黄金卷02（江苏常州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏常州专用） 黄金卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D C A D D 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9． 10．3n（2m﹣1）2 11． 12．1.2 13．（4a+4b﹣32） 14． 15． 16．65° 17． 18． 三．解答题（本大题共有10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分） 解：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2 ＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣2y2， 当x＝2，y＝﹣1时， 原式＝2×2×（﹣1）﹣2×（﹣1）2＝﹣6． 20．（8分） 解：解不等式①得x≤3， 解不等式②得x＞﹣1， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3． 21．（8分） 解：（1）a＝50﹣7﹣9﹣12﹣6＝16； 故答案为：16； （2）这次测试中，成绩中的中位数是第25、26个数据的平均数， ∴中位数为78.5（分）， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ， 故答案为：78.5，44%； （3）不正确，理由如下： ∵甲的成绩77分低于中位数分78.5， ∴甲的成绩不高于一半学生的成绩． 22．（8分） 解（1）抽出一张卡片是无理数的概率是， 理由：∵三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有2张， ∴抽出一张卡片是无理数的概率是； （2）列表得 被减数 4 5 减数 5 4 5 4 差 4 ﹣1 4 ﹣5 1 5 ∵一共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有2种可能的结果， ∴P（差为有理数）． 23．（8分） 解：（1）绿地面积＝（a﹣2）（b﹣1）＝（ab﹣a﹣2b+2）平方米； （2）当a＝30，b＝26时，绿地面积＝（30﹣2）（26﹣1）＝700（平方米）； 答：绿地面积是700平方米． 24．（8分） （1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线， ∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB， ∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠BCO， 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（AAS）， ∴OD＝OC， ∵OA＝OB，MN⊥AB， ∴四边形ADBC是菱形； （2）∵四边形ADBC是菱形， ∴OAAB2， ∵∠BAD＝30°， 设圆O切AD于点H，连接OH， 则OH⊥AD， ∴OHOA， ∴S圆O＝OH2×ππ， 在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA， ∴OD＝OA×tan30°1， ∴CD＝2OD＝2， ∴S菱形ADBCAB•CD22＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S菱形ADBC﹣S圆O＝2π． 25．（8分） 解：（1）∵两函数的图象交于点A（﹣2，3）， ∴，3＝﹣2m+1， ∴k＝﹣6，m＝﹣1， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：y＝﹣x+1； （2）由条件可知：C（﹣4，0）， ∵BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为﹣4，点D的横坐标为﹣4， ∴，yD＝4+1＝5， ∴，D（﹣4，5）， ∴，点A到直线BD的距离是﹣2﹣（﹣4）＝2， ∴． 26．（10分） （1）解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝CD，∠CAD＝45°， ∵AE＝DF＝AD， ∴AE＝AD，DE＝CD， ∴BE＝BD，∠EAB＝∠BAD＝90°，AF＝AC，∠FAD＝∠CAD＝45°， ∴BD沿AB翻折后是BE，AC绕点A逆时针旋转90°后是AF， ∴四边形EBCF是正方形ABCD的“翻转四边形“， 故答案为：是； ②∵∠EFD＝90°，AE＝AD＝DF＝AB， ∴AF2＝DF2+DE2＝AB2+（2AB）2， ∴5AB2＝（）2， ∴AB＝1， 故答案为：1； （2）解：如图1， 延长FA，交BE于G，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OAAC，OBBD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB，AC， ∴∠OAB＝∠OBA，sin∠BAC，cos∠BAC， 由对称可知：∠OBA＝∠ABE， ∴∠OAB＝∠ABE， ∴BE∥AC， ∴∠AGB＝∠CAF＝90°， ∴AG＝AB•sin∠ABE＝AB•sin∠OAB＝2， BG＝AB•cos∠ABE＝2， ∴EG＝BE﹣BG＝BD﹣BG， FG＝AF+AG＝AC+AG， ∴EF； （3）证明：如图2， 连接AE，延长CD交AF于T，交EF于G， ∵对角线BD沿AB翻折后得到BE， ∴∠AEB＝∠BAD＝135°，AE＝AD，BD＝BE， ∵∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝360°﹣∠BAE﹣∠CAB﹣∠BAD＝135°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°， ∴∠EAF＝∠DAC， ∵AF＝AC， ∴△AEF≌△ADC（SAS）， ∴EF＝CD，∠AFE＝∠ACD， ∵∠ATC＝∠FTG， ∴∠FGT＝∠CAF＝90°， ∵EF2+BC2＝BE2， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠FGT， ∴EF∥BC． 27．（10分） 解：（1）∵抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把A（﹣1，0）代入得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设M（m，m2﹣2m﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； ∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2， ∴E（1，﹣2）； ∴DE＝2， ∴S△BCD＝S△CDE+S△BDE DE×（xB﹣xC） 2×3 ＝3， ∴S＝3S△BCD＝9， 分两种情况： ①当点M在x轴上方时，m＞3，如图1， S＝S△ACB+S△ABM AB×OCAB×yM 4×34（m2﹣2m﹣3） ＝2m2﹣4m ＝9， 解得m1，m2（舍去）， ∴m； ②当点M在x轴下方时，1＜m＜3，如图2，连接OM， ∴S＝S△AOC+S△OCM+S△OBM OA×OCOC×xMOB×（﹣yM） 1×33m3（﹣m2+2m+3） m2m+6， 解得m1＝1（舍去），m2＝2， ∴m＝2． 