精品解析：安徽省安庆市第四中学2024—2025学年下学期九年级开学检测数学试卷

安庆四中 2024-2025 学年第二学期九年级开学检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知是二次函数，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 3. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，中，．将沿图示中虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共4小题，每题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为_____． 12. 如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为________．（结果保留根号） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝，则sin∠DEB的值为 ___． 14. 如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为______． （2）当点P在上运动时（保持不变），则______． 三．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°． 16. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC，求出的面积. 四．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 18. 一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 五．（本大题共两小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 20. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度，根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：） 六．（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，平分，以为直径作交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 七．（本题满分12分） 22. 问题提出：如图（1），中，，是中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆四中 2024-2025 学年第二学期九年级开学检测数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，数形结合分析是解题的关键． 在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形就称为关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据定义，结合图形分析即可求解． 【详解】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知是二次函数，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数称为二次函数．根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：∵是二次函数， ∴，解得． 故选：B 3. 已知，则值是（ ） A 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，代入即可得出答案． 【详解】解：设，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键． 4. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2， ∵AB=m，AB边上的高是n． ∴S△ABC=mn=×2=1． 故选A． 【点睛】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，解题的关键是结合图像特征进行判断．根据二次函数和一次函数的图像与系数的关系逐一判断即可． 【详解】解：A、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误； B、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，，由直线知，，两结论一致，故本选项正确； D、由抛物线知，，，由直线知，，故本选项错误． 故选：C． 7. 如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识，在优弧上取一点，连接，．利用圆周角定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，． ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】将化为一般式，根据根与系数的关系可得，，将化为一般式，可得，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的与x轴的交点坐标是和， ∴方程的两个根分别为c、d， ∴，， ∴ ∵， 设方程的两根为，， ∴，， ∴，分别为a、b， ∴该函数与x轴的交点坐标和， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系． 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤错误． 【详解】解：为等边三角形， ，， 四边形是正方形 ，， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， 又， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； 过点作于，过点作于， 由题意可得，， ，， ，故③正确； ， ， ， 又与同高， ， 又，不是中点， ， ，故④错误； ，， ， ， ， 又，， ，故⑤错误， 综上所述：正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二．填空题（共4小题，每题5分，满分20分） 11. 若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图像位于第二、四象限， ， 解得． 故答案为：． 12. 如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义和性质是解题关键．设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，可知，代入数值并整理，解方程即可获得答案． 【详解】解：∵两点都是线段的黄金分割点， 设，则， ∴， ∴， 整理可得， 解得，（舍去）， ∴的长为． 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝，则sin∠DEB的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，求得、的边即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴， ∴，， 又∵D是斜边AB的中点， ∴， ∴，即， 在中，，，∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，涉及了平行线分线段成比例的性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解． 14. 如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为______． （2）当点P在上运动时（保持不变），则______． 【答案】 ① ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． （1）作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． （2）由，得到，因此，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：sin45°+sin60°﹣2tan45°． 【答案】. 【解析】 【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可. 【详解】解：原式=×+2×﹣2×1 =+3﹣2 =． 故答案为 【点睛】本题考核知识点：锐角三角函数.解题关键点：熟记特殊锐角三角函数值. 16. 如图，直线过轴上的点A(2，0)，且与抛物线交于B，C两点，点B坐标为(1，1)． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结OC，求出的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【详解】试题分析： （1）将点B的坐标代入中解出的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得抛物线的解析式和直线的解析式组合构成方程组，解方程组即可求得点C的坐标，结合点A的坐标即可求得△AOC的面积. 试题解析： （1）把点B的坐标（1，1）代入得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）由 解得： ， ， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴S△AOC=OA×4=4. 四．（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图． （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可得到，写出的坐标即可； （2）找到绕点B逆时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，的坐标为； 小问2详解】 如图所示，即为所求． 18. 一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键； （1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：把代入可得： ∴， ∴； ∴， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 ∵把一次函数的图象向下平移b个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， ∴， 整理得：， ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ∴或． 五．（本大题共两小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 20. 如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度，根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为米 【解析】 【分析】过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ， 在中，米，，设， 由勾股定理得， ∴，即， （米）， （米）， 在中，， 是等腰直角三角形， （米）， 在中，，， （米）， 米． 即建筑物的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 六．（本题满分12分） 21. 如图，在四边形中，，，平分，以为直径作交于点． （1）求证：为切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的定义，正确的作辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，由等腰三角形的性质得到，继而得到,，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，得到，进而得出，得到，根据勾股定理得到,即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 七．（本题满分12分） 22. 问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）[问题提出]（1）；（2）见解析 （2）[问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； [问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得． 【小问1详解】 [问题探究]：（1）如图， 中，，是的中点，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 [问题拓展]如图，取的中点，连接． ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，求的最大值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直线与两坐标的交点坐标为，，将A、B代入抛物线，利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式确定与x轴的交点坐标，再由对称的性质及两点之间线段最短即可确定点M的位置，然后代入一次函数解析式求解即可； （3）过点P作交直线于点E，则，所以 ，当取最大值时，有最大值． 【小问1详解】 解： 直线与坐标轴交于A、B两点， 当时，，当时，， ，， 将A、B代入抛物线，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为：． ∴当时，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∵点关于对称，连接交对称轴于点M， ∴，此时取得最小值， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 过点P作交直线于点E，则， 设点 ， ， ， ， 代数式，当时有最大值 ， 的最大值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，三角形相似的判定和性质，解题的关键是构造辅助线证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$