2025届全国二卷辽吉黑高三数学高考预测卷（五）

2025届高考预测卷（五） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析题意，先求解出集合，再利用集合补集的定义求解即可. 【详解】易知函数的定义域为R，故.由得， 解得，所以，故， 故选：C. 2．已知命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先分析题意，利用命题的否定知识解答即可. 【详解】易知全称量词命题的否定是特称量词命题，而命题p：，是全称量词命题， 所以为“，” ， 故选:B. 3．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的定义即可得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 即，解得， 可知，所以， 故选：A. 4．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简得，再利用三角函数的图象与性质及图象的变换法则可得，又由为偶函数，从而可求解. 【详解】由题意得， 由三角函数图象的变换法则可得， 由为偶函数，得，，得，， 又，所以当时，取得最小值，故B正确. 故选：B. 5．已知非零向量满足，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积公式得到，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由两边平方，得， 故， 由，得， 即，则． 不妨设，，， 因此，， ， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：A． 6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，要想球形材料的表面积最小，则需圆锥的顶点及圆柱的底面圆周在球面上，根据组合体的结构特征及勾股定理列方程求解即可. 【详解】设球半径为，则，解得， 故该球形材料的表面积的最小值为， 故选：D. 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由题及双曲线的定义求得，，，，并结合及余弦定理得到，即可得到C的离心率. 【详解】令，则由得，， 由双曲线的定义知，， 又，得，得， 所以，，，，又， 所以， 即，得，故. 故选：A. 8．已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四棱锥沿展开为平面图，然后取关于直线CD对称的点为F，利用几何知识得到，从而再利用可求得，从而可求解. 【详解】将沿直线AD展开到平面ABCD内，如图所示，    取E关于直线CD对称的点为F，连接NF，CF， 因此.连接PF， 则当P，M，N，F四点共线时，取得最小值，为PF， 此时PF交AD于点M，交CD于点N，由，则， 又由，所以， 所以可得，因此，故点M为线AD的中点， 易得四边形MECD为正方形，又N在CD上，所以. 故三棱锥P-EMN的体积.故C正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：立体图形表面的最短路径问题，往往需要借助展开图将其平面化，再利用平面上“两点之间线段最短”等知识巧妙解决 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对具有线性相关关系的两个变量x，y进行统计时，得到数据如表所示，若通过表格数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） x 3 5 7 9 y m A． B．变量y与x是正相关关系 C．该回归直线必过点 D．x每增加1个单位，减少2个单位 【答案】ACD 【分析】首先分析题意，利用线性相关关系及线性回归方程的知识逐个分析即可. 【详解】选项A：依题意，，， 则，解得，A正确. 选项B：回归方程中，，，则变量y与x是负相关关系，B错误. 选项C；由于样本点的中心为，因此该回归直线必过点，C正确. 选项D：由回归方程知，x每增加1个单位，减少2个单位，D正确. 故选：ACD. 10．已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（    ） A．数列是周期数列 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先将递推关系式进行转化，得到，由，计算得到，，，，的值，观察可得为周期数列，且周期为4，即可判断选项A；根据周期数列的性质，即可判断选项B，C，D. 【详解】选项A：易知，由，得， 又，计算得，，，， 因此为周期数列，且周期为4，A正确. 选项B：由A知，，B正确, 选项C，D：由周期性，得， ，则，故C错误，D正确. 故选：ABD. 11．已知是的导函数，则（    ） A．是周期函数 B．的一条对称轴是 C．在内有两个不同的零点 D．在内有两个不同的极值点 【答案】AB 【分析】利用周期函数的定义判断A；求出导数，利用轴对称的意义判断B；求出函数的零点判断C；利用导数探讨单调性并确定极值点判断D. 【详解】依题意，，是周期函数，A正确； 而，则 ，的图象关于对称，B正确； ，在上只有一个零点，C错误； 当时，， 令，求导得， 又， 于是，即，函数在上单调递减， 而，，则，使得， 于是函数在上有唯一零点，且当，函数递减， 当，函数递增，因此在上只有1个极值点，D错误.故选：AB 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， (1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. (2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a，，，则 . 【答案】6 【分析】由复数的四则运算以及复数相等的充要条件即可列式求解. 【详解】，故，，得，，所以. 故答案为：6. 13．为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）. 【答案】36 【分析】根据题意可分为一个乡村分配3人，其余各村分配1人和一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的2种分配方案，从而可求解. 【详解】一个乡村分配3人，其余各村分配1人的分配方案有（种）； 一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的分配方案有（种） .依据分类加法计数原理可知不同的分配方案种数为. 故答案为：. 14．已知点，.以坐标原点O为对称中心且焦点在y轴上的椭圆Ω的离心率为，过点A且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Ω交于C，D两点，x轴恰平分，则椭圆Ω的标准方程为 . 【答案】 【分析】由x轴恰平分可得，设椭圆Ω的标准方程为,直线l：，联立椭圆方程与直线方程，结合韦达定理可得，，代入化简即可求得椭圆Ω的标准方程. 【详解】因为x轴恰平分，所以，得. 由题可设椭圆Ω的标准方程为， 因为椭圆Ω的离心率为，故， 得，则①. 设直线l：，②，，， 联立① ②，消去y，得，， 故，，又，， 故， 得， 即， 得，， 故椭圆Ω的标准方程为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，根据椭圆的离心率，进一步得到椭圆长半轴长和短半轴长的关系，得到椭圆方程，设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系结合x轴恰好为∠CBD的角平分线列式求得b，则椭圆方程可求． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】(1)求得函数的导数，求得切线的斜率和切点的坐标，即可求解其切线的方程，得到答案. (2)由函数的导函数为，分类讨论，进而可求得函数的单调区间. 【详解】(1)由题意，函数， 则， 可得曲线在点处的切线斜率为，切点坐标为， 所以切线的方程为，即． (2)函数的导函数为， ①当时，， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增． ②当时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增． ③当时，若，则在R上单调递增． 若，则，即为，可得或； ，即为，可得. 若，则，即为，可得或； ，即为，可得. 综上可得，当，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为R； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了逻辑推理能力与计算能力，对导数的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 16．如图1，已知四边形为直角梯形，其中，，，，A为垂足，将沿折起，使点Q移至点P的位置，得到四棱锥如图2，侧棱底，点E，F分别为，的中点. (1)若平面，求的长； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直的性质得到，即可得到的长. （2）建立空间直角坐标系并求出相关点及向量的坐标，求出平面的法向量，由空间向量坐标公式直接计算直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题易知四边形是边长为4的正方形，所以. 由平面，平面，得， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以. 由平面，平面，得， 而，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又为的中点，所以. （2）由题易知两两垂直， 则以点A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 得，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则， 令，得，所以. 设直线与平面所成角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】思路点睛：空间中求解线面角的方法主要有两种： （1）几何法，根据定义转化为直线与直线在平面内的射影所成的角，通过解三角形求解； （2）向量法，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为θ，则. 17．已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将点的坐标代入抛物线方程求得，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求得，利用导数法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）设，，利用得，设直线AB的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入得，从而求得直线AB过定点，易知当时，点M到直线AB的距离最大，利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为. 解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0， 设过点M的抛物线的切线方程为， 将其代入，得， 由，得， 故过点M的抛物线C的切线方程为. 解法二 ：当时，由得，而， 所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1， 故过点M的抛物线C的切线方程为，即； （2）设，，则，同理， 故，化简得. 易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为， 将其代入，得，所以，， 所以，即， 直线AB的方程为，直线AB过定点. 连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大， 故点M到直线AB距离的最大值为. 18．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲-乙 丙-丁 第二轮 甲-丙 乙-丁 第三轮 甲-丁 乙-丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解. 【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则， 即丁同学的总分为5分的概率为. （2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名. ① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率. ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励， 此时的概率. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率； 第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励， 此时的概率. 综上，甲同学能获得奖励的概率. 19．设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列． (1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明； (2)已知数列为“好”数列． ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证： 【答案】(1)数列是“好”数列；数列不是“好”数列，证明见解析 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）直接根据新定义验证； （2）取，得出，化简为，利用（）相减得出，再写一次（用代后相减得出，再验证时也成立，从而得出是等差数列，①由已知求得公差，根据是正整数，求得结论；②利用等比数列的性质求得，把用表示，并结合是正整数可证明结论成立． 【详解】（1），则，所以， 而， 所以，对任意的均成立，即数列是“好”数列； ，取，则，， 此时，即数列不是“好”数列． （2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立． 当，有，两式相减，得， 即，所以， 所以，即， 即， 当时，有，即， 所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列． 设数列的公差为， 若，则，即， 因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，，所以 若，则，由成等比数列，得， 所以，即， 化简得，，即 因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设， 由于是任意给定正整数，所以 【点睛】方法点睛：本题考查数列新定义问题，解题关键是灵活运用新定义进行转化，第（2）小题中求数列通项公式，对新定义中，直接取，得出，然后利用相减得出数列的递推关系，从而证明是等差数列，题设转化为等差数列的问题进行求解． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考预测卷（五） 数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号：非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则θ的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l过点且与双曲线C交于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 8．已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对具有线性相关关系的两个变量x，y进行统计时，得到数据如表所示，若通过表格数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） x 3 5 7 9 y m A． B．变量y与x是正相关关系 C．该回归直线必过点 D．x每增加1个单位，减少2个单位 10．已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（    ） A．数列是周期数列 B． C． D． 11．已知是的导函数，则（    ） A．是周期函数 B．的一条对称轴是 C．在内有两个不同的零点 D．在内有两个不同的极值点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知a，，，则 . 13．为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为 （用数字作答）. 14．已知点，.以坐标原点O为对称中心且焦点在y轴上的椭圆Ω的离心率为，过点A且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Ω交于C，D两点，x轴恰平分，则椭圆Ω的标准方程为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 16．如图1，已知四边形为直角梯形，其中，，，，A为垂足，将沿折起，使点Q移至点P的位置，得到四棱锥如图2，侧棱底，点E，F分别为，的中点. (1)若平面，求的长； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 17．已知抛物线C：过点. (1)求过点M的抛物线C的切线方程； (2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值. 18．象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋､国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲､乙､丙､丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲-乙 丙-丁 第二轮 甲-丙 乙-丁 第三轮 甲-丁 乙-丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲､乙､丙3名同学水平相当，彼此间胜､负､平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜､负､平的概率都分别为.每场比赛结果相互独立. (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙､丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 19．设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列． (1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明； (2)已知数列为“好”数列． ①若，求数列的通项公式； ②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证： 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$