精品解析：广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高一级数学科试题 考试时间：2024年11月7日 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定为全称命题求解即可. 【详解】解：由于特称命题的否定为全称命题， 故，的否定为：，. 故选：B. 2. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 本题选择B选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 4. 设，，则两数最精确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以， 故选：A. 5. 若不等式的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设，，由题意可得可得是的真子集，即可求出的取值范围. 【详解】设，， 因为不等式的必要不充分条件是， 可得是的真子集， 所以，解得：， 经检验和符合题意，所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的概念及等价于集合之间的关系，属于中档题. 6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式． 【详解】由对任意的，，可知函数在上单调递减， 因为为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，，当时，， 因为， 所以或， 所以或，即． 故选：D． 7. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令即可判断. 【详解】对于AC，若，则，故AC错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A：因为是元素，是集合，所以，故A正确； 对于B：因为集合具有无序性，且是的子集，所以，故B正确； 对于C：因为空集是任何集合的子集，所以故C正确， 对于D：因为‌‌空集是指不含任何元素的集合‌.中含有元素0，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 存在是无理数，使得 D. ，总有 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的定义判断选项A、B、C；分别对是无理数和有理数进行分类讨论可判断选项D. 【详解】由，可得的值域为， 所以，故选项A、B正确； 因为当是无理数时，且是无理数， 所以， 所以，故选项C错误； 当是无理数时，均为无理数，此时有， 当是有理数时，均为有理数，此时有 所以，总有，故选项D正确. 故选：ABD 11. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或，故A错误； 对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意； 当时，由二次函数的性质可得，解得， 综上的取值范围是，故D正确； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的非空子集的个数为________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用集合中的元素个数即可求得对应集合的子集个数，再去除空集即可得出结果. 【详解】易知集合中有3个元素，根据元素个数与子集个数之间的关系可得，集合的非空子集的个数为个. 故答案为：7. 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 14. 已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为________；（2）若，则的最大值为________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先解一元二次不等式化简集合B，再进行并集运算即可； （2）由列不等关系，解得参数范围即可. 【详解】解：（1）由，得或，所以或， 所以或； （2）若，则需，解得， 故实数的取值范围为. 16. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 【答案】将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【解析】 【分析】设底面长为，宽为，由容积为，可得，列出水池的总造价关于的函数关系可得，借助均值不等式即得解 【详解】设底面长为，宽为 则 水池的总造价： （元） 当且仅当时，等号成立. 所以，将水池的地面设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 17. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1）， （2）因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. 【小问1详解】 因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，； 当时，，则，所以. 综上，. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求； （2）当时，解此不等式． 【答案】（1）2（2）时，，时，，时，不等式的解集为空集，时，，时，. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a的方程组，解得a；（2）不等式化为，讨论a的取值，从而求得不等式的解集。 【详解】（1）由题得，，解集为，则有，解得；（2）由题，：当时，不等式化为，解得；当时，不等式等价于，若，解得；若，解得，若，解得；当时，不等式等价于，解得或.综上，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为空集，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用，以及通过讨论参数取值求不等式的解集，有一定的难度。 19. 两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05. （1）将表示成的函数； （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是否符合题意，即可判断得出结论并确定位置. 【小问1详解】 由为直径可得，所以 由题意可知， 又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05， 即时，，代入得， 所以， 即关于的函数为 【小问2详解】 口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小， 由（1）知 令，则可得 ，当且仅当时，等号成立； 且，所以， 即，此时，即，解得. 因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高一级数学科试题 考试时间：2024年11月7日 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题，，则的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 3. 若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则两数最精确的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题为真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 存在是无理数，使得 D. ，总有 11. 下列说法错误的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域是 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的非空子集的个数为________. 13. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 14. 已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为________；（2）若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 17. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求，的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 18. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求； （2）当时，解此不等式． 19. 两社区和相距2km，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05. （1）将表示成的函数； （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $