精品解析：广东省广州荔湾区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期学业水平抽测 八年级数学（试卷） 2024年10月 本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解： A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，熟记轴对称图形的定义是解题的关键． 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐个判断即可． 【详解】解：．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； ．，能组成三角形，故此选项符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； ．，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，理解并掌握三角形三边的关系是解题的关键． 3. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 4. 小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，理解三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性，可在框架里加根木条，构成三角形的形状，据此即可解答． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，只有C构成了三角形的结构． 故选：C． 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴． 故选：C 6. 如图，在和中，已知，要使，添加下列的一个选项后，仍然不能证明是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，添加，不能判定两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等；添加，利用即可得到两三角形全等，添加，利用即可得到两三角形全等． 【详解】解：， A、添加，不能判定两三角形全等，故此选项符合题意； B、添加，利用即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； C、添加，利用即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意； D、添加可以得到，利用即可得到两三角形全等，故此选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图，平分，平分，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质以及等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，平分，可得，，进而得到，，即可求解； 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 8. 如图，在中，，点在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【详解】解：设． ， ， ， ， ， ， ， 在中， 解得：， ， ， 故选：B． 9. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则AC长是 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案． 【详解】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积为10， 的面积为， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10. 如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（　　） A. BD＝CE B. BD⊥CE C. AF平分∠CAD D. ∠AFE＝45° 【答案】C 【解析】 【分析】作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确， ∵∠DOF＝∠AOE， ∴∠DFO＝∠EAO＝90°， ∴BD⊥EC，故B正确， ∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC， ∴AM＝AN， ∴FA平分∠EFB， ∴∠AFE＝45°，故D正确， 若C成立，则∠EAF＝∠BAF， ∵∠AFE＝∠AFB， ∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD， 所以AF不一定平分∠CAD，故C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律的变化特点． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则， ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 13. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，分两种情况：顶角的外角是和底角的外角是，利用外角的定义、等腰三角形的定义及三角形内角和定理分别计算即可． 【详解】解：分两种情况： （1）当顶角的外角是时，顶角的度数为：； （2）当底角的外角是时，底角的度数为：， 顶角的度数是：， 故答案为：或． 14. 如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点D，E．如果，的周长为，那么的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题的关键．利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合， ∴． ∵，的周长为， ∴． 故答案为12． 15. 如图，在中，，高交于点．若，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 根据题意得到是等腰直角三角形，则，运用勾股定理得到，运用等面积法得到，在中，运用正弦值的计算得到，在中，，设，，则，根据，列式得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：5 ． 16. 如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，找到临界状态，在临界状态上下，分两种情况讨论：①是等边三角形，；②是一般，；从而得到答案． 【详解】解：根据题意，若，如图所示： 此时与重合，不存在，以此为临界状态，分两种情况讨论： ①如图所示： 为等腰三角形，， ， 在长方形中，，，则， ，， ， 是等边三角形，即； ②如图所示： 为等腰三角形， ， ，是的一个外角， ，即， 在长方形中，，，则， ，， ， 在中，利用三角形内角和定理可知： ； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形中求角度问题，涉及等腰三角形性质、长方形性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等，读懂题意，找到临界状态，作出图形，分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．多边形的外角和是，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得, ， ． ∴这个多边形的边数是7． 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，轴对称的性质的应用，熟练的画图是解本题的关键； （1）分别确定关于的对称点，再顺次连接即可； （2）连接交于，则即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于，则即为所求 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键； 根据，可得，根据，得出，即可证明，进而得出． 【详解】 略 20. 如图，中，于D． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图 （2）72° 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、AB于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和A点，交CD于点P，BC于点Q，则问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握直角三角形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键． 21. 如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识： （1）由平行线的性质求出，再由三角形的内角和定理解决问题即可. （2）证是等边三角形，得，再证，得，即可得出结论. 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据垂直的性质可得，由此可证，可得，由即可求证； （2）由（1）的结论代入计算可得，根据三角形的面积计算公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得，，且，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 23. 已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质； （1）连结，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：． 24. 问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 【答案】（1）； （2）3； （3）解：与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形； （4）6 【解析】 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答； （4）过N作于P，过点C作于点Q，证明，得出，即可证明和面积相等，然后说明和不全等，即可判断和是偏等积三角形，然后同理判断和、和是偏等积三角形，进而判断出 和、和、和是偏等积三角形即可． 【详解】解：（1）如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 故答案为：； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （3）略 （4）如图4，过N作的延长线于P，过点C作于点Q， ． 四边形、是则正方形， ，，， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 和面积相等， ，，， 和不全等， 和是偏等积三角形， 同理：和、和是偏等积三角形， 和、和、和是偏等积三角形， 故图中共6组是偏等积三角形， 故答案为：6． 【点睛】本题是四边形的综合题，此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 解：补全图形如图所示： （2） （3） 解：， 证明：在上截取，如图所示，连接， ，，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 在和中，， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论； （3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点、关于对称， 为中垂线， ，， ， 又为等边三角形， ， ， ，， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期学业水平抽测 八年级数学（试卷） 2024年10月 本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中，图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 小明做了一个如图的方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最不易变形的加固方案（ ）． A. B. C. D. 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，已知，要使，添加下列的一个选项后，仍然不能证明是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，平分，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点在上，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4， 则AC长是 A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（　　） A. BD＝CE B. BD⊥CE C. AF平分∠CAD D. ∠AFE＝45° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是_____． 12. 下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是___m． 13. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是______． 14. 如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点D，E．如果，的周长为，那么的长为______． 15. 如图，在中，，高交于点．若，则_______． 16. 如图，在长方形的对角线上有一动点，连接，过点作交射线于点，，当为等腰三角形时，的度数是______． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． 19. 如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 20. 如图，中，于D． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求的度数． 21. 如图，在等边中，点D在边上，过点D作交于点E，过点E作，交的延长线于点F． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 如图，在中，，，直线过顶点，过分别作直线的垂线，垂足分别为． （1）求证：； （2）若，，直接写出的面积． 23. 已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 24. 问题提出： (1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图1，中，，，，P为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： (2)如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为______； 问题解决： (3)如图3，四边形是一片绿色花园，，，．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 问题拓展： (4)如图4，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有______组偏等积三角形． 25. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $