山西大学附属中学校2026-2027学年高三上学期8月月考（总第一次）数学试题

**基本信息** 高三8月月考数学卷以函数、几何、概率等核心知识为载体，通过马尔科夫链概率模型等创新情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配一轮复习初期基础巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、百分位数、集合运算等|基础题为主，检测知识掌握| |多选|3/18|不等式性质、抛物线几何性质等|多角度考查，体现思维严谨性| |填空|3/15|双曲线离心率、向量垂直、外接球表面积|聚焦几何与代数核心技能| |解答|5/77|解三角形、椭圆方程与面积、立体几何二面角、导数综合、马尔科夫链概率模型|综合题梯度设计，如导数题三问递进，马尔科夫链情境渗透数学建模，贴合高考命题趋势|

山西大学附中 2026~2027学年第一学期高三8月模块诊断（总第一次) 数学答案 考试时间：120分钟 满分：150分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A C D C ABD BC 题号 11 12 13 14 V10 10 答案 AB 3W2 3 15.【详解】(1)△ABC中，由正弦定理得sinA(1+cosB)+sinB:(1+cosA)=3sinC, sin A+sin Acos B+sin B+sin B cos A=3sin C. sin A+sin B+sin(+B)=3sinc ysin()=sinC sin +sin B=2sinc ,又 又由正弦定理得a+b=2c:而a=2b,于是C= 2 由余孩定理得cos4=b+c2-a=”千4”一461 4 2bc2bx2b4下0 3 0,即为钝角，所以 为钝角三角形： 2 A AABC (2aABC中，因s4=,则4=压 4 4.附下而 而心2 besin A 6=24 ,bc=24.则有2 ,所以b=4. √2 16.【详解】(1)由题知，a=2,而离心率为2，故c=√2， x2y2 故b=V2,故椭圆方程为：4+2 (2)由题设直线AB的斜率不为0，故设直线 :x=t(y+2）A(,y),B(,2) x=t(y+2) B 由x2+2y2=4可得t2+2)y2+4y+412-4=0, 答案第1页，共2页 故4=16-4+24r-4）48-4小0即-5<1<5. 42 4t2-4 且%+%=2+24=P+2, 数5ae方24以-为h0+-4折- V32-162 t2+2 2解得6 3, 所以直线 17.(I)证明：因为PA⊥平面ABCD,而ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC平面PAB,所以AD⊥平面PAB, 而ABC平面PAB,所以AD⊥AB. 因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,根据平面知识可知AD1IBC, 又ADC平面PBC,BCC平面PBC,所以ADII平面PBC. (2)如图所示，过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF, 因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC, 所以DE⊥平面PAC,又EF⊥CP,所以CP⊥平面DEF, 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 因为ADL DC,则CD=1DE=2CE=2 2, D 而AEFC为等腰直角三角形，所以EF=, 2W2, 故a∠DFE=DE ,所以i咖∠DrE=2 =6 7, 18+01-大 x+1 x+1,x>-1. -0,因为x+1>0:0<k<1,所以-红+1-k=0 令f'(x)=0,即x+1 解得1片g1,*1>0 答案第2页，共2页 (2)由(1)知x=一1是fx)在(0，+切)上唯一的极值点，是极大值点 所传-小o=ho=)0-0-所付4eoL唯的g点 综上，)在区间 (0,+0) 存在唯一的极值点和唯一的零点， (3)2<,证明如下： 南与，清足-b6+少=0，且5e1】 )-/2-月=n2-2-=h层--2*2 多4个=n是-2+2.0<c, 2 足+2=k0- -2 +2=2+22-.24-2-26-<0 k(2-k) k(2-k)k(2-k), 府4在@上单阿连法60-n是小221-0，)0 5为内在层)满.24--小15及e-0 所以24<5 19.【详解】(1)根据题意可得恰有0个黑球的概率为 1-Pn-9n 答案第3页，共2页 cc +c'cl5 ccl2 P1= 根据古典概型可得 9,9 CC9. 顾PSc+cCC瓷+-9型 2p+ 81 (2)由题意得， 以+器+瓷-m+f CC 进一步整理可以得到下式： 2；副 32 又n-5=45 ≠0 37 2 故可以确定，5是以首项为45，公比为9的等比数列， 3-- 所以A亏5 1 (3)由题意可得9， 器器 1-器+00-an+片0-a ①-②，得24+p-1=329+P-, 因为29+月-1=0 gn+pn-1=0 所以 所以9，-1-2 2，Xn的概率分布列为： 0 答案第4页，共2页 p 1-Pn 2 Ex,)=0个-n21xn+2x-1 2 所以X”的数学期 E(X)为定值1 答案第5页，共2页 山西大学附中 2026～2027学年第一学期高三8月月考（总第一次） 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B．2 C．i D． 2．样本数据3，3，4，5，6，7，7，8的第80百分位数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，，，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．设函数，曲线与恰有一个交点，则（   ） A． B． C．1 D．2 7．已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 8．设为空间中64个点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（   ） A． B． C．0 D． 二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知正实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则的离心率为__________. 13．已知向量，，若，则____________． 14．在三棱锥中，若，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 16．（15分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 17．（15分）如图，四棱锥中，底面，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 18．（17分）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (3)设，分别为在区间的极值点和零点，比较与的大小，并证明你的结论. 19．（17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求，，的值； (2)求的值（用表示）； (3)求的数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $