精品解析：广东省梅州市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

梅州市高中期末考试试卷 高二数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校，班级，考生号，姓名和座号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 2. 已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【详解】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列公差为，则，解得. 故选：B 4. 已知椭圆离心率为，则其短轴长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件列出离心率得到方程，求解得，即得其短轴长. 【详解】由知，离心率为， 解得，，故短轴长为. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 6. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式计算得解. 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，的中点， ，， 所以. 故选：C 7. 线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点、，设线段上靠近点的三等分点为，根据结合平面向量的坐标运算得出，再代入化简即可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、，设线段上靠近点的三等分点为， 由题意可得，则， 所以，，所以，， 则，化简得， 故线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为. 故选：C. 8. 已知曲线的方程为，则曲线上的点的纵坐标的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知关于x的方程有根，利用判别式运算求解即可. 【详解】因为，即， 可知关于x的方程有根，则，解得， 所以曲线上的点的纵坐标的最大值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. 恒成立 D. 数列是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由通项公式通过赋值，作差逐个判断即可； 【详解】，可得：， ， 所以数列是递增数列， 又，， 所以恒成立， 所以ACD正确，B错误， 故选：ACD 10. 已知正三棱柱中，，点为侧面上的一点， ，（，），则下列说法正确的有（ ） A. 当时，直线与平面所成角的最大值为60° B. 当时，的最小值为2 C. 当时，动点的轨迹长为 D. 当直线与所成角为45°时，动点的轨迹为双曲线的一部分 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，取、、中点分别为， 当时，点的运动轨迹为，要使直线与平面所成角最大，点为中点，构造直角三角形即可求出；对于B、C、D选项，可建立直角坐标系，将选项中的问题转化为坐标运算即可. 【详解】对于A选项，取、、中点分别为，连接，如图 当时，点的运动轨迹为，且面，即， 在中，，要使直线与平面所成角最大， 即最大，则最短，即点为中点，此时， 故直线与平面所成角的最大值为60°，故A选项正确； 对于B选项，当时，点的运动轨迹为，以为坐标原点，所在方向为轴、轴建立直角坐标系如图： 则， ,所以， ,则 故 因为，所以当时，取得最小值，故B选项错误； 对于C选项，设，结合B选项坐标系得，， 而, 因为，所以，化简得， 因为，， 所以点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆在矩形内的部分弧长，圆心角为， 因此点的运动轨迹长为，故C选项正确； 对于D，当直线AP与AB所成角为时，AP运动形成一个以AB为轴，母线与轴夹角为的圆锥， 因为轴AP与平面的夹角为且轴与截面所成角大于轴与母线所成角时， 截面截圆锥所得曲线为椭圆所以点的轨迹为椭圆的一部分，故错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知直线，，若，则实数______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用两直线平行的判定方法列方程，求解即得. 【详解】由可得，解得. 此时直线为，即，两直线不重合，符合题意， 故答案为：. 12. 已知，满足，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可将已知方程理解为以为圆心，半径为1的圆的轨迹方程，而将理解为原点与圆上的点的直线的斜率，结合图形，求出直线与圆相切时的斜率即可. 【详解】由可得：， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 而可理解为原点与圆上的点的直线的斜率，如图. 由图知，当直线与圆相切时，取得最值， 易得此时直线的方程可设为， 由圆心到直线的距离为，解得或， 故的最小值是. 故答案为：. 13. 将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 【答案】1275 【解析】 【分析】根据“拐弯数”找出规律，设数列，，，，……，可推出得数列的递推公式，利用叠加法求解即可. 【详解】设数列，，，，……，故， 利用叠加法：， ， 故. 故答案为：1275. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换2000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆. （1）求第3年该市投入的电力型公交车，混合动力型车分别是多少辆（注：3年后该市燃油型公交车未被全部更换）； （2）设经过年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市年后被更换的公交车总数； （3）若该市计划5年内完成全部更换，求的最小值. 【答案】（1）144， （2） （3）66 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得每年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量依次排成一列分别构成等比数列、等差数列，求出它们的通项公式即可； （2）利用（1）的结论求出它们的前项和即可； （3）利用（1）的结论列出不等式，解此不等式并求出最小值即可作答. 【小问1详解】 设，分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量，依题意，数列是首项为64，公比为的等比数列， 是首项为100，公差为的等差数列， 于是第3年投入的电力型公交车的数量， 第3年投入的混合动力型公交车的数量. 【小问2详解】 由（1）得，的前项和， 的前项和， 所以经过年后，该市被更换的公交车总数为 【小问3详解】 若计划5年内完成全部更换，则， 于是得， 即，解得，而，于是得的最小值为66. 15. 已知圆的圆心在直线上，分别求满足下列条件的圆的方程： （1）若圆与轴相切于点； （2）若圆的半径为2，且被轴截得的弦长等于. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求得圆心坐标，再求出相应半径即可得出圆方程； （2）设出圆心坐标，利用弦长公式计算可求得圆心和半径，可得结果. 