8.4 乘法公式（第3课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

8.4 乘法公式（3） 第3课时　乘法公式的综合应用 学习目标 1. 能熟练掌握乘法公式，用乘法公式进行相关计算； 2. 在运用乘法公式的过程中，感悟公式的逆用与整体转化的数学思想. 2 知识回顾 乘法公式的内容是什么？ 知识回顾 完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 平方差公式： (a＋b) (a－b)＝a2－b2. 记忆口诀：一同一反，平方相减. 记忆口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方. 4 课堂练习 (1) a－2b－c＝a－(________)； (2) a－2b＋c＝a－(________)； (3) a＋b－c＝a＋(_______)； (4) a－b＋c－d＝ (a－d)＋(______)． 在括号里填上适当的项： 添括号法则 括号前面是“＋”号，添括号后，括号里各项的符号都不改变. 括号前面是“－”号，添括号后，括号里各项的符号都要改变（正变负，负变正）. 2b＋c 2b－c b－c c－b 5 例题讲解 (1) (x－3)(x＋3)(x2＋9)； 例1 计算： (a＋b) (a－b)＝a2－b2 解：(1)原式＝(x2－9)(x2＋9) ＝(x2)2－92 ＝x4－81； 平方差公式 平方差公式 6 例题讲解 (2) (2x＋3)2(2x－3)2. 例1 计算： 解：(1)原式＝[(2x)2＋2×2x×3＋32][(2x)2－2×2x×3＋32] ＝(4x2＋12x＋9) (4x2－12x＋9) ＝16x4－48x3＋36x2＋48x3－144x2＋108x＋36x2－108x＋81 ＝16x4－72x2＋81. 先算乘方，再算乘法． 计算过程太繁琐，有没有较为简洁的方法呢？ 7 例题讲解 (2) (2x＋3)2(2x－3)2. 例1 计算： anbn=(ab)n (n是整数) 解法2：(1)原式＝[(2x＋3)(2x－3)]2 ＝(4x2－9)2 ＝(4x2)2－2×4x2×9＋92 ＝16x4－72x2＋81. 完全平方公式 逆用积的乘方运算性质 逆用积的乘方：先将底数相乘，再进行乘方运算． 平方差公式 8 例题讲解 例2 计算： (a＋b) (a－b)＝a2－b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 构造出平方差的形式 平方差公式、完全平方公式 去括号(注意符号) 合并同类项 (1) (2a＋b)(b－2a)－(a－3b)2； 解：(1)原式＝(b＋2a)(b－2a)－(a－3b)2 ＝b2－4a2－(a2－6ab＋9b2) ＝b2－4a2－a2＋6ab－9b2 ＝－5a2＋6ab－8b2； 9 例题讲解 例2 计算： (a＋b) (a－b)＝a2－b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (2) (x＋y＋4)(x＋y－4) 解：(2)原式＝[(x＋y)＋4][(x＋y)－4] 把x＋y看成整体 ＝(x＋y)2－42 ＝x2＋2xy＋y2－16. 10 如何用平方差公式计算： (x＋y－3)(x－y＋3)？ (a＋b) (a－b)＝a2－b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 解：原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)] 把y－3看成整体 ＝x2－(y－3)2 ＝x2－(y2－6y＋9) 探究与思考 ＝x2－y2＋6y－9. 11 例题讲解 例3 计算： （a－b＋c)2 解：(a－b＋c)2 ＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋2·(a－b)·c＋c2 ＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc. 把a－b看成一个整体. 还有其他算法吗？ 解法2：(a－b＋c)2 ＝[a－(b－c)]2 ＝a2－2·a·(b－c)＋(b－c)2 ＝a2－2ab＋2ac＋b2－2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2－2ab＋2ac－2bc. 解法3：(a－b＋c)2＝[(a＋c)－b]2 12 新知巩固 (1) a2＋(b－a)(b＋a)； 1. 计算： (2) (a－1)(a＋1)(a2－1)； (3) (3x＋1)2(3x－1)2； (4) (x－y＋z)(x－y－z). b2 a4－2a2＋1 81x4－18x2＋1 x2－2xy＋y2－z2 (1) (2a－b)2－4(a＋b)(a－b)； 2. 计算： (2) 3(x＋y)(－x－y)－(3x＋y)(－3x＋y). 5b2－4ab； 6x2－6xy－4y2. 13 新知巩固 3. 如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形.用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立. b a 解：阴影部分的面积为：4ab或(a＋b)2－(a－b)2， ∴(a＋b)2－(a－b)2＝4ab. 理由如下： ∵(a＋b)2－(a－b)2 ＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2) ＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2 ＝4ab， ∴(a＋b)2－(a－b)2＝4ab. 14 例3 运用平方差公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1. 