黄金卷05（全国通用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷05 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.不选、多选、错选均不得分.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C． D D A A C C A D 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．（y+7）（y﹣7） 12．80 13．17 14．1.6 15．①③ 16． 三、解答题：（本大题共8题，第17题6分，第18-21每题8分，第22题10分，第23-24题每题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解：（1）（﹣10）÷5+（﹣2+3）×22 ＝﹣2+1×4 ＝﹣2+4 ＝2；（3分） （2） ＝a﹣1．（6分） 18．解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠A＝60°，∠D＝120°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形；（4分） （2）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6米， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝180°﹣120°＝60°， ∴BEBC6＝3（米）， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE3（米）， ∴S平行四边形ABCD＝AB•CE＝2.8×3（平方米）， 答：停车位ABCD的面积为平方米．（8分） 19．解：（1）设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为（a+0.6）． 根据题意，得2a+3（a+0.6）＝11.8， 解得a＝2， 2+0.6＝2.6（万元）， ∴A型物流箱的单价为2万元，B型物流箱的单价为2.6万元．（4分） （2）根据题意，安装A型物流箱（30﹣x）个， w＝2（30﹣x）+2.6x＝0.6x+60（18≤x≤30）， ∴w关于x的函数解析式为w＝0.6x+60（18≤x≤30）． 得w＝2（30﹣x）+（2.6﹣m）x＝（0.6﹣m）x+60（18≤x≤30）．（6分） 当0＜m＜0.6时，0＜0.6﹣m＜0.6，w随x的减小而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝18时，w取最小值，w最小＝18（0.6﹣m）+60， 由题意，得18（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.2， ∴0＜m≤0.2； 当m＝0.6时，w＝60， ∵60＜67.2， ∴不符合题意，应舍去； 当0.6＜m＜2.6时，﹣2＜0.6﹣m＜0，w随x的增大而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝30时，w取最小值，w最小＝30（0.6﹣m）+60， 由题意，得30（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.36， ∴此时m不存在． 综上，m的取值范围是0＜m≤0.2．（8分） 20．解：（1）七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即a＝99， 八年级B组的人数为10﹣2﹣3﹣4＝1， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：90≤x＜95，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94， ∴中位数是， 即b＝94， 补全统计图如下： 故答案为：99，94（3分） （2）由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生共有1630人；（6分） （3）八年级成绩较好， 理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（8分） 21．解：（1）设直线的解析式为， 根据题意，把和分别代入 得 解得 直线的解析式为． 令， 解得， 把代入中， 即， ．（4分） （2）由题意可知， ∵在轴上有－动点，过点作轴的垂线，分别交直线和的图象于点， ∴，， ∵ ， 解得或． 的值为或（8分） 22．解：（1）如图2，连结AP与BC交于点O， ∵AB=BD=CE=AC， 且点D与点E重合于点P， ∴四边形ABPC是菱形。 ∴AP⊥BC. 且∠BAC=60°， ∴△ABC、△PBC均是等边三角形. ∴BC=AB=8cm. ∴BO=×BC=×8=4cm. 在直角三角形ABO中， ∴AO=cm ∴AP=2AO=2×=8cm.（4分） A B C P D（E） 图2 O （2）如图3所示当保持∠ABD=90°时，CE绕着点C进行旋转。 ①当如图4所示，点E旋转到与点B重合时， 此时交点P即即点B位置， 由（1）可知，△APC为等边三角形。 此时CP最长，CP=AB=8cm。（7分） ②当如图5所示，木条CE旋转到使得CE⊥BD时，此时CP最短。 过点C作CM⊥AB于点M， ∵∠A=60°， ∴AM=AC×cos60°=8×=4cm， ∴BM=AB-AM=8-4=4cm。 易知四边形BPCM为矩形， ∴CP=BM=4cm 综上所述，CP的取值范围为4cm≤CP≤8cm。