综上所述，S＝3S△BCD时，m的值为或2； （3）存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形． 设抛物线的对称轴交x轴于点F，BD2． ①如图3，EP⊥DB于P，△DEP沿着EP边翻折得到△D'EP， ∵∠EDP＝∠BDF，∠EPD＝∠BFD＝90°， ∴△EPD∽△BFD， ∴，即， 解得DP， ∴BP＝BD﹣DP ＝2 ； ②当ED'⊥BD于点H时，如图4， 与①同理可得△DEH∽△DBF， ∴，即， 解得DH，EH， 在Rt△PHD'中，设PH＝x， 则D'P＝DP＝DH﹣HPx，D'H＝D'E﹣EH＝DE﹣EH＝2， ∴x2， 解得x＝1， ∴BP＝BD﹣DP ＝BD﹣（DH﹣HP） ＝BD﹣DH+HP ＝21 1； ③如图5，当D'P⊥BC于点G时，作EI⊥BD于点I， 由①②可知，EI，BI， 由翻折的性质可知∠EPI＝∠EPG， ∴EG＝EI． ∵BE2， ∴BG＝BE﹣EG＝2． ∵∠GBP＝∠IBE，∠BGP＝∠BIE， ∴△BPG∽△BEI， ∴，即， ∴BP． 综上所述，当△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形时，BP的长为或1或． 28．（10分） （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB， 由翻折的性质得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°， ∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFG＝90°， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝GF， ∴BG+DE＝GF+EF＝EG； （2）解：由翻折的性质得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN， 在△ANE与△CND中， ， ∴△ANE≌△CND（AAS）， ∴AN＝CN， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN＝CM＝CN， ∴S△AMN＝S△CMNCM•CD， 又∵S△CDN：S△CMN＝1：3，S△CDNDN•CD， ∴， 设DN＝k，则CN＝CM＝3k， 如图2，过点N作NG⊥MC于点G， 则四边形CDNG为矩形， ∴CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝3k﹣k＝2k， NG2k， ∴MN2k， ∴2； （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝DC＝6，AD∥BC， ①如图3，当DEDC6＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R， 设DQ＝x，QE＝y， 则AQ＝AD﹣DQ＝6﹣x， ∵CP∥DQ， ∴△CPE∽△DQE， ∴2， ∴CP＝2DQ＝2x， 由翻折的性质得：EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE， ∴AE是平分∠QAF， ∴EM＝EN， ∵S△AQEAQ•EMQE•AR，S△AEFAF•ENEF•AR， ∴， ∴， 即， ∴y＝2x， ∵∠D＝60°， ∴DHDQx， ∴HE＝DE﹣DH＝2x，HQDHx， 在Rt△HQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2＝EQ2， 即（2x）2+（x）2＝y2， ∵y＝2x， 解得：x1，x2＝0（不合题意，舍去）， ∴PC＝2； ②如图4，当CEDC6＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′， 则DE＝4， 设DQ′＝x′，Q′E＝y′， 则AQ′＝AD+DQ′＝6+x′， ∵CP∥DQ′， ∴△CPE∽△DQ′E， ∴， ∴CPDQ′x′， 由翻折的性质得：EF＝DE＝4，AF＝AD＝6，∠Q′AE＝∠EAF， 同理：， 即， ∴y′＝4x′， ∵∠CDA＝∠Q′DH′＝60°， ∴DH′DQ′x， ∴H′E＝DE+DH′＝4x′，H′Q′DH′x′， 在Rt△H′Q′E中，由勾股定理得：H′Q′2+H′E2＝EQ′2， 即（x′）2+（4x′）2＝y′2， ∵y′＝4x′， 解得：x′1，x′2＝0（不合题意，舍去）， ∴PC； 综上所述，PC的长为或． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏常州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知2a＝6，则2a﹣2是（　　） A． B．1 C．2 D．4 2．若分式的值为0，则x的取值应满足（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．x≠0 3．从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 4．下列数的大小比较中，正确的是（　　） A．0＜﹣2 B．﹣1＜﹣2 C．π＜3.14 D．﹣5＜﹣（﹣3） 5．5G是第五代移动通信技术的简称，是最新一代蜂窝移动通信技术，它将带领人类进入新智能时代.5G网络以每秒1048576KB以上的速度传输数据，将数据“1048576”用科学记数法表示为（　　） A．10.48576×105 B．1.048576×105 C．1.048576×106 D．1.048576×107 6．若点A（m，n）与点B（2，﹣3）关于y轴对称，则3m+5等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．11 7．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 （1）以A为端点画一条射线； （2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； （3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 8．体内的血药浓度能反映药品的疗效，血药浓度过高会导致药物中毒，血药浓度过低又无疗效．如图，这是甲、乙、丙三种药物在体内的血药浓度随时间变化的曲线图，根据图象对甲、乙、丙三种药物进行分析判断，则下列说法错误的是（　　） A．药物甲、乙、丙在体内的血药浓度都是先升高后降低的 B．存在某时间段，药物甲、乙在体内的血药浓度在降低，药物丙在体内的血药浓度在升高 C．药物甲在体内的血药浓度达到最大值用时最短 D．药物丙的治疗效果最好 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．若，则值为　 　． 10．因式分解：12m2n﹣12mn+3n＝　 　． 11．计算：　 　． 12．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 　 　m． 13．如图，一块长为为a cm，宽为b cm的矩形硬纸板，在其四个角各剪去1个边长为2cm的正方形，然后将四周的部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，则所得长方体盒子的侧面积为 　 　cm2（用含a，b代数式表示）． 14．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其全部相同．现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为P（m，n2﹣1），则点P落在抛物线y＝﹣x2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是　 　． 15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝　 　． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB＝25°，则∠ACB的大小为 　 　． 17．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则a2b+ab2的值为　 　． 18．如图，在Rt△ABC和Rt△EBC中，∠BAC＝∠BEC＝90°，AB＝AC＝4，以AC、EC为邻边作▱ACEF，连接CF，则线段CF的最小值为 　 　． 三．解答题（本大题共有10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣1． 20．（8分）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 21．（8分）3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 a 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79，根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a的值为 　 　； （2）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　； （3）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 22．（8分）在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是4，，5（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． 23．（8分）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的垂直宽度都是1个单位长度），有一条纵向的弯曲小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度）． （1）请你用含a、b的式子表示绿地面积； （2）当a＝30，b＝26时，绿地面积是多少平方米？ 24．（8分）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下： ①画线段AB； ②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O； ③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC； ④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD． （1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形； （2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积． 25．（8分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（﹣2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB． （1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式； （2）当OC＝4时，求△ABD的面积． 26．（10分）定义：如图1，在四边形ABCD中，把对角线BD沿AB翻折后得到BE，把另一条对角线AC绕点A逆时针旋转90°后得到AF，连接EF，CF，则称四边形EBCF为原四边形ABCD的“翻转四边形”． 特例感知： （1）若四边形ABCD为正方形，如图2，延长DA至点E，延长CD至点F，使AE＝DF＝AD，连接BE，EF． ①四边形EBCF是否是正方形ABCD的“翻转四边形“？答：　 　（填“是”或“不是”）． ②若EF，则AB＝　 　； （2）若四边形ABCD为矩形，且AB＝2，BC＝3，四边形EBCF为矩形ABCD的“翻转四边形”，如图3，求EF的长． 类比探究： （3）在四边形ABCD中，∠BAD＝135°，如图4，四边形EBCF为四边形ABCD的“翻转四边形”，且EF2+BC2＝BE2，求证：EF∥BC． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），直线BC与对称轴相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线x＝1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S＝3S△BCD，请求出m的值； （3）点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由． 28．（10分）（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG． （2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏常州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知2a＝6，则2a﹣2是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减将2a﹣2变形为2a÷22，然后计算即可． 【解答】解：∵2a＝6， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．若分式的值为0，则x的取值应满足（　　） A．4 B．﹣4 C．0 D．x≠0 【分析】根据分式的值为0的条件（若分式0，则A＝0且B≠0）解决此题． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x≠0且x+4＝0． ∴x＝﹣4． 故选：B． 【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解决本题的关键． 3．从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据观察方向即可求解． 【解答】解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形， 且两个长方形在左侧位置对齐， 故选：A． 【点评】本题考查几何体的三视图，解题的关键是具有一定的空间观念． 4．下列数的大小比较中，正确的是（　　） A．0＜﹣2 B．﹣1＜﹣2 C．π＜3.14 D．﹣5＜﹣（﹣3） 【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案． 【解答】解：A、0＞﹣2，故此选项错误； B、﹣1＞﹣2，故此选项错误； C、π＞3.14，故此选项错误； D、﹣5＜﹣（﹣3）＝3，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键． 5．5G是第五代移动通信技术的简称，是最新一代蜂窝移动通信技术，它将带领人类进入新智能时代.5G网络以每秒1048576KB以上的速度传输数据，将数据“1048576”用科学记数法表示为（　　） A．10.48576×105 B．1.048576×105 C．1.048576×106 D．1.048576×107 【分析】根据科学记数法的特征求解． 【解答】解：1048576＝1.048576×106， 故选：C． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握科学记数法的特征是解题的关键． 6．若点A（m，n）与点B（2，﹣3）关于y轴对称，则3m+5等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．11 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（m，n）与点B（2，﹣3）关于y轴对称， ∴m＝﹣2， ∴3m+5＝﹣6+5＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 7．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 （1）以A为端点画一条射线； （2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； （3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵CM∥DN∥BE， ∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB， ∵AC＝CD＝DE， ∴AM＝MN＝NB， ∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8．体内的血药浓度能反映药品的疗效，血药浓度过高会导致药物中毒，血药浓度过低又无疗效．如图，这是甲、乙、丙三种药物在体内的血药浓度随时间变化的曲线图，根据图象对甲、乙、丙三种药物进行分析判断，则下列说法错误的是（　　） A．药物甲、乙、丙在体内的血药浓度都是先升高后降低的 B．存在某时间段，药物甲、乙在体内的血药浓度在降低，药物丙在体内的血药浓度在升高 C．药物甲在体内的血药浓度达到最大值用时最短 D．药物丙的治疗效果最好 【分析】根据函数的图象分别分析即可． 【解答】解：A、药物甲、乙、丙在体内的血药浓度都是先升高后降低的，故不符合题意； B、存在某时间段，药物甲、乙在体内的血药浓度在降低，药物丙在体内的血药浓度在升高，故不符合题意； C、药物甲在体内的血药浓度达到最大值用时最短，故不符合题意； D、药物丙的血药浓度过低且无疗效，故符合题意． 故选：D． 【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际情况采用排除法求解． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．若，则值为　　． 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：若， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 10．因式分解：12m2n﹣12mn+3n＝　3n（2m﹣1）2　． 【分析】先提取公因式，再由完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：12m2n﹣12mn+3n ＝3n（4m2﹣4m+1） ＝3n（2m﹣1）2， 故答案为：3n（2m﹣1）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．计算：　　． 【分析】根据有理数的加减运算法则，以及负整数指数幂的混合运算法则直接求解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】此题考查有理数的混合运算，解题关键是零次幂的计算公式为a0＝1（a≠0），负整数指数幂的计算公式为． 12．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是 　1.2　m． 【分析】利用点P的坐标求出F，当F＝10时，即F10，求出s，即可求解． 【解答】解：设函数的表达式F， 将点P的坐标代入上式得：3，解得k＝12， 则反比例函数表达式为F， 当F＝10时，即F10， 解得s＝1.2（m）， 故答案为：1.2． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 13．如图，一块长为为a cm，宽为b cm的矩形硬纸板，在其四个角各剪去1个边长为2cm的正方形，然后将四周的部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，则所得长方体盒子的侧面积为 　（4a+4b﹣32）cm2　（用含a，b代数式表示）． 【分析】侧面积等于四个小长方形的面积的和． 【解答】解：2×（a﹣4）×2+2×（b﹣4）×2＝4a﹣16+4b﹣16＝4a+4b﹣32（cm2）， ∴所得长方体盒子的侧面积为（4a+4b﹣32）cm2． 故答案为：（4a+4b﹣32）cm2． 【点评】本题考查了认识立体图形，关键是表示出各个边的长度． 14．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其全部相同．现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为P（m，n2﹣1），则点P落在抛物线y＝﹣x2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是　　． 