【小问1详解】 设所求圆的圆心坐标为 因为圆与轴相切于点，圆心在直线上， 所以，而圆心在直线上，即有， 从而，且圆的半径， 故所求圆的方程为 【小问2详解】 设所求圆的圆心为 因为圆的半径为2，且被轴截得的弦长等于，可得， 解得或，且，可得或， 故所求圆的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱上的一点. （1）若点为的中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若平面平面，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标， 求出关键点坐标和平面的法向量，结合向量夹角余弦值公式计算即可； （2）设，表示出，再求出平面的法向量和平面的法向量，根据平面平面，构造方程解得即可. 【小问1详解】 以为原点，、、分别为，，轴， 建立空间直角坐标，如图所示 则，，，，， 若点为上的中点，则，，， 设平面的法向量为， 由得，令，则， 又，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 设， 则， 设平面法向量为，由得， 令，则， 又，设平面的法向量为， 由得，令，则， 因为平面平面，所以， 即有，解得，所以. 17. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. （1）求交点轨迹的方程； （2）若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； （3）若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据中垂线与圆的性质，结合双曲线的定义以及标准方程，可得答案； （2）由题意设出直线方程并联立双曲线方程，求得斜率范围以及韦达定理，根据向量点乘的坐标表示，可得答案； （3）利用分类讨论思想分直线斜率存在与不存在两个情况，利用等腰直角三角形以及正切函数的二倍角公式，可得答案. 【小问1详解】 依题可得：， 而，因此动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 从而，，进而，于是得到轨迹的方程：. 【小问2详解】 由题意易知直线斜率存在，设，，， 联立方程，消元得：， 因为有两个交点，需 于是得到：，，由韦达定理，得：，， ， 令，，， 于是， 因此. 【小问3详解】 存在且. 证明如下：设，， 当时，，此时，且， 易知为等腰直角三角形，，，. 于是猜想：. 当时，直线，的斜率分别为：，， ， 因此，得证. 18. 对于无穷正项数列和如下的两条性质： ：存在实数，使得且，都有； ：且，都存在，使得. （1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由； （2）设无穷正项数列同时满足性质和性质. ①若，，求的取值范围； ②若（，），且数列满足任意，，则称为数列的一个子数列.求证：存在的子数列为等比数列. 【答案】（1）满足，理由见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，可知存在，使得且，都有，可得结论； （2）①由数列是单调递增数列，得出对应不等式，即可解得的取值范围； ②易知，记，再结合等比数列定义即可证明得出结论. 【小问1详解】 数列满足性质. 且，，因为，所以， 又因为，所以， 因此，存在，使得且，都有， 故满足性质.（注：取之间的任意实数都可以.） 【小问2详解】 ①因为数列满足性质，所以是单调递增数列， 又因为数列满足性质，所以存在，使得. 而，因此，，又由，得， 由，得，故的取值范围是. ②由无穷正项数列满足性质，可知单调递增，设， 令，，由性质，存在，使得， 同理，存在，使得，…， 以此类推，当时，存在， 使得，由数列单调递增，可知. 记，则，因为，所以数列是等比数列， 故存在的子数列为等比数列，得证. 【点睛】关键点点睛：本题关键于理解性质和，再结合等比数列通项以及其性质，即可得出相应结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市高中期末考试试卷 高二数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校，班级，考生号，姓名和座号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 4. 已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 线段的长度为，其两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段上靠近点的三等分点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线方程为，则曲线上的点的纵坐标的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，关于数列，下列命题中正确的是（ ） A B. C. 恒成立 D. 数列是递增数列 10. 已知正三棱柱中，，点为侧面上的一点， ，（，），则下列说法正确的有（ ） A. 当时，直线与平面所成角的最大值为60° B. 当时，的最小值为2 C. 当时，动点的轨迹长为 D. 当直线与所成角为45°时，动点的轨迹为双曲线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知直线，，若，则实数______. 12. 已知，满足，则的最小值是______. 13. 将自然数，，，，按照如图排列，我们将，，，称为“拐弯数”，则第50个“拐弯数”是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 新能源汽车发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换2000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年投入了电力型公交车64辆，混合动力型公交车100辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆. （1）求第3年该市投入的电力型公交车，混合动力型车分别是多少辆（注：3年后该市燃油型公交车未被全部更换）； （2）设经过年后，该市燃油型公交车未被全部更换，求该市年后被更换的公交车总数； （3）若该市计划5年内完成全部更换，求的最小值. 15. 已知圆的圆心在直线上，分别求满足下列条件的圆的方程： （1）若圆与轴相切于点； （2）若圆的半径为2，且被轴截得的弦长等于. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱上的一点. （1）若点为中点，求与平面所成角的正弦值； （2）若平面平面，求的值. 17. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，点的坐标为，点为圆上的动点，线段的中垂线与直线相交于点. （1）求交点的轨迹的方程； （2）若过点的直线与轨迹相交于、两点，求的取值范围； （3）若，点为轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 对于无穷正项数列和如下的两条性质： ：存在实数，使得且，都有； ：且，都存在，使得. （1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由； （2）设无穷正项数列同时满足性质和性质. ①若，，求的取值范围； ②若（，），且数列满足任意，，则称为数列的一个子数列.求证：存在的子数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $