精品解析：河南省南阳市桐柏县晨中、育英两校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期九年级数学联考试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是最简二次根式 B. 的平方根是 C. 0.4的算术平方根是0.2 D. 立方根等于本身的数是0和1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根以及最简二次根式等知识点，如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．根据平方根、立方根的定义以及最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，说法正确，符合题意； B、的平方根是，说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是0.2，说法错误，不符合题意； D、立方根等于本身的数是0和，说法错误，不符合题意； 故选：A． 2. 若，则（　　） A. B. 4 C. 或4 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】运用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程转化为， 整理，得， 解得（舍去）． 则． 故选：B． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，注意的非负性是解题的关键． 3. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来 D. 在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【详解】A．在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月，属于必然事件； B．买一张电影票，座位号是偶数号，属于随机事件； C．晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来，属于随机事件； D．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，属于不可能事件； 故选A． 【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A. 化 B. 化为 C. 化为 D. 化为 【答案】C 【解析】 【分析】分别对四个选项的式子进行配方即可． 【详解】解：A、化为； B、化为； C、化为； D、化； 故选项C错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是配方法，注意在配方的时候要抓住二次项和一次项系数，去配平常数项． 5. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：， 故选：D． 6. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解以及根与系数关系、代数式求值，根据根据系数关系得到，再根据方程的解得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴ ， 故选：D． 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 6 B. 8 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程及勾股定理的应用，设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设门高是x尺，则门的对角线即竿高为尺，门宽为尺， 由勾股定理得：， 即， 解得或（舍）， 故选B． 8. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先证明，可推导CF＝AD＝4，然后可得，由勾股定理计算；当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中借助三角函数可得，然后可计算△AMN的面积，由函数解析式可知当点M在AB上时，函数图像是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，在Rt△FMN和Rt△FBA中借助三角函数可得，然后可计算△AMN的面积，由函数解析式可知当点M在BF上时，函数图像是开口向下的抛物线的一部分；根据上述两部分函数图像的特点，确定最终函数图像即可． 【详解】解：如图， ∵E是CD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， 在△ADE与△FCE中， ， ∴， ∴CF＝AD＝4， ∴， ∴， 当点M在AB上时， 在Rt△AMN和Rt△AFB中， ， ∴， ∴△AMN的面积， ∴当点M在AB上时，函数图像是开口向上、经过原点的抛物线的一部分； 当点M在BF上时，如图， ，， 在Rt△FMN和Rt△FBA中， ， ∴， ∴△AMN的面积， ∴当点M在BF上时，函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用、二次函数的实际应用等知识，正确分两种情况讨论，并熟练掌握二次函数的图像特征是解题关键． 10. 已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程-x2+x+6=0得A(-2，0)，B(3，0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6(-2≤x≤3)，然后求出直线y=x+m经过点B(3，0)时m的值和当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图，当时，，解得， ∴A(-2，0)，B(3，0)， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，则下方对应的解析式为， ∵y=x为第一、三象限的角平分线，直线y=x+m可以看成是y=x上下平移m个单位得到， ∴当直线y=x+m刚好经过B点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的 直线y=x+m1所示， ∴，解得； 当直线y=x+m刚好经过C点时，此时新函数图像与y=x+m恰好有3个交点，如上图中的 直线y=x+m2所示， ∴联立方程组，整理得到：， ∵直线y=x+m2和y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点C， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当新函数图像与y=x+m有4个交点时，， 综上所述：直线y=x+m与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标的求法及二次函数的图像和性质，考查了二次函数图像的坐标变化，本题的关键是求出沿x轴翻折后对应的解析式． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 在二次根式中的取值范围是 __． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义以及分式有意义的条件列出不等式，求解即可． 【详解】解：，， ，且， 故答案为： 且． 【点睛】本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数非负以及分式的分母不为0． 12. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________． 【答案】或24##24或 【解析】 【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的面积即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，三角形为等腰三角形，腰长为6，底边长为8， 则底边上的高， ∴三角形的面积为：； 当时， ∵， ∴三角形为直角三角形，两条直角边的长分别为8和6， ∴三角形的面积为：； 综上：三角形的面积为：或24； 故答案为：或24． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_____________________________； 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据点与对称轴的远近，判断函数值的大小． 【详解】∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9， ∴对称轴是x=2，开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， 比较可知，B（，y2）离对称轴最近，C（，y1）离对称轴最远， 即． 故答案为． 【点睛】主要考查了二次函数的图象性质及单调性的规律． 14. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 15. 已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴对称轴为，且开口向下， ∵当时，函数有最大值， ①当时，抛物线在处取到最大值， ∴， 解得：或（舍去）； ②当时，函数有最大值为1；不符合题意； ③当时，抛物线在处取到最大值， ∴， 解得：或（舍去）； ∴m的值为：或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论. 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17. 小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的两个转盘（每个转盘被平均分成面积相等的扇形）做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用列表法或树状图说明理由． 【答案】这个游戏规则对双方公平． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为奇数和偶数的情况，再利用概率公式求出小明和小亮获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，结果为奇数的有6种情况，为偶数有6种情况， ∴P（小明获胜）=； P（小亮获胜）=； ∴P（小明获胜）P（小亮获胜）， ∴这个游戏规则对双方公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 18. 