2.2 从位移的合成到向量的加减法（2知识点+4题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.2 从位移的合成到向量的加减法 课程标准 学习目标 （1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义； （2）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法法则及运算法则，理解向量减法的几何意义． （1）掌握平面向量加减法运算及运算规则； （2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则作，掌握向量减法的三角形法则； （3）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算； （4）利用相反向量，理解减法运算是加法运算的逆运算． 知识点01 向量的加法 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2、向量加法的几何意义 （1）平行四边形法则：已知两个不共线的向量，，如图，在平面内任取一点，作有向线段，，以有向线段和为邻边作，则有向线段表示的向量即为向量与的和，记作．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． （2）三角形法则：如图，作有向线段，以有向线段的终点为起点，作有向线段，连接，得到有向线段，也可以表示向量与的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． （3）多边形法则：向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则．求个向量，，…，的和可按照以下步骤进行：任取一点，依次作有向线段，，…，，即为这个向量之和．特别的，当与重合时，． 3、向量加法的运算律 （1）结合法：． （2）交换律：． 【即学即练1】（23-24高一下·云南红河·月考）化简（    ） A．0 B． C． D． 【即学即练2】（23-24高一下·海南琼海·期中）如图，在矩形中，（    ） A． B． C． D． 知识点02 向量的减法 1、向量减法的定义：类比实数的减法，我们将向量的减法定义为：向量减向量等于向量加上向量的相反向量，即． 2、向量减法的几何意义：如图，给定向量与，作有向线段，，故，则，即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量的终点，得到的向量就是． 【即学即练3】（23-24高一下·江苏苏州·月考）在四边形中，（    ） A． B． C． D．无法确定 【即学即练4】（23-24高一下·天津·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 难点：向量形式的绝对值三角不等式 在||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． 【示例1】（23-24高一下·吉林通化·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【示例2】（23-24高一下·山东德州·月考）设，为单位向量，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型1：向量加、减法的几何运算】 例1．（23-24高一下·重庆涪陵·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·甘肃·期中）四边形ABCD中，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= . 【方法技巧与总结】 1、向量求和的注意点：（1）向量加法的三角形法则对于两个向量共线时也适用．（2）两个向量的和仍是一个向量．（3）向量加法的平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2、求作两个向量差向量的2种思路：（1）直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．（2）转化为向量的加法来进行，如,可以先作，然后作即可． 【题型2：向量加、减法的运算律化简】 例2．（23-24高一下·北京·期中）在平行四边形ABCD中，（ ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24高一上·四川成都·期中）等于（    ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（23-24高一下·宁夏吴忠·月考）下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 向量加、减法运算的基本方法： （1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”； （2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算； （3）转化为同一起点的向量表示后，在进行向量的加减运算． 【题型3：向量加、减法几何意义应用】 例3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 变式3-1．（23-24高三下·四川雅安·月考）在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 变式3-2．（23-24高三上·江苏南京·月考）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【方法技巧与总结】 一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形）及正六边形． 【题型4：向量加、减法解决实际问题】 例4．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 变式4-1．（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 变式4-2．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取） (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 变式4-3．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h． (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【方法技巧与总结】 应用向量解决实际问题的基本步骤 第一步(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东湛江·月考）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南周口·月考）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广西梧州·月考）（多选）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·浙江·月考）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 9．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 从位移的合成到向量的加减法 课程标准 学习目标 （1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义； （2）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法法则及运算法则，理解向量减法的几何意义． （1）掌握平面向量加减法运算及运算规则； （2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则作，掌握向量减法的三角形法则； （3）掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算； （4）利用相反向量，理解减法运算是加法运算的逆运算． 知识点01 向量的加法 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，称为向量的加法． 2、向量加法的几何意义 （1）平行四边形法则：已知两个不共线的向量，，如图，在平面内任取一点，作有向线段，，以有向线段和为邻边作，则有向线段表示的向量即为向量与的和，记作．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的平行四边形法则． （2）三角形法则：如图，作有向线段，以有向线段的终点为起点，作有向线段，连接，得到有向线段，也可以表示向量与的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则． （3）多边形法则：向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则．求个向量，，…，的和可按照以下步骤进行：任取一点，依次作有向线段，，…，，即为这个向量之和．特别的，当与重合时，． 3、向量加法的运算律 （1）结合法：． （2）交换律：． 【即学即练1】（23-24高一下·云南红河·月考）化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】,故选：B 【即学即练2】（23-24高一下·海南琼海·期中）如图，在矩形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在矩形中，.故选：B 知识点02 向量的减法 1、向量减法的定义：类比实数的减法，我们将向量的减法定义为：向量减向量等于向量加上向量的相反向量，即． 2、向量减法的几何意义：如图，给定向量与，作有向线段，，故，则，即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量的终点，得到的向量就是． 【即学即练3】（23-24高一下·江苏苏州·月考）在四边形中，（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】由向量的三角形法则可知，.故选：B. 【即学即练4】（23-24高一下·天津·月考）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 难点：向量形式的绝对值三角不等式 在||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中，当且仅当a与b同向或反向时取等号． 【示例1】（23-24高一下·吉林通化·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，所以， 所以， 则，故C正确.故选：C. 【示例2】（23-24高一下·山东德州·月考）设，为单位向量，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，为单位向量，所以. 当且仅当同向时，取到等号.故选：C 【题型1：向量加、减法的几何运算】 例1．（23-24高一下·重庆涪陵·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，， 所以.故选：A 变式1-1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 变式1-2．（23-24高一下·甘肃·期中）四边形ABCD中，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角形法则可得：.故选：A 变式1-3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）如图，在中，若D是边的中点，E 是所在平面内任意一点，则= . 【答案】. 【解析】. 因为D是边BC的中点，所以. 所以. 【方法技巧与总结】 1、向量求和的注意点：（1）向量加法的三角形法则对于两个向量共线时也适用．（2）两个向量的和仍是一个向量．（3）向量加法的平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2、求作两个向量差向量的2种思路：（1）直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．（2）转化为向量的加法来进行，如,可以先作，然后作即可． 【题型2：向量加、减法的运算律化简】 例2．（23-24高一下·北京·期中）在平行四边形ABCD中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行四边形ABCD中，.故选：D. 变式2-1．（23-24高一上·四川成都·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C 变式2-2．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 变式2-3．（23-24高一下·宁夏吴忠·月考）下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意.故选：D． 【方法技巧与总结】 向量加、减法运算的基本方法： （1）充分利用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相连”； （2）利用相反向量，把向量的减法运算转化为向量的加法运算； （3）转化为同一起点的向量表示后，在进行向量的加减运算． 【题型3：向量加、减法几何意义应用】 例3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【解析】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 变式3-1．（23-24高三下·四川雅安·月考）在平行四边形中，，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】在平行四边形中，，， 因为，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形， 所以四边形的面积为.故选：C 变式3-2．（23-24高三上·江苏南京·月考）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，以为邻边作平行四边形，如图所示， 则有，， 由，则四边形为菱形，， 则有与的夹角为.故选：A． 变式3-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为，，，， 所以， 所以是等边三角形．故选：A． 【方法技巧与总结】 一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形）及正六边形． 【题型4：向量加、减法解决实际问题】 例4．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【解析】如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走.故选：C. 变式4-1．（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】根据力的平衡，的合力为，如图所示： 由于，且的夹角为， 则为等边三角形，则， 则与重物重力之间的夹角为.故选：C 变式4-2．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取） (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方；(2)相等 【解析】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 变式4-3．如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h． (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】(1)答案见解析；(2)船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【解析】（1）如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度； （2）由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 【方法技巧与总结】 应用向量解决实际问题的基本步骤 第一步(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 1．（23-24高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量加法的三角形法则,得到.故选：C. 2．（24-25高二上·广东湛江·月考）化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 4．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知O是平行四边形ABCD内一点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行四边形ABCD中，，则， 所以.故选：C 5．（23-24高一下·河南周口·月考）若四边形ABCD是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，平行四边形ABCD对边平行且相等，所以，故正确; 对于，利用向量加法的平行四边形法则得，故B正确; 对于，利用向量减法的三角形法则得，故正确; 对于与是相等的非零向量，，故D错误.故选:. 6．（23-24高一下·广西梧州·月考）（多选）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确.故选：BCD 7．（23-24高三上·浙江·月考）已知平面向量，，均为单位向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】平面向量，，均为单位向量，则， 当且仅当同向共线时取等号， 则当时，与共线，反之，与共线并且方向相反时，， 所以“”是“与共线”的充分不必要条件，A正确.故选：A 8．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知边长为的正三角形的中心为，正方形的边长为，且线段与相交于点，则 . 【答案】 【解析】记中点为，连接，如图， 因为在正方形中，与相交于点，则是的中点， 所以，则， 在正中，，为的中心， 所以， 则. 9．（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确.故选：D. 10．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】在中，设，则， 因为，即，所以为等边三角形， 以为邻边作平行四边形，设交于点， 可得， 则， 因为，取的起点为， 可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为； 当点为线段与圆的交点时，的最小值为； 所以.故选：A. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$