黄金卷02（江苏无锡专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（3分）下列每组两个数是互为相反数的是　　 A．3和 B．和 C．和 D．3和 2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 3．（3分）当分式无意义，则的取值情况是　　 A． B． C．且 D．或 4．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的内角和等于　　 A． B． C． D． 6．（3分）估算在哪两个整数之间？　　 A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 7．（3分）从一个直径为1的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥侧面，此圆锥的底面圆半径为　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，△是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为　　 A． B． C． D．不能确定 9．（3分）下列各图象不表示函数的是　　 A． B． C． D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值，如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论： ①，； ②若，，，，则点坐标为； ③满足，，的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④若平面中任意一点满足，，，则满足条件的点的全体组成的图形面积为． 其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11．（3分）分解因式的结果是 　　． 12．（3分）已知方程组，则的值是 　　． 13．（3分）对于实数，记其整数部分为，如，．若，点为抛物线上的动点，则的取值范围是 　　． 14．（3分）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 　　． 15．（3分）如图，点，在反比例函数的图象上，且，则　　． 16．（3分）平面直角坐标系中，，，直线为常数）与线段有公共点，则的取值范围 　　． 17．（3分）如图，四边形中，，，，连接，作角平分线交、于点、．若，，那么长为 　　． 18．（3分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 　　． 三、解答题：（本大题共10题，第18-19每题8分，第20-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分）（1）计算：； （2） 化简：． 20． （8分）（1）解方程：； （3） 解不等式组：． 21．（10分）如图，在中，点，分别在边和上，且，连接，，分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 22．（10分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理： 【收集数据】甲组20名同学的成绩统计数据：（单位：分） 87 90 60 77 92 83 56 76 85 71 95 95 90 68 78 80 68 95 85 81 乙组20名同学中成绩在分之间数据：（满分为100分，得分用表示，单位：分） 70 72 75 76 76 78 78 78 79 【整理数据】（得分用表示） （1）完成下表 分数班级 甲班（人数） 1 3 4 6 6 乙班（人数） 1 1 　　 　　 4 【分析数据】请回答下列问题： （2）填空： 平均分 中位数 众数 甲班 80.6 82 　　 乙班 80.35 　　 78 （3）若成绩不低于80分为优秀，请以甲组、乙组共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？ 23．（10分）疫情防控期间，师生进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．学校在大门口设置了两种不同类型的测温通道，其中通道是红外热成像测温通道，、通道都是人工测温通道．每位师生都可随机选择其中一条通道通过，某天早晨，甲、乙两位同学通过测温进校． （1）甲同学通过通道测温进入校园的概率是 　　； （2）求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法求） 24．（10分）尺规作图 在中，，，，若点是斜边上一个动点，点在上，点、点、点组成的三角形为等腰三角形． （1）连接，，使，请用尺规作图的方法，作出点，点的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时的面积． 25．（10分）某科研单位准备将院内一块长，宽的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，、、、均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元米、建造花草区域的总成本为42000元，求的值． 26．（10分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识． 已知正方形纸片的边长为4． 实践操作： （1）如图①，连接，将正方形纸片分别沿过点和点的直线折叠，使点和点都落在上，对应点分别是点和点，折痕分别与和交于点，．猜想线段与线段之间的数量关系和位置关系是 　　； （2）将图①的纸片展开，如图②，顺次连接点，，，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 操作程究： （3）折叠正方形，使点落在上的点处，得到折痕（点，分别是折痕与边和边的交点）． ①如图③，若恰好是边的中点，则的长为 　　； ②如图④，若△为等腰直角三角形，连接，，则四边形的面积是 　　． 27．（10分）如图，已知四边形内接于，且，点为弦的中点，连结．延长，相交于点，连结，与相交于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若点是的中点，，求的值． （3）连结，探究与之间的等量关系，并证明． 28．（10分）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点，且，求点的坐标； （3）如图2，点为抛物线上在第二象限的一个动点，作轴于点，已知直线与抛物线有唯一公共点，该直线交抛物线的对称轴于点，过点的另一直线交抛物线于，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（3分）下列每组两个数是互为相反数的是　　 A．