【分析】画出抛物线图象，确定各点横坐标所对应的纵坐标，与P点纵坐标比较即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， 顶点坐标为（2，4），与x轴的交点坐标为（0，0）和（4，0），且过点（1，3）、（3，3）， 其图象如图所示： 当 n＝0、1、2、3、4时，n2﹣1＝﹣1、0、3、8、15， 所有点P（m，n2﹣1），所有可能出现的情况如下： 共有20种可能出现的情况，其中点P落在抛物线y＝﹣x2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）的有6种， ∴P点P落在抛物线y＝﹣x2+4x与x轴所围成的区域内（含边界）， 故答案为：． 【点评】此题考查了几何概率，二次函数的图象与性质，综合性很强，不仅要求学生掌握概率公式，更要求学生熟悉二次函数的图象及性质．利用数形结合是解题的关键． 15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠PAB+tan∠PBA＝　　． 【分析】由锐角的正切定义，可求解． 【解答】解：设小正方形的边长是a， ∵tan∠PAB， tan∠PBA， ∴tan∠PAB+tan∠PBA． 【点评】本题考查了锐角的正切定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠OAB＝25°，则∠ACB的大小为 　65°　． 【分析】由OA＝OB，可求得∠OBA＝∠OAB＝25°，继而求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得答案． 【解答】解：∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∴∠ACB∠AOB＝65°． 故答案为：65°． 【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解决本题的关键是注意数形结合思想的应用． 17．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则a2b+ab2的值为　　． 【分析】根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为ab（a+b），再代入计算即可． 【解答】解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为， ∴，， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ． 故答案为：． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，二次根式的应用，解题的关键是正确将a2b+ab2因式分解． 18．如图，在Rt△ABC和Rt△EBC中，∠BAC＝∠BEC＝90°，AB＝AC＝4，以AC、EC为邻边作▱ACEF，连接CF，则线段CF的最小值为 　　． 【分析】过点A作AG∥BC，取AG＝BC，连接FG，取AG的中点H，连接FH，CH，过点C作CM⊥AG于点 ，证明△AGF≌△CBE，得出∠AFG＝∠CEB＝90°，根据直角三角形性质得出 ，根据CF≥CH﹣FH，且当 C、F、H三点共线时，等号成立，得出当C、F、H 三点共线时，CF最大，且最大值为 【解答】解：过点A作AG∥BC，取AG＝BC，连接FG，取 AG的中点H，连接FH，CH，过点C作CM⊥AG于点M，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴， ∴， ∵AG∥BC， ∴∠CAM＝∠ACB＝45°， ∵CM⊥AG， ∴△ACM为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵四边形ACEF为平行四边形， ∴AF＝CE，AF∥CE， ∴∠CAF+∠ACE＝180°， 即∠CAF+∠ACB+∠BCE＝180°， ∴∠CAF+∠BCE＝180°﹣∠ACB＝135°， ∵∠GAF+∠CAF＝180°﹣∠CAM＝135°， ∴∠GAF＝∠BCE， ∵AG＝BC，AF＝CE， ∴△AGF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFG＝∠CEB＝90°， ∴， ∵CF≥CH﹣FH，且当C、F、H三点共线时，等号成立，当C、F、H三点共线时，CF最大，且最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质 三．解答题（本大题共有10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2，其中x＝2，y＝﹣1． 【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x和y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2 ＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） ＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2 ＝2xy﹣2y2， 当x＝2，y＝﹣1时， 原式＝2×2×（﹣1）﹣2×（﹣1）2＝﹣6． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（8分）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【分析】先分别解两个不等式得到x≤3和x＞﹣1，再利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集，接着在数轴上表示其解集，然后写出它的整数解． 【解答】解：解不等式①得x≤3， 解不等式②得x＞﹣1， 所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．也考查了在数轴上表示不等式组的解集． 21．（8分）3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 12 a 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79，根据以上信息，回答下列问题： （1）表中a的值为 　16　； （2）在这次测试中，成绩的中位数是 　78.5　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　44%　； （3）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）用众数减去其它四组的频数可得a的值； （2）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （3）根据中位数的意义求解即可． 