（10分） A B C P D E 图3 A B(P) C D E 图4 A B C P D E 图5 M 23．解：（1）设 当时，， 解得 （4分） （2）第一段抛物线的最大高度为 则第二段抛物线的最大高度为 设第二段抛物线解新式为 当时，， 或（舍去） 当时， 解得或40 又 小球不会再次接触桌面。（8分） （3）①若小球第一次正好接触桌面边缘， 当时，， 则 解得（9分） ②若小球第二次下落正好接触桌面边缘 第一段： 第二段： 当时， 解得 因为正好接触边缘 当时，小球只接触桌面一次．（12分） 24.解：（1）取格点K，连接CK交AB于M，如图： 点M即为AB边上的一个“中项点”； 理由： 由图可知，∠ACK＝∠CBA， ∴∠ACK+∠CAM＝∠CBA+∠CAM＝90°， ∴CM⊥AB， 根据射影定理可知，CM2＝AM•BM， ∴M为AB边上的一个“中项点”（3分） （2）过A作AT⊥BC于T， 当D靠近C时，如图： 由tanB，tanC知，， 设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m， ∵BC＝9， ∴BT+CT＝3m+6m＝9， ∴m＝1， ∴BT＝3，AT＝4，CT＝6， 设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x， ∵DT2+AT2＝AD2＝BD•CD， ∴x2+42＝（3+x）（6﹣x）， 解得x＝2（负值已舍去）， ∴BD＝3+x＝3+2＝5； 当D靠近B时，如图： 同理可得BD． ∴线段BD的长为5或；（7分） （3）①证明：∵，， ∴∠ACH＝∠DBH，∠CAH＝∠BDH， ∴△ACH∽△DBH，∴， ∴CH•DH＝BH•AH， ∵点H是△BCD中CD边上的“中项点”， ∴BH2＝CH•DH， ∴BH2＝BH•AH， ∴BH＝AH， ∴OH⊥AB；（9分） ②解：连接AD，如图： 由①知，OH⊥AB， ∵OH∥BD， ∴BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴AD为⊙O的直径， ∵rBD， ∴设BD＝4n，则r＝5n，AD＝10n， ∴AB2n， ∴AH＝BHABn， ∴DHn， ∵BH2＝CH•DH， ∴CHn， ∴， ∴的值为．（12分） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.不选、多选、错选均不得分） 1．下面关于蛇年的剪纸图形中，属于轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．2024年10月1日至10月7日，第四届阳明古镇国潮节为中华人民共和国成立75周年献上了一系列国潮盛宴，古镇共接待游客约190000人次．将190000用科学记数法表示为（　　） A．19×104 B．1.9×104 C．1.9×105 D．0.19×106 3．下面计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．4a6÷2a3＝2a2 D．（a2）3＝a6 4．如图，下面的几何体由五个大小相同的小立方块组成，则从正面看到的几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 5．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 6．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，线段AB上的点C和点D将线段均分为等长的三部分。点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复。已知AB=15，下列时间中，使得点P在线段CD上的是（ ） A B C D A．4s B．6s C．8s D．10s 9．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD的中点，点P是直线BC上的动点（点P不与点C重合），将△CEP沿EP所在的直线翻折，得到△FEP，作点F关于对角线AC的对称点F′，连接AF′，DF′，若△AF′D为等腰三角形时，则线段CP的长为（　　） A．4 B．1或4 C．2或4 D．1或2或4 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 11．因式分解：y2﹣49＝ 　 　． 12．某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是 　 　． 13．王老师某天打车上班，已知该地区出租车计费方式如下。已知王老师家距离学校8公里，那么打车费需要 　 　元． 公里数/公里 计费 x≤3 8元 超出3公里部分 1.8元/公里 不足1公里部分按照1公里算 14．将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点的D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 　 　cm． 15．平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　 　． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线y＝x对称； ③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 16．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，∠BAC是锐角．点D从点A向点B运动，点E是AC上一动点，在运动过程中保持AD＝CE，连接DE，若，则在点D运动的过程中，线段DE的中点F的运动路径长是 　 　． 