黄金卷03（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 A B B D C D 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7． 8． 9． 10． 11． 12．5.5 13．1 14．6 15．8 16． 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化成1得，． 检验，时，． ∴是原方式方程的解．（7分） 18．【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： （7分） 19．【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴．（8分） 20．【详解】（1）解：①年我国增长率，2017年略有增长，故①不正确； 2020年我国仍有的增长，故②不正确； 由折线统计图可以看出：年我国增长率的波动比年的波动小，故③正确． 故答案为：③； （2）答案不唯一． 比如： ， ∴这12年我国的平均增长率约为； ∵这组数据由小到大排列为：， ∴这12年我国的平均增长率的中位数为：， ∴这12年我国的平均增长率有一半年份超过．（8分） 21．【详解】（1）解：乙口袋中装有，两张卡片，其中思乡的古诗为， ∴抽到思乡的古诗的概率是， 故答案为：； （2）解：列表或画树状图把所有等可能结果表示如下， 共有6种等可能结果，其中至少有一张是励志古诗的是，共4种， ∴至少有一张是励志古诗的概率为．（8分） 22．【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴门的高为（尺）， 答：门的高和宽各是尺和尺．（8分） 23．【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ， ， ∴， 在中， (m)， ． 答：胜利塔的高约为．（8分） 24．【详解】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； （2）解：， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为．（8分） 25．【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：把代入，得， 整理得：， ∵抛物线与直线没有公共点， 关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 即， ∵， ，即， ∴， 综上所述，的取值范围为； （3）解：∵点在此抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则， ∴， ∵， ∴， 当时，都有， ∴， 由①得；由②得，则不等式组的解集为， 综上所述，．（8分） 26．【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵的半径为4，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， 则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为3； （3）解：如图3，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即．（9分） 27．【详解】解：（1）①由题意，得： ∵与之间的距离为， ∴； ②当时，， 当时，如图1，过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， 又、分别是、的对应高， ∴，即，     化简，得：． ∴； 综上可知，； ③当时，， 因此，当时，y最大，最大值是3． 当时，， 因此，当时，y最大，最大值是3． 综上所述，当时，y最大，最大值是3． 因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是． （2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中M、N在、边上，P、Q在边上，过点作于点，交于点，则：，， 设， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ， ∴当时，矩形的面积最大， 此时：，即：， ∴当为三角形中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即：底高， 在图3中，延长、交直线于F、G， 则为的中位线时，矩形的面积最大， ∴当在上方时，即，此时通风口的面积最大，面积为的面积的一半． 作于S交于J， ∵， ∴， ∴，即 ∴（m）， ∴通风口的面积矩形面积的最大值面积的一半． 故答案为：； ． ②如图4，过点E作的垂线交于点F，作的垂直平分线交、于点M、N，线段即为所求．（9分） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，相反数的定义等知识点，熟练掌握绝对值的意义和相反数的定义是解题的关键． 根据绝对值的意义和相反数的定义进行解答即可． 【详解】解：， 的相反数是， 的相反数是， 故选：． 2．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可得到答案． 【详解】解： 故选：B． 3．如图，在中，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记性质和定理是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：，， 平分， 故选：B． 4．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时，． 当时，． 当时，． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 6．图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上， 设上升的高度为h， 过点B作于点F，过作于点E，于点G， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵于点B，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，位似三角形性质等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂等知识点，掌握零次幂、负整数次幂成为解题的关键． 先用实数的混合运算、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．若代数式有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；首先提取公因式，再用“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． 根据多项式乘多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值，从而得到的值． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 12．若一组数据2，3，，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ． 【答案】5.5 【分析】本题考查利用众数求未知量，求中位数，根据众数为7，得到，将数据排序后，中间2位的平均数即为所求． 【详解】解：∵一组数据2，3，，5，6，7的众数为7， ∴， ∴这组数据为：2，3，5，6，7，7； ∴中位数为：； 故答案为：5.5 13．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ∴， 令，即， 解得：， ∵方程有实数根， ∴， 即：， 综上所述：． 故答案为：1． 14．如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合，先根据平行四边形的性质和坐标与图形性质求得点A坐标，再根据待定系数法求解k值即可． 【详解】解：延长交y轴于D， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数（）在第一象限内的图象上， ∴， 故答案为：6． 15．某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线上，圆弧的半径为米，米．过拱尖P作分别交于点M，N．若，则高等于 米． 【答案】8 【分析】本题考查了圆的基本性质，矩形性质，轴对称性质，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． 设的圆心为O，连接，则，由轴对称得，，得， 由勾股定理求出,得，即得． 【详解】设的圆心为O，连接， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 16．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解决问题的关键． 过点作交延长线于点M，过点作于点N，则可证明，，，那么，则，在中，，求得，而均为等腰直角三角形，则，故，则，继而，则的面积即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点M，过点作于点N，则 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法，熟知分式方程的解法是解题的关键，最后要记得检验． 先去分母化成一元一次方程再解整式方程最后再检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化成1得，． 检验，时，． ∴是原方式方程的解． 