3和 B．和 C．和 D．3和 解：、3和不是互为相反数，故此选项不符合题意； 、和不是互为相反数，故此选项不符合题意； 、和不是互为相反数，故此选项不符合题意； 、3和互为相反数，故此选项符合题意； 故选：． 2．（3分）目前，我国“新冠”疫苗接种正在有序推进．国家卫生健康委员会公布的数据显示，截至2021年4月20日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗已超过19500万剂次，将数据“19500万”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 解：19500万， 故选：． 3．（3分）当分式无意义，则的取值情况是　　 A． B． C．且 D．或 解：由题意得，或， 解得或． 故选：． 4．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 解：、与不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 5．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，则该多边形的内角和等于　　 A． B． C． D． 解：根据题意得：，， 则该多边形的内角和等于， 故选：． 6．（3分）估算在哪两个整数之间？　　 A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 解：因为， 所以， 所以在2和3之间． 故选：． 7．（3分）从一个直径为1的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥侧面，此圆锥的底面圆半径为　　 A． B． C． D． 解：扇形的弧长是， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长， 则圆锥底面的周长是， 设圆锥的底面半径是， 则， 解得：， 圆锥的底面圆半径为． 故选：． 8．（3分）如图，△是等边三角形，点是边上的一个点，点关于边，的对称点分别为，，连接，，则的大小为　　 A． B． C． D．不能确定 解：△是等边三角形， ，， 由轴对称可知，，，， ， ， 故选：． 9．（3分）下列各图象不表示函数的是　　 A． B． C． D． 解：、根据图象知给自变量一个值，有的有2个函数值与其对应，故不是函数，符合题意； 、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故是函数，不符合题意； 、根据图象知给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，故是函数，不符合题意； 、根据图象知给自变量一个值，有且只有1个函数值与其对应，故是函数，不符合题意； 故选：． 10．（3分）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点和点的关联值，如下：若，，在一条直线上，；若，，不在一条直线上，．已知点坐标为，点坐标为，有下列结论： ①，； ②若，，，，则点坐标为； ③满足，，的点，都在一三象限角平分线和二四象限角平分线上； ④若平面中任意一点满足，，，则满足条件的点的全体组成的图形面积为． 其中，正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：点坐标为点坐标为， ，， ，，故①正确； ，， 点在轴上， ，， ， ， 点坐标为，或，，故②错误； 若，，，则， 所以． 因此， 即点到坐标轴的距离不等， 故满足，，的点不在一三象限角平分线和二四象限角平分线上，故③错误； （4）设点坐标为， ，，， ， ， 对于， 当，时，，与轴的交点为，0，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，0，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，0，与轴的交点为； 当，时，，与轴的交点为，0，与轴的交点为； 在同一坐标系中画出它们的图象如图： 满足条件的点的全体组成的图形面积为，故④正确． 故选：． 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11．（3分）分解因式的结果是 　　． 解： ． 故答案为：． 12．（3分）已知方程组，则的值是 　3　． 解：， ①②得，， ， 故答案为3． 13．（3分）对于实数，记其整数部分为，如，．若，点为抛物线上的动点，则的取值范围是 　　． 解：， ， ， 当时，， 当时，， ． 14．（3分）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 　　． 解：设方程的另一个根为， 根据题意得， 解得：． 故方程的另一个根为． 故答案为：． 15．（3分）如图，点，在反比例函数的图象上，且，则　　． 解：绕原点顺时针旋转到，连接，作轴于，轴于， 点， ，， ， ， ， ， ， ， 在与△中， ， △， ，， ， ， ，轴，， ， △是等边三角形， ， ， 在中，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 故答案为． 16．（3分）平面直角坐标系中，，，直线为常数）与线段有公共点，则的取值范围 　　． 解：把代入直线，得． 解得． 把代入直线，得． 解得． 故的取值范围为：． 故答案为：． 17．（3分）如图，四边形中，，，，连接，作角平分线交、于点、．若，，那么长为 　　． 解：连接． 在直角三角形中，，，根据勾股定理，得． ，， 垂直平分，． ． ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 由勾股定理得出， ， ， 故答案为：． 18．（3分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 　4　． 解：作点关于轴的对称点，连接，交于点，交轴于点， 过点作轴，交轴于点，过点作， 点与点关于轴对称， ， 当、、’在同一直线上且经过点时取最小值． 在中，， 由是的内切圆，设的半径为， ， 解得， ， ，， ， ， 即最小值为4， 故答案为：4． 三、解答题：（本大题共10题，第18-19每题8分，第20-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 解：（1） ； （2） 20．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 解：（1）， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 21．