三、解答题：（本大题共8题，第17题6分，第18-21每题8分，第22题10分，第23-24题每题12分，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算： （1）（﹣10）÷5+（﹣2+3）×22； （2）•（）． 18．图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 19．某公司安装物流箱，现有A型和B型两种物流箱可供选择，若安装2个A型物流和3个B型物流箱共11.8万元，且B型物流箱单价比A型物流箱单价高0.6万元． （1）求A型物流箱和B型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中B型物流箱不少于18个，为了更多地推广B型物流箱，公司决定将每个B型物流箱降价m元（m＞0），A型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求m的取值范围． 20．某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是：94 90 94（部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a＝　 　b＝　 　，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为1200人和1300人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？ （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线和直线相交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）在轴上有－动点，过点作轴的垂线，分别交直线和的图象于点，若，求的值． 22．如图1所示，四根长度相等木条组合在一起。其中木条AB与木条AC端点A固定，∠BAC=60°；木条BD的一端B可转动，木条CE的一端C也可转动，BD和CE交叉于点P，点P处有螺丝衔接，方便点P在木条BD和木条CE上自由滑动。已知每条木条长8cm。 （1）如图2，当端点D和端点E重合时，求点A与点P的距离； （2）如果保持∠ABD=90°，那么CP的取值范围是多少？ A B C P D E 图1 A B C P D（E） 图2 23．如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） （1）若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； （2）在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； （3）若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 24．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”． 如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”． （1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项点”． （2）△ABC中，BC＝9，，，点D是BC边上的“中项点”，求线段BD的长． （3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中项点”． ①求证：OH⊥AB； ②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且，求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（全国通用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．下面关于蛇年的剪纸图形中，属于轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故答案选：C 2．2024年10月1日至10月7日，第四届阳明古镇国潮节为中华人民共和国成立75周年献上了一系列国潮盛宴，古镇共接待游客约190000人次．将190000用科学记数法表示为（　　） A．19×104 B．1.9×104 C．1.9×105 D．0.19×106 【答案】C 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 190000＝1.9×105. 故选：C． 3．下面计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．3a2﹣a2＝2 C．4a6÷2a3＝2a2 D．（a2）3＝a6 【答案】D 【解析】对于A，a2•a3＝a5，故A错误； 对于B，3a2﹣a2＝2a2，故B错误； 对于C，4a6÷2a3＝2a3，故C错误； 对于D，（a2）3＝a6，故D正确． 故选D． 4．如图，下面的几何体由五个大小相同的小立方块组成，则从正面看到的几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】这个组合体从正面看到的图形为： 故选：D． 5．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】列表可得出所有等可能的结果数以及2只雏鸟中恰好1只雄鸟1只雌鸟的结果数，再利用概率公式可得出答案： 列表如下： 雌 雄 雌 （雌，雌） （雌，雄） 雄 （雄，雌） （雄，雄） 共有4种等可能的结果，其中恰好1只雄鸟1只雌鸟的结果有2种， ∴恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率为． 