广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高二上学期期末数学试题

深圳科学高中2024-2025学年第一学期期末考试试题

科目：高二数学   考试时长：120分钟   卷面总分：150分

命题人：郑晓芬   审题人：李声持

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 复数（为虚数单位）的虚部是（   ）

A.  B.  C.  D.

3. “”是“直线：与直线：平行”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（  ）

A. 若，则 B. 若则

C. 若，则 D. 若，则

5. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ）

A. 升 B. 升 C. 升 D. 升

6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在已知正方体中，是棱上的点，且.平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数的最大值为2，则（    ）

A.

B. 函数图象的一个对称中心是点

C. 在区间上单调递增

D. 将的图象先向右平移个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为

10. 已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ）

A. 为等比数列 B. 为等比数列

C. 为等差数列 D. 若，则

11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（   ）

A.  B. 若BF为的中线，则

C. 存在直线使得 D. 对于任意直线l，都有

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知曲线的焦距为4，则其离心率为___________.

13. 若圆C：关于直线对称，则的最小值是______．

14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，

（1）证明：；

（2）求与平面所成角的正弦值．

16. 设函数.

（1）求的单调区间;

（2）若存在极值M，求证：.

17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量，，满足．

（1）求A；

（2）若，点D满足且，求边a的长．