在国家的宏观调控下，长沙市的商品房成交价由今年3月分的12100元下降到5月分的10000元 （1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（精确到百分之一） （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破8000元？请说明理由． 【答案】（1） （2）否，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为12100（1-x），5月份的房价为12100（1-x）2，然后根据5月份的10000元/m2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年7月份商品房成交均价，然后和8000元/m2进行比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：设百分率为x ，（舍） 答：4、5两月平均每月降价的百分率是． 【小问2详解】 否，理由如下： ∵（元）＞8000元 ∴预测到7月份该市商品房成交均价不会跌破8000元 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键． 19. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）降价元时，平均每天盈利最大． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设每件衬衫降价元，根据题意得，求解后再根据扩大销售量确定，即可求解． （2）设商场平均每天盈利，根据题意可得，将其化为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价元， 根据题意得， 解得， ∵根据题意要为扩大销售量， ∴在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，即， 答：若商场平均每天要盈利元．则每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 解：设商场平均每天盈利， 根据题意可得：， 即：， ∴当时，取最大值，最大值为元． ∴降价元时，平均每天盈利最大． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形的边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）①，；②矩形的面积6 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质，因式分解法求一元二次方程，掌握一元二次方程根与系数的关系，矩形得性质是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解； （2）①根据题意，当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根，所以，即可求解，代入方程求解即可；②当矩形的对角线长为时，则，设方程的两个根据为，结合一元二次方程根与系数的关系得到，则，从而得到，解方程得到m的值，再根据矩形边长为整数进行取舍，即可解答． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：矩形  的两条边恰好是这个方程的两个根， ①∵当矩形 是正方形时，，即方程有两个相等的根， ∴， 解得，， 当时，一元二次方程为：， ∴， 解得，， 即， 故答案为：，； ②当矩形的对角线长为时，， 设方程的两个根据为，则， ∵，， ∴，整理得，， 解得，， ∵和是矩形的边长， ∴，， ∴， ， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴矩形的面积为． 21. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； （2）在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】（1）5； （2）； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【小问1详解】 解：，之间的距离为：； 故答案为：5； 【小问2详解】 作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度， ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 【小问3详解】 表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小． 利用公式可得，点和之间的距离为． 即的最小值为． 22. 贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 【答案】；； 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解； （3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可； 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， （3）， 又， ∴， 上式， ， 故方程为， 解得：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法求解； （2）求出直线的解析式为，作轴交于点H，设，则，列出关于p的二次函数关系式，即可求解； （3）设点N坐标为，分别考虑当点N在x轴上方时，以及当点N在x轴下方时，利用建立一元二次方程求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于点H， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：，，， ，， ； 设点N的坐标为， 当点N在x轴上方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 当点N在x轴下方时， ， ， 整理得， 解得， 点N的坐标为或； 综上可知，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，抛物线中三角形面积的最值问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期九年级数学联考试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列说法正确是（ ） A. 是最简二次根式 B. 的平方根是 C. 0.4的算术平方根是0.2 D. 立方根等于本身的数是0和1 2. 若，则（　　） A. B. 4 C. 或4 D. 或3 3. 下列事件中，是必然事件的是（　　） A. 在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月 B. 买一张电影票，座位号是偶数号 C. 晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来 D. 在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化 4. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ） A. 化为 B. 化为 C. 化 D. 化为 5. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A 6 B. 8 C. 12 D. 13 8. 如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图像是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 在二次根式中的取值范围是 __． 12. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是_____________． 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_____________________________； 14. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）． 15. 已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 17. 小明和小亮都想参加“象棋”社团活动，但受到名额限制，只能录取一人，他们用如图所示的两个转盘（每个转盘被平均分成面积相等的扇形）做游戏：同时转动两个转盘，若两次数字之差的绝对值为奇数，则小明胜；若两次数字之差的绝对值为偶数，则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请你用列表法或树状图说明理由． 18. 在国家的宏观调控下，长沙市的商品房成交价由今年3月分的12100元下降到5月分的10000元 （1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（精确到百分之一） （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破8000元？请说明理由． 19. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售量，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件． （1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？ （2）降价多少元时，平均每天盈利最大？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）矩形 的两条边恰好是这个方程的两个根 ①当 时，矩形 是正方形，此时正方形边长是 ． ②当矩形的对角线长为时，求矩形的面积． 21. 阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式． 利用上面公式解决下列问题： （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； （2）在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 22. 贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简； 【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式； 【问题迁移】（3）若，解方程． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$