故选：A 6．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 【答案】A 【解析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 故选：A． 7．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ． 故选：C． 8．如图所示，线段AB上的点C和点D将线段均分为等长的三部分。点P从点A出发，以每秒3个单位的速度去往点B，到达点B后立即回头向点A运动，以此往复。已知AB=15，下列时间中，使得点P在线段CD上的是（ ） A B C D A．4s B．6s C．8s D．10s 【答案】C 【解析】根据图像可知点P在BC上运动时，此时BC不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为15，即BC＝15， 由于M是曲线部分的最低点，此时BP最小， 如图，即BP′⊥AC，BP′＝12， ∴由勾股定理可知：， 由于P最终到达点A，则AB＝13， ∴， ∴AC＝AP′+P′C＝14， ∴△ABC的面积为：． 故选：C． 9．如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解： 如图，连接． 是的切线， ． ． ， ， 阴影部分的面积． 故选：A． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD的中点，点P是直线BC上的动点（点P不与点C重合），将△CEP沿EP所在的直线翻折，得到△FEP，作点F关于对角线AC的对称点F′，连接AF′，DF′，若△AF′D为等腰三角形时，则线段CP的长为（　　） A．4 B．1或4 C．2或4 D．1或2或4 【答案】D 【解析】根据折叠的性质，分AF′＝F′D或AF′＝AD＝4或DF′＝AD＝4三种情况讨论求解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， 取BC的中点M，连接F′M，ME．如图1， ∴BM＝CM＝2， ∵点E是边CD的中点， ∴DE＝CE＝2， ∴CM＝CE， ∵AC是正方形ABCD对角线， ∴ME⊥AC，MQ＝EQ， ∴点M，E关于直线AC对称． 又点F，F′关于直线AC对称， ∵CE＝CMCD＝2， ∴F′M＝FE＝CM＝CE＝2， ∴点F′在以点M为圆心，BC为直径的圆上运动． 由题意可知需分三种情况讨论： ①当AF′＝F′D时，点F′在线段AD的垂直平分线上，如图2， 此时可知点F′与点F重合，点P与点M重合， 故CPBC＝2． ②当AF′＝AD＝4时，如图3，连接AM，AF， ∵AB＝AD， ∴AB＝AF′， 又∵AM＝AM，MB＝MF′， ∴△AF′M≌△ABM（SSS）， ∴∠AF′M＝∠ABM＝90°， 由折叠得∠PFE＝∠PCE＝90°， ∴∠AFE＝∠AF′M＝90°＝∠PFE， ∴∠AFE＝∠EFP＝90°， ∴点A，F，P共线． ∵点F，F′关于直线AC对称， ∴AF＝AF′＝AD＝4． 设FP＝CP＝x，则BP＝4﹣x，AP＝4+x， 由勾股定理，得AB2+BP2＝AP2，即42+（4﹣x）2＝（4+x）2， 解得x＝1，即CP＝1． ③当DF′＝AD＝4时，如图4，连接DM， 同②可证△DF′M≌△DCM， ∴∠DF′M＝∠DCM＝90°． 连接BF，BE． 故点F，F′，点M，E，点B，D分别关于直线AC对称， ∴△F′DM与△FBE关于直线AC对称， ∴△F′DM≌△FBE（SSS）， ∴∠BFE＝∠DF′M＝90°． ∵∠EFP＝∠BCE＝90°，点P在BC上， ∴点P与点B重合， ∴CP＝4． 综上，CP的长为1或2或4． 故选：D． 二、填空题 11．因式分解：y2﹣49＝ 　 　． 【答案】（y+7）（y﹣7） 【解析】利用平方差公式因式分解: 原式＝（y+7）（y﹣7） 故答案为：（y+7）（y﹣7）． 12．某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间（单位：分钟）是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是 　 　． 【答案】80 【解析】先把数据由小到大排列，再根据中位数的概念找出中位数：把数据由小到大排列：54，62，74，86，90，97，最中间的两个数是74，86， 则中位数是80. 故答案为：80． 13．王老师某天打车上班，已知该地区出租车计费方式如下。已知王老师家距离学校8公里，那么打车费需要 　 　元． 公里数/公里 计费 x≤3 8元 超出3公里部分 1.8元/公里 不足1公里部分按照1公里算 【答案】17 【解析】根据“李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元”求得a的值；然后由“李阿姨12月份交水费35.8元”知a＞10，根据阶梯收费标准列出方程并解答： 由题意知：5a＝11， 解得a＝2.2． 所以a+0.1＝2.3（元）． 设李阿姨12月份用水量是x立方米，则： 10×2.2+2.3（x﹣10）＝35.8． 解得x＝16． 故答案为：17． 14．将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点的D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 　 　cm． 