，再根据相似三角形的判定可得△ABD∽△ECD，根据相似三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得CE＝AC，由此即可得证； （2）先根据折叠的性质可得∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，再根据（1）的结论可得，从而可得BD＝2CD，然后利用勾股定理求出，由此即可得； （3）先根据（1）的结论可得CD＝2，再证出△FBA∽△FAC，根据相似三角形的性质求解即可得． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠DAB，∠B＝∠DCE， ∴△ABD∽△ECD， ∴， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠DAB， ∴∠DAC＝∠E， ∴CE＝AC， ∴； （2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处， ∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE， 由（1）可知：， 又∵AC＝2，AB＝4， ∴， ∴BD＝2CD， ∵∠BAC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵∠BAD＝∠DAC，即AD是∠BAC的角平分线， ∴由（1）可得：， ∵AB＝12，AC＝8，BD＝3， ∴， ∴CD＝2， ∵AD的中垂线EF交BC延长线于F， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA， ∵∠FAD＝∠FAC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD， ∴∠B＝∠FAC， ∵∠AFB＝∠CFA， ∴△FBA∽△FAC， ∴， 又∵CF＝DF﹣CD＝AF﹣2， ∴， ∴AF＝6． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$