（10分）如图，在中，点，分别在边和上，且，连接，，分别交，的延长线于点，． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． （1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由：， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 22．（10分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理： 【收集数据】甲组20名同学的成绩统计数据：（单位：分） 87 90 60 77 92 83 56 76 85 71 95 95 90 68 78 80 68 95 85 81 乙组20名同学中成绩在分之间数据：（满分为100分，得分用表示，单位：分） 70 72 75 76 76 78 78 78 79 【整理数据】（得分用表示） （1）完成下表 分数班级 甲班（人数） 1 3 4 6 6 乙班（人数） 1 1 　9　 　　 4 【分析数据】请回答下列问题： （2）填空： 平均分 中位数 众数 甲班 80.6 82 　　 乙班 80.35 　　 78 （3）若成绩不低于80分为优秀，请以甲组、乙组共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？ 解：（1）由题意可知，乙班在的数据有9个，在的有个， 故答案为：9，5； （2）甲班20人中得分出现次数最多的是95分，共出现3次，因此甲班学生成绩的众数， 将乙班20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数， 故答案为：95，78.5； （3）（人， 答：甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数约为840人． 23．（10分）疫情防控期间，师生进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．学校在大门口设置了两种不同类型的测温通道，其中通道是红外热成像测温通道，、通道都是人工测温通道．每位师生都可随机选择其中一条通道通过，某天早晨，甲、乙两位同学通过测温进校． （1）甲同学通过通道测温进入校园的概率是 　　； （2）求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法求） 解：（1）甲同学通过通道测温进入校园的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况， 甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率为． 24．（10分）尺规作图 在中，，，，若点是斜边上一个动点，点在上，点、点、点组成的三角形为等腰三角形． （1）连接，，使，请用尺规作图的方法，作出点，点的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时的面积． 解：（1）图形如图所示： （2）过点作于点，于点． ，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 的面积． 25．（10分）某科研单位准备将院内一块长，宽的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，、、、均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元米、建造花草区域的总成本为42000元，求的值． 解：（1）设小道进出口的宽度为米，依题意得． 整理，得． 解得，． （不合题意，舍去）， ． 即小道进出口的宽度应为1米； （2）①剩余的种植花草区域的面积； ②根据题意得， 解得或（不合题意舍去）， 答：的值为14． 26．（10分）综合与实践 折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识． 已知正方形纸片的边长为4． 实践操作： （1）如图①，连接，将正方形纸片分别沿过点和点的直线折叠，使点和点都落在上，对应点分别是点和点，折痕分别与和交于点，．猜想线段与线段之间的数量关系和位置关系是 　，　； （2）将图①的纸片展开，如图②，顺次连接点，，，，猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 操作程究： （3）折叠正方形，使点落在上的点处，得到折痕（点，分别是折痕与边和边的交点）． ①如图③，若恰好是边的中点，则的长为 　　； ②如图④，若△为等腰直角三角形，连接，，则四边形的面积是 　　． 解：（1）由折叠可得，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 同理可得， 由折叠可得，， ， ， ，，， ， ， ， 四边形是菱形； （3）①如图，设与相交于点， 是边的中点， ， 由折叠可得，，，， 设，则， 在△中，， ， 解得， ，， ， ， ， ， 又， △△， ， 即， ，， ， ，， △， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． ②如图，设与相交于点， 当△为等腰直角三角形时，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ，，， ，， ， △为等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，， △， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 27．（10分）如图，已知四边形内接于，且，点为弦的中点，连结．延长，相交于点，连结，与相交于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若点是的中点，，求的值． （3）连结，探究与之间的等量关系，并证明． （1）证明：， ， 点为弦的中点， ， ． 四边形内接于， ， ， ， ； （2）解：过点作于点，如图， ，， ， 点是的中点， 为的中位线， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ． ． ． ， ， ． （3）解：与的关系为：． 连接并延长交于点，连接，，如图， 点为弦的中点，为的中点， ． 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．（10分）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为抛物线在第四象限的一点，连交线段于点，且，求点的坐标； （3）如图2，点为抛物线上在第二象限的一个动点，作轴于点，已知直线与抛物线有唯一公共点，该直线交抛物线的对称轴于点，过点的另一直线交抛物线于，若平分，求证：直线必过一定点，并求这个定点的坐标． （1）解：令， 化简得：， 解得：，， ，， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于点， 在中，令，得， ， 令，得， 解得：，， ，， ， 设直线的解析式为，将、的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， 点的纵坐标为， 则， 解得：， ，， ， ，， ， ， ， 即， 解得：，， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）证明：如图2，设直线交抛物线对称轴于，，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，把点的坐标代入得：， 则， 直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点， △， 即， ， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 又根据两点间距离公式得： ， 轴， 轴， 轴， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线经过定点 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（无锡专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C C A A B A B 二、填空题：（本大题共8题，每题3分，共24分.） 11．（3分）． 12．（3分）3． 13．（3分） 14．（3分）． 15．（3分） 16．（3分）． 17．（3分）． 18．（3分） 三、解答题：（本大题共10题，第18-19每题8分，第20-28每题10分，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（8分） 解：（1） ； （2） 20．（8分） 解：（1）， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 21．（10分） （1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由：， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 22．（10分） 解：（1）由题意可知，乙班在的数据有9个，在的有个， 故答案为：9，5； （2）甲班20人中得分出现次数最多的是95分，共出现3次，因此甲班学生成绩的众数， 将乙班20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数， 故答案为：95，78.5； （3）（人， 答：甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数约为840人． 23．（10分） 解：（1）甲同学通过通道测温进入校园的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况， 甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率为． 24．（10分） 解：（1）图形如图所示： （2）过点作于点，于点． ，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 的面积． 25．（10分） 解：（1）设小道进出口的宽度为米，依题意得． 整理，得． 解得，． （不合题意，舍去）， ． 即小道进出口的宽度应为1米； （2）①剩余的种植花草区域的面积； ②根据题意得， 解得或（不合题意舍去）， 答：的值为14． 26．（10分） 解：（1）由折叠可得，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）四边形是菱形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 同理可得， 由折叠可得，， ， ， ，，， ， ， ， 四边形是菱形； （3）①如图，设与相交于点， 是边的中点， ， 由折叠可得，，，， 设，则， 在△中，， ， 解得， ，， ， ， ， ， 又， △△， ， 即， ，， ， ，， △， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． ②如图，设与相交于点， 当△为等腰直角三角形时，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ，，， ，， ， △为等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，， △， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 27．（10分） （1）证明：， ， 点为弦的中点， ， ． 四边形内接于， ， ， ， ； （2）解：过点作于点，如图， ，， ， 点是的中点， 为的中位线， ， ，， ， ， ． ，， ， ， ． ． ． ， ， ． （3）解：与的关系为：． 连接并延长交于点，连接，，如图， 点为弦的中点，为的中点， ． 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．（10分） （1）解：令， 化简得：， 解得：，， ，， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于点， 在中，令，得， ， 令，得， 解得：，， ，， ， 设直线的解析式为，将、的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， 点的纵坐标为， 则， 解得：， ，， ， ，， ， ， ， 即， 解得：，， 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）证明：如图2，设直线交抛物线对称轴于，，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，把点的坐标代入得：， 则， 直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得：， 整理得：， 直线与抛物线有唯一公共点， △， 即， ， 直线的解析式为， 令，得， ， ， 又根据两点间距离公式得： ， 轴， 轴， 轴， ， ， 平分， ， ， ， ， 即， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线经过定点 / 学科网（北京）股份有限公司 $$