【解答】解：（1）a＝50﹣7﹣9﹣12﹣6＝16； 故答案为：16； （2）这次测试中，成绩中的中位数是第25、26个数据的平均数， ∴中位数为78.5（分）， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ， 故答案为：78.5，44%； （3）不正确，理由如下： ∵甲的成绩77分低于中位数分78.5， ∴甲的成绩不高于一半学生的成绩． 【点评】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． 22．（8分）在一个不透明的盒子里放有三张卡片，每张卡片上有一个实数，分别是4，，5（卡片除了实数不同外，其余均相同） （1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是无理数的概率． （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，卡片不放回；再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或者树形图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数的概率． 【分析】（1）直接关键概率公式解答即可； （2）用列表法或用画树状图法解答即可． 【解答】解（1）抽出一张卡片是无理数的概率是， 理由：∵三张卡片，其中卡片上的实数是无理数有2张， ∴抽出一张卡片是无理数的概率是； （2）列表得 被减数 4 5 减数 5 4 5 4 差 4 ﹣1 4 ﹣5 1 5 ∵一共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差恰好为有理数有2种可能的结果， ∴P（差为有理数）． 【点评】本题考查概率公式，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，实数的运算，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 23．（8分）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的垂直宽度都是1个单位长度），有一条纵向的弯曲小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度）． （1）请你用含a、b的式子表示绿地面积； （2）当a＝30，b＝26时，绿地面积是多少平方米？ 【分析】（1）结合图形，根据平移的性质可知绿地面积看作是以（a﹣2）米为长，（b﹣1）米为宽的长方形的面积； （2）把a＝30，b＝26代入求值即可． 【解答】解：（1）绿地面积＝（a﹣2）（b﹣1）＝（ab﹣a﹣2b+2）平方米； （2）当a＝30，b＝26时，绿地面积＝（30﹣2）（26﹣1）＝700（平方米）； 答：绿地面积是700平方米． 【点评】本题结合图形的平移考查有关面积的问题．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． 24．（8分）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下： ①画线段AB； ②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O； ③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC； ④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD． （1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形； （2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据作法可得AC＝BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论； （2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB＝2，∠BAD＝30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线， ∴AC＝BC，OA＝OB，MN⊥AB， ∵AD∥BC， ∴∠ADO＝∠BCO， 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（AAS）， ∴OD＝OC， ∵OA＝OB，MN⊥AB， ∴四边形ADBC是菱形； （2）∵四边形ADBC是菱形， ∴OAAB2， ∵∠BAD＝30°， 设圆O切AD于点H，连接OH， 则OH⊥AD， ∴OHOA， ∴S圆O＝OH2×ππ， 在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA， ∴OD＝OA×tan30°1， ∴CD＝2OD＝2， ∴S菱形ADBCAB•CD22＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S菱形ADBC﹣S圆O＝2π． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的判定与性质，三角形内切圆与内心，切线的性质，圆的面积计算，解决本题的关键是证明四边形ADBC是菱形． 25．（8分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（﹣2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB． （1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式； （2）当OC＝4时，求△ABD的面积． 【分析】（1）分别将点A坐标代入两个函数解析式求出m、k值即可得到两个函数解析式； （2）将x＝4分别代入两个函数解析式得到点B、D的坐标求出BD长，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵两函数的图象交于点A（﹣2，3）， ∴，3＝﹣2m+1， ∴k＝﹣6，m＝﹣1， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：y＝﹣x+1； （2）由条件可知：C（﹣4，0）， ∵BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为﹣4，点D的横坐标为﹣4， ∴，yD＝4+1＝5， ∴，D（﹣4，5）， ∴，点A到直线BD的距离是﹣2﹣（﹣4）＝2， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 26．（10分）定义：如图1，在四边形ABCD中，把对角线BD沿AB翻折后得到BE，把另一条对角线AC绕点A逆时针旋转90°后得到AF，连接EF，CF，则称四边形EBCF为原四边形ABCD的“翻转四边形”． 特例感知： （1）若四边形ABCD为正方形，如图2，延长DA至点E，延长CD至点F，使AE＝DF＝AD，连接BE，EF． ①四边形EBCF是否是正方形ABCD的“翻转四边形“？答：　是　（填“是”或“不是”）． ②若EF，则AB＝　1　； （2）若四边形ABCD为矩形，且AB＝2，BC＝3，四边形EBCF为矩形ABCD的“翻转四边形”，如图3，求EF的长． 类比探究： （3）在四边形ABCD中，∠BAD＝135°，如图4，四边形EBCF为四边形ABCD的“翻转四边形”，且EF2+BC2＝BE2，求证：EF∥BC． 【分析】（1）①可推出BD沿AB翻折后是BE，AC绕点A逆时针旋转90°后是AF，从而得出结果； ②可推出AE＝AD＝DF＝AB，从而AF2＝DF2+DE2＝AB2+（2AB）2，进一步得出结果； （2）延长FA，交BE于G，设AC，BD交于点O，可得出AC，sin∠BAC，cos∠BAC的值，可推出BE∥AC，从而∠AGB＝∠CAF＝90°，进而依次计算出AG，BG，EG，FG的值，进一步得出结果； （3）连接AE，延长CD交AF于T，交EF于G，可推出∠EAF＝∠DAC，进而推出△AEF≌△ADC，从而EF＝CD，∠AFE＝∠ACD，从而得出∠FGT＝∠CAF＝90°，CD2+BC2＝BD2，从而∠BCD＝90°，进一步得出结论． 【解答】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝CD，∠CAD＝45°， ∵AE＝DF＝AD， ∴AE＝AD，DE＝CD， ∴BE＝BD，∠EAB＝∠BAD＝90°，AF＝AC，∠FAD＝∠CAD＝45°， ∴BD沿AB翻折后是BE，AC绕点A逆时针旋转90°后是AF， ∴四边形EBCF是正方形ABCD的“翻转四边形“， 故答案为：是； ②∵∠EFD＝90°，AE＝AD＝DF＝AB， ∴AF2＝DF2+DE2＝AB2+（2AB）2， ∴5AB2＝（）2， ∴AB＝1， 故答案为：1； （2）解：如图1， 延长FA，交BE于G，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OAAC，OBBD，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB，AC， ∴∠OAB＝∠OBA，sin∠BAC，cos∠BAC， 由对称可知：∠OBA＝∠ABE， ∴∠OAB＝∠ABE， ∴BE∥AC， ∴∠AGB＝∠CAF＝90°， ∴AG＝AB•sin∠ABE＝AB•sin∠OAB＝2， BG＝AB•cos∠ABE＝2， ∴EG＝BE﹣BG＝BD﹣BG， FG＝AF+AG＝AC+AG， ∴EF； （3）证明：如图2， 连接AE，延长CD交AF于T，交EF于G， ∵对角线BD沿AB翻折后得到BE， ∴∠AEB＝∠BAD＝135°，AE＝AD，BD＝BE， ∵∠CAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAC＝360°﹣∠BAE﹣∠CAB﹣∠BAD＝135°， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°， ∴∠EAF＝∠DAC， ∵AF＝AC， ∴△AEF≌△ADC（SAS）， ∴EF＝CD，∠AFE＝∠ACD， ∵∠ATC＝∠FTG， ∴∠FGT＝∠CAF＝90°， ∵EF2+BC2＝BE2， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠FGT， ∴EF∥BC． 【点评】本题考查了新定义的理解能力，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件推导出全等三角形． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），直线BC与对称轴相交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点M为直线x＝1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S＝3S△BCD，请求出m的值； （3）点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4），写出抛物线的顶点式，再将A（﹣1，0）代入解析式，求得a的值，则可得抛物线的解析式； （2）设M（m，m2﹣2m﹣3），先求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，再得出点E的坐标，然后由S△BCD＝S△CDE+S△BDE求得S△BCD，进而根据S＝3S△BCD，得出S的值，再分类讨论：①当点M在x轴上方时，m＞3，②当点M在x轴下方时，1＜m＜3，分别得出关于m的方程，求解即可； （3）存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形．设抛物线的对称轴交x轴于点F，利用勾股定理求得BD，再分类讨论：①如图3，EP⊥DB于P，△DEP沿着EP边翻折得到△D'EP，判定△EPD∽△BFD，从而得比例式，求得DP的值，再根据BP＝BD﹣DP可得BP的值；②如图4，当ED'⊥BD于点H时，与①同理可得△DEH∽△DBF，从而可得比例式，求得DH和EH 的值，再设PH＝x，用含x的式子表示出D'P、D'H，由勾股定理可得关于x的方程，解得x，则可得出BP的值；③如图5，当D'P⊥BC于点G时，作EI⊥BD于点I，由①②的结论可得EI和BI的值，再由勾股定理得出BE，进而得出BG；判定△BPG∽△BEI，从而得比例式，求得BP的值，则问题得解． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把A（﹣1，0）代入得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设M（m，m2﹣2m﹣3）， ∵y＝x2﹣2x﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； ∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴B（3，0）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2， ∴E（1，﹣2）； ∴DE＝2， ∴S△BCD＝S△CDE+S△BDE DE×（xB﹣xC） 2×3 ＝3， ∴S＝3S△BCD＝9， 分两种情况： ①当点M在x轴上方时，m＞3，如图1， S＝S△ACB+S△ABM AB×OCAB×yM 4×34（m2﹣2m﹣3） ＝2m2﹣4m ＝9， 解得m1，m2（舍去）， ∴m； ②当点M在x轴下方时，1＜m＜3，如图2，连接OM， ∴S＝S△AOC+S△OCM+S△OBM OA×OCOC×xMOB×（﹣yM） 1×33m3（﹣m2+2m+3） m2m+6， 解得m1＝1（舍去），m2＝2， ∴m＝2． 综上所述，S＝3S△BCD时，m的值为或2； （3）存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形． 设抛物线的对称轴交x轴于点F，BD2． ①如图3，EP⊥DB于P，△DEP沿着EP边翻折得到△D'EP， ∵∠EDP＝∠BDF，∠EPD＝∠BFD＝90°， ∴△EPD∽△BFD， ∴，即， 解得DP， ∴BP＝BD﹣DP ＝2 ； ②当ED'⊥BD于点H时，如图4， 与①同理可得△DEH∽△DBF， ∴，即， 解得DH，EH， 在Rt△PHD'中，设PH＝x， 则D'P＝DP＝DH﹣HPx，D'H＝D'E﹣EH＝DE﹣EH＝2， ∴x2， 解得x＝1， ∴BP＝BD﹣DP ＝BD﹣（DH﹣HP） ＝BD﹣DH+HP ＝21 1； ③如图5，当D'P⊥BC于点G时，作EI⊥BD于点I， 由①②可知，EI，BI， 由翻折的性质可知∠EPI＝∠EPG， ∴EG＝EI． ∵BE2， ∴BG＝BE﹣EG＝2． ∵∠GBP＝∠IBE，∠BGP＝∠BIE， ∴△BPG∽△BEI， ∴，即， ∴BP． 综上所述，当△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形时，BP的长为或1或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上的点的坐标特点、多边形的面积、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 28．（10分）（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG． （2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长． 【分析】（1）由正方形的性质得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性质得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，则AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后证Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出结论； （2）由翻折的性质得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，证△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性质得∠ANM＝∠CMN，证得AM＝AN＝CM＝CN，根据已知条件和三角形的面积公式得到DN：CM＝1：3，设DN＝k，则CN＝CM＝3k，过N作NG⊥MC于点G，则CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝2k，MN＝2k，即可得出答案； （3）①当DEDC＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R，设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，再证△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性质得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面积法证得，得出y＝2x，求出HE＝2x，HQx，由勾股定理得（2x）2+（x）2＝y2，解出x的值，即可得出答案；②当CEDC＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′，则DE＝4，设DQ′＝x′，Q′E＝y′，则AQ′＝6+x′，同理求出CPDQ′x′，，得出y′＝4x′，再求出H′E＝4x′，H′Q′x′，由勾股定理得（x′）2+（4x′）2＝y′2，解出x′的值，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB， 由翻折的性质得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°， ∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°， ∴∠B＝∠AFG＝90°， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝GF， ∴BG+DE＝GF+EF＝EG； （2）解：由翻折的性质得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN， 在△ANE与△CND中， ， ∴△ANE≌△CND（AAS）， ∴AN＝CN， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN＝CM＝CN， ∴S△AMN＝S△CMNCM•CD， 又∵S△CDN：S△CMN＝1：3，S△CDNDN•CD， ∴， 设DN＝k，则CN＝CM＝3k， 如图2，过点N作NG⊥MC于点G， 则四边形CDNG为矩形， ∴CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝3k﹣k＝2k， NG2k， ∴MN2k， ∴2； （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝DC＝6，AD∥BC， ①如图3，当DEDC6＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R， 设DQ＝x，QE＝y， 则AQ＝AD﹣DQ＝6﹣x， ∵CP∥DQ， ∴△CPE∽△DQE， ∴2， ∴CP＝2DQ＝2x， 由翻折的性质得：EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE， ∴AE是平分∠QAF， ∴EM＝EN， ∵S△AQEAQ•EMQE•AR，S△AEFAF•ENEF•AR， ∴， ∴， 即， ∴y＝2x， ∵∠D＝60°， ∴DHDQx， ∴HE＝DE﹣DH＝2x，HQDHx， 在Rt△HQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2＝EQ2， 即（2x）2+（x）2＝y2， ∵y＝2x， 解得：x1，x2＝0（不合题意，舍去）， ∴PC＝2； ②如图4，当CEDC6＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′， 则DE＝4， 设DQ′＝x′，Q′E＝y′， 则AQ′＝AD+DQ′＝6+x′， ∵CP∥DQ′， ∴△CPE∽△DQ′E， ∴， ∴CPDQ′x′， 由翻折的性质得：EF＝DE＝4，AF＝AD＝6，∠Q′AE＝∠EAF， 同理：， 即， ∴y′＝4x′， ∵∠CDA＝∠Q′DH′＝60°， ∴DH′DQ′x， ∴H′E＝DE+DH′＝4x′，H′Q′DH′x′， 在Rt△H′Q′E中，由勾股定理得：H′Q′2+H′E2＝EQ′2， 即（x′）2+（4x′）2＝y′2， ∵y′＝4x′， 解得：x′1，x′2＝0（不合题意，舍去）， ∴PC； 综上所述，PC的长为或． 【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识，综合性强，难度大，熟练掌握翻折的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$