【答案】1.6 【解析】作CF⊥AB交DE于点L，由DE∥AB，直尺的宽为1cm，得△CDE∽△CAB，FL＝1cm，CL⊥DE，所以，求得AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm），则，求得CF＝1.6cm，具体如下： ∵作CF⊥AB交DE于点L， ∵DE∥AB，直尺的宽为1cm， ∴△CDE∽△CAB，∠DLE＝∠CFB＝90°，FL＝1cm， ∴CL⊥DE， ∴， ∵点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，6.5对应， ∴AB＝8.5﹣4.5＝4（cm），DE＝6.5﹣5＝1.5（cm）， ∴， 解得CF＝1.6， ∴点C到边AB的距离为1.6cm， 故答案为1.6． 15．平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2﹣1在x轴和x轴下方的部分记作G1，将G1沿x轴翻折记作G2，G1和G2构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 　 　． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线y＝x对称； ③图形G的面积为S，满足2＜S＜π． 【答案】①③ 【解析】根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③： 由图形可知，图形G关于原点对称，不关于直线y＝x对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形G的面积S大于两个△ABC的面积，小于⊙O的面积， 所以，图形G的面积满足2＜S＜π，故③正确． 故答案为：①③． 16．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，∠BAC是锐角．点D从点A向点B运动，点E是AC上一动点，在运动过程中保持AD＝CE，连接DE，若，则在点D运动的过程中，线段DE的中点F的运动路径长是 　 　． 【答案】 【解析】过点A作AH⊥BC于点H，过C作CG⊥AB于点G，取AB的中点M，AC的中点N，连接MN，过E作EP∥AC，交MN于点P，利用ASA证明△DPF≌△ENF，得MF＝PF，则F落在MN上，可知F运动的路径为MN的长，进而解决问题： 如图，过点A作AH⊥BC于点H，过C作CG⊥AB于点G，取AB的中点M，AC的中点N，连接MN， ∵AB＝AC＝5，， ∴， ∴CG＝3， 在Rt△ACG中，AG4， ∴BG＝AB﹣AG＝5﹣4＝1， 在Rt△BCG中，BC， ∵AD＝CE， ∴当D在A处时，E在C处，F与N重合，当D与点B重合，E点与A点重合，F与M重合， 过E作EP∥AC，交MN于点P， ∵M是AB的中点，N是AC的中点， ∴MN∥BC，MN， ∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN， ∴AM＝CN， ∵AD＝CE， ∴AM﹣AD＝CN﹣CE， ∴DM＝NE， ∵EP∥AC， ∴∠EPN＝∠AMN， ∴∠EPN＝∠ANP， ∴EN＝EP， ∴DM＝EP， ∵EP∥AC， ∴∠EPF＝∠DMF，∠ADF＝∠FEP， ∴△DMF≌△EPF（ASA）， ∴MF＝PF， ∴F落在MN上， ∴F运动的路径为MN的长， 即MN． 故答案为：． 三、解答题 17．计算 （1）（﹣10）÷5+（﹣2+3）×22； （2）•（）． 【解析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 解：（1）（﹣10）÷5+（﹣2+3）×22 ＝﹣2+1×4 ＝﹣2+4 ＝2； （2） ＝a﹣1． 18．图1是某小区倾斜式停车位，图2是车位示意图，工人在绘制时保证AD＝BC，∠A＝60°，∠B＝120°． （1）请判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）若AD为6米，AB为2.8米，求停车位ABCD的面积． 【解析】（1）证明AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作CE⊥AB于点E，由平行四边形的性质得BC＝AD＝6米，进而由含30°角的直角三角形的性质得BE＝3米，再由勾股定理求出CE的长，然后由平行四边形面积公式即可得出结论． 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠A＝60°，∠D＝120°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图，过点C作CE⊥AB于点E， 由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6米， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBE＝180°﹣120°＝60°， ∴BEBC6＝3（米）， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE3（米）， ∴S平行四边形ABCD＝AB•CE＝2.8×3（平方米）， 答：停车位ABCD的面积为平方米． 19．某公司安装物流箱，现有A型和B型两种物流箱可供选择，若安装2个A型物流和3个B型物流箱共11.8万元，且B型物流箱单价比A型物流箱单价高0.6万元． （1）求A型物流箱和B型物流箱的单价； （2）某社区需安装物流箱共30个，其中B型物流箱不少于18个，为了更多地推广B型物流箱，公司决定将每个B型物流箱降价m元（m＞0），A型物流箱价格不变，若总费用不低于67.2万元，求m的取值范围． 【解析】（1）设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为（a+0.6），根据题意列方程并求解即可； （2）根据“安装总费用＝安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”作答即可． 