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1 ＝(28－1)(28＋1)(216＋1)＋1 拓展与提高 ＝(216－1)(216＋1)＋1 ＝232－1＋1 ＝232. 15 谈谈你这节课的收获. 课堂总结 当堂检测 基础过关 (1) (x－y)2－(x＋y)2； 1. 计算： (2) (3a－b)2＋(b＋3a)2； (3) (2x－1)(2x＋1)(4x2＋1)； (4) (2m＋3n)2(3n－2m)2； －4xy 18a2＋2b2 16x4－1 81n4－72m2n2＋16m4 17 当堂检测 基础过关 (5) 4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2； (6) (2a－b－3)(2a＋b－3). 10a＋82 4a2－b2－12a＋9 18 当堂检测 基础过关 (1) (3－4y)(3＋4y)＋(3＋4y)2，其中y＝0.4； (2) (2a＋b)2－(3a－b)2＋5a(a－b)，其中a＝，b＝. 原式＝18＋24y； 2. 计算： 27.6. 原式＝5ab； . 19 当堂检测 能力提升 1. 下列算式中，能连续两次用平方差公式计算的是(　　) A．(x＋y)(x2＋y2)(x－y) B．(x＋1)(x2－1)(x＋1) C．(x＋y)(x2－y2)(x－y) D．(x－y)(x2＋y2)(x－y) A 20 当堂检测 能力提升 2．计算20242－2025×2023时可以选用的乘法公式是 (　　) A．完全平方公式和平方差公式   B．完全平方公式 C．平方差公式   D．不能确定 C 21 当堂检测 能力提升 3．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示长方形的长和宽(a＞b)，则下列关系中不正确的是(　　) A．a＋b＝12 B．a－b＝2 C．ab＝35 D．a2＋b2＝84 D 22 当堂检测 能力提升 4. 若(x－y)3(x＋y)3＝8，则3－x2＋y2＝____． 1 5. 若(x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1)＝xn－1，则n＝____． 8 6. 把一个正方形的一边增加2 cm，另一边增加4 cm，所得的长方形面积比正方形面积增加26 cm2，那么原来正方形的边长应是____cm. 3 23 当堂检测 能力提升 7．计算：(1)(2x＋3y－1)(－2x－3y－1)； 解：原式＝－[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1] ＝－[(2x＋3y)2－12] ＝1－4x2－12xy－9y2. 24 当堂检测 能力提升 (2) (2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)． 解：原式＝(2x＋5＋y－z)(2x＋5－y＋z) ＝[(2x＋5)＋(y－z)][(2x＋5)－(y－z)] ＝(2x＋5)2－(y－z)2 ＝(4x2＋20x＋25)－(y2－2yz＋z2) ＝4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2 ＝4x2－y2－z2＋2yz＋20x＋25． 25 当堂检测 能力提升 解：原式＝ ＝ ＝． 当，时， 原式＝＝． 8．先化简，再求值：， 其中，． 26 当堂检测 能力提升 9. 已知x＋y＝6，xy＝7，求(3x＋y)2＋(x＋3y)2的值． 解：原式＝9x2＋6xy＋y2＋x2＋6xy＋9y2 ＝10x2＋12xy＋10y2 ＝10(x2＋y2)＋12xy ＝10(x2＋y2＋2xy)－20xy＋12xy ＝10(x＋y)2－8xy， 当x＋y＝6，xy＝7时， 原式＝10×36－8×7＝304. 27 当堂检测 能力提升 10．如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题． (a＋b)＝a＋b (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 …… (1) (a＋b)4展开式中的第二项是______； 4a3b 28 当堂检测 能力提升 (2)求(2a－1)5的展开式． 解：(2a－1)5 ＝(2a)5－5(2a)4＋10(2a)3－10(2a)2＋5(2a)－1 ＝32a5－80a4＋80a3－40a2＋10a－1. 29 当堂检测 能力提升 11．如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF． (1)若a－b＝3，a2－b2＝21，求a＋b的值； 解：(1) ∵a－b＝3， a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝21， ∴ a＋b＝7； 30 当堂检测 能力提升 (2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； H 解：(2)如图，过点E作EH⊥AB于点H， ∵图中阴影部分面积为 或 ， ∴； 31 当堂检测 能力提升 12．(1)请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为： ； 32 当堂检测 能力提升 (2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； (2)①由(1)可得 ∵，， ∴， ∴． 33 当堂检测 能力提升 ②若，，求的值． ②∵， 又，， ∴ ＝， ∴． 34 2021 Blues 4800.0 $$