根据“安装总费用＝安装A型物流箱的费用+安装B型物流箱的费用”写出w关于x的函数解析式，分情况讨论x的系数，根据一次函数的增减性和x的取值范围，求出对应w的最小值，令w的最小值大于或等于67.2，求出对应m的取值范围即可． 解：（1）设A型物流箱的单价为a元，则B型物流箱的单价为（a+0.6）． 根据题意，得2a+3（a+0.6）＝11.8， 解得a＝2， 2+0.6＝2.6（万元）， ∴A型物流箱的单价为2万元，B型物流箱的单价为2.6万元． （2）根据题意，安装A型物流箱（30﹣x）个， w＝2（30﹣x）+2.6x＝0.6x+60（18≤x≤30）， ∴w关于x的函数解析式为w＝0.6x+60（18≤x≤30）． 得w＝2（30﹣x）+（2.6﹣m）x＝（0.6﹣m）x+60（18≤x≤30）． 当0＜m＜0.6时，0＜0.6﹣m＜0.6，w随x的减小而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝18时，w取最小值，w最小＝18（0.6﹣m）+60， 由题意，得18（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.2， ∴0＜m≤0.2； 当m＝0.6时，w＝60， ∵60＜67.2， ∴不符合题意，应舍去； 当0.6＜m＜2.6时，﹣2＜0.6﹣m＜0，w随x的增大而减小， ∵18≤x≤30， ∴当x＝30时，w取最小值，w最小＝30（0.6﹣m）+60， 由题意，得30（0.6﹣m）+60≥67.2，解得m≤0.36， ∴此时m不存在． 综上，m的取值范围是0＜m≤0.2． 20．某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是：94 90 94（部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a＝　 　b＝　 　，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为1200人和1300人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？ （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 【解析】（1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可； （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好． 解：（1）七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即a＝99， 八年级B组的人数为10﹣2﹣3﹣4＝1， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：90≤x＜95，由题意可知，C组共三个数据，分别是94，90，94， ∴中位数是， 即b＝94， 补全统计图如下： 故答案为：99，94 （2）由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生共有1630人； （3）八年级成绩较好， 理由：虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线和直线相交于点，与轴交于点． （1）求的面积； （2）在轴上有－动点，过点作轴的垂线，分别交直线和的图象于点，若，求的值． 【解析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的面积以及线段问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数的解析式，再分别求出和，根据面积公式列式代入数值计算，即可作答． （2）分别表示，，再结合，列式计算，即可作答． 解：（1）设直线的解析式为， 根据题意，把和分别代入 得 解得 直线的解析式为． 令， 解得， 把代入中， 即， ． （2）由题意可知， ∵在轴上有－动点，过点作轴的垂线，分别交直线和的图象于点， ∴，， ∵ ， 解得或． 的值为或 22．如图1所示，四根长度相等木条组合在一起。其中木条AB与木条AC端点A固定，∠BAC=60°；木条BD的一端B可转动，木条CE的一端C也可转动，BD和CE交叉于点P，点P处有螺丝衔接，方便点P在木条BD和木条CE上自由滑动。已知每条木条长8cm。 （1）如图2，当端点D和端点E重合时，求点A与点P的距离； （2）如果保持∠ABD=90°，那么CP的取值范围是多少？ A B C P D E 图1 A B C P D（E） 图2 【解析】（1）先证明四边形ABPC为菱形，根据菱形“对角线互相平分”且“对角巷互相垂直”等性质，在直角三角形中先求出AP的一半，再求AP的长。 （2）根据“保持∠ABD=90°”先作出大致图形，通过观察和直观想象，结合操作，易知CP的长随着CE的旋转而变化，当CE⊥BD时，CP的长最短，而当CE得端点E与点B重合时，使得CP最长。由此分别作出图形，结合特殊三角形的性质、勾股定理和解直角三角形的相关知识，分别求出CP的长，即可知道CP的取值范围。 解：（1）如图2，连结AP与BC交于点O， ∵AB=BD=CE=AC， 且点D与点E重合于点P， ∴四边形ABPC是菱形。 ∴AP⊥BC. 且∠BAC=60°， ∴△ABC、△PBC均是等边三角形. ∴BC=AB=8cm. ∴BO=×BC=×8=4cm. 在直角三角形ABO中， ∴AO=cm ∴AP=2AO=2×=8cm. A B C P D（E） 图2 O （2）如图3所示当保持∠ABD=90°时，CE绕着点C进行旋转。 ①当如图4所示，点E旋转到与点B重合时， 此时交点P即即点B位置， 由（1）可知，△APC为等边三角形。 此时CP最长，CP=AB=8cm。 ②当如图5所示，木条CE旋转到使得CE⊥BD时，此时CP最短。 过点C作CM⊥AB于点M， ∵∠A=60°， ∴AM=AC×cos60°=8×=4cm， ∴BM=AB-AM=8-4=4cm。 易知四边形BPCM为矩形， ∴CP=BM=4cm 综上所述，CP的取值范围为4cm≤CP≤8cm。 .A B C P D E 图3 A B(P) C D E 图4 A B C P D E 图5 M 23．如图1为弹球游戏示意图，弹力球从桌子左边沿正上方某一高度向右发射后与桌面接触，连续弹起降落，以O为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标系如图2，设小球高度为，水平方向的距离为．小球运动轨迹由多个抛物线组成，其中第一段抛物线的解析式为，后续抛物线均可由第一段抛物线平移得到．已知桌长为，小球每次撞击桌面后弹跳的最大高度为前一次最大高度的．（忽略小球体积） （1）若第一次落点刚好在桌子正中间，求第一段抛物线的解析式； （2）在（1）的情况下，判断小球是否会再次接触桌面，并说明理由； （3）若小球只接触桌面一次，求发射高度的取值范围． 【解析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把，，代入，求出b即可求解； （2）设第二段抛物线解新式为，把，，代入求出h值，得到，再把人攻求出x，然后再与80比较即可得出结论； （3）分两种情况：①若小球第一次正好接触桌面边缘，②若小球第二次下落正好接触桌面边缘，分别求解即可． 解：（1）设 当时，， 解得 （2）第一段抛物线的最大高度为 则第二段抛物线的最大高度为 设第二段抛物线解新式为 当时，， 或（舍去） 当时， 解得或40 又 小球不会再次接触桌面 （3）①若小球第一次正好接触桌面边缘， 当时，， 则 解得 ②若小球第二次下落正好接触桌面边缘 第一段： 第二段： 当时， 解得 因为正好接触边缘 当时，小球只接触桌面一次． 24．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”． 如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“中项点”． （1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项点”． （2）△ABC中，BC＝9，，，点D是BC边上的“中项点”，求线段BD的长． （3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中项点”． ①求证：OH⊥AB； ②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且，求的值． 【解析】（1）取格点K，连接CK交AB于M，点M即为AB边上的一个“中项点”； （2）过A作AT⊥BC于T，当D靠近C时，由tanB，tanC，设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m，可得3m+6m＝9，m＝1，故BT＝3，AT＝4，CT＝6，设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x，有x2+42＝（3+x）（6﹣x），解得x＝2，从而BD＝3+x＝3+2＝5；当D靠近B时，同理可得BD； （3）①证明△ACH∽△DBH，可得CH•DH＝BH•AH，根据点H是△BCD中CD边上的“中项点”，有BH2＝CH•DH，故BH＝AH，从而OH⊥AB； ②连接AD，由OH⊥AB，OH∥BD，知BD⊥AB，AD为⊙O的直径，由rBD，设BD＝4n，则r＝5n，AD＝10n，可得AB2n，即得AH＝BHABn，从而DHn，又BH2＝CH•DH，得CHn，即得． 解：（1）取格点K，连接CK交AB于M，如图： 点M即为AB边上的一个“中项点”； 理由： 由图可知，∠ACK＝∠CBA， ∴∠ACK+∠CAM＝∠CBA+∠CAM＝90°， ∴CM⊥AB， 根据射影定理可知，CM2＝AM•BM， ∴M为AB边上的一个“中项点” （2）过A作AT⊥BC于T， 当D靠近C时，如图： 由tanB，tanC知，， 设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m， ∵BC＝9， ∴BT+CT＝3m+6m＝9， ∴m＝1， ∴BT＝3，AT＝4，CT＝6， 设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x， ∵DT2+AT2＝AD2＝BD•CD， ∴x2+42＝（3+x）（6﹣x）， 解得x＝2（负值已舍去）， ∴BD＝3+x＝3+2＝5； 当D靠近B时，如图： 同理可得BD． ∴线段BD的长为5或； （3）①证明：∵，， ∴∠ACH＝∠DBH，∠CAH＝∠BDH， ∴△ACH∽△DBH， ∴， ∴CH•DH＝BH•AH， ∵点H是△BCD中CD边上的“中项点”， ∴BH2＝CH•DH， ∴BH2＝BH•AH， ∴BH＝AH， ∴OH⊥AB； ②解：连接AD，如图： 由①知，OH⊥AB， ∵OH∥BD， ∴BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴AD为⊙O的直径， ∵rBD， ∴设BD＝4n，则r＝5n，AD＝10n， ∴AB2n， ∴AH＝BHABn， ∴DHn， ∵BH2＝CH•DH， ∴CHn， ∴， ∴的值为． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$