18．解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解析 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆． 分别解两个不等式，再取公共解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： 19．如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 20．下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率的方差比年的方差小． (2)结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 【答案】(1)③ (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题考查折线统计图，统计量的意义，理解题意，能够从统计图中获取数据是解题的关键 （1）根据统计图信息逐个判断即可； （2）可从相关统计量的意义方面概括情况． 【详解】（1）解：①年我国增长率，2017年略有增长，故①不正确； 2020年我国仍有的增长，故②不正确； 由折线统计图可以看出：年我国增长率的波动比年的波动小，故③正确． 故答案为：③； （2）答案不唯一． 比如： ， ∴这12年我国的平均增长率约为； ∵这组数据由小到大排列为：， ∴这12年我国的平均增长率的中位数为：， ∴这12年我国的平均增长率有一半年份超过． 21．小明为帮助自己记忆古诗，将5句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，，三张卡片，乙口袋中装有，两张卡片． (1)若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到思乡的古诗的概率是__________． (2)从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法表示所有等可能结果的方法，概率的计算方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算即可求解． 【详解】（1）解：乙口袋中装有，两张卡片，其中思乡的古诗为， ∴抽到思乡的古诗的概率是， 故答案为：； （2）解：列表或画树状图把所有等可能结果表示如下， 共有6种等可能结果，其中至少有一张是励志古诗的是，共4种， ∴至少有一张是励志古诗的概率为． 22．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：） 【答案】门的高和宽各是尺和尺 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设门的宽为尺，则门的高为尺，由题意和勾股定理列出方程即可，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，则门的高为尺， 由题意得：， 解得：，（舍去）， ∴门的高为（尺）， 答：门的高和宽各是尺和尺． 23．为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得，先利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再加上即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ， ， ∴， 在中， (m)， ． 答：胜利塔的高约为． 24．通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． (1)如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________； A． B．           C． D． (2)如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 【答案】(1)D (2) 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； （2）根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； （2）解：， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 25．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式（用含的式子表示）； (2)若，且该抛物线与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若，点在该抛物线上，且当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法求二次函数表达式即可求得答案； （2）把代入，整理得：，根据抛物线与直线没有公共点，利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可求得答案； （3）根据题意得：，从而得到，由于当时，都有，可得，当时，，从而，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：把代入，得， 整理得：， ∵抛物线与直线没有公共点， 关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 即， ∵， ，即， ∴， 综上所述，的取值范围为； （3）解：∵点在此抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则， ∴， ∵， ∴， 当时，都有， ∴， 由①得；由②得，则不等式组的解集为， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法确定二次函数表达式、二次函数的图象及性质、二次函数图象与直线的交点、一元二次方程根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、解不等式（组）等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练掌握不等式（组）的解法是解题的关键． 26．已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． (1)如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求点到的距离； (3)如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)点到的距离为3 (3) 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，求出等边三角形的面积结合扇形面积公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵的半径为4，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， 则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为3； （3）解：如图3，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大大，考查了勾股定理的应用，扇形面积，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计： 如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆． 设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm． 【初步探究】 （1）若（即点E到的距离为4）． ①与之间的距离为1m，求此时的面积； ②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数； ③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【拓展提升】 （2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值． ①c需要满足的条件是 　 　，通风口的最大面积是 　 　（用含a、b、c的代数式表示） ②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①；②；③金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是；（2）①，；②见解析 【分析】（1）①直接利用面积公式进行计算即可；②过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H，当时，；当时，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，再证明，运用相似三角形性质即可得出结论．③根据②的结论进行分析计算即可； （2）①在中有内接矩形，易证当为中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半；延长、交直线于F、G，则为的中位线时，矩形的面积最大；要想金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需与边平行的中位线在上方即可，作于S交于J，证明，利用相似三角形性质即可得到结论； ②按要求进行尺规作图即可． 【详解】解：（1）①由题意，得： ∵与之间的距离为， ∴； ②当时，， 当时，如图1，过E作，垂足为F，分别与、相交于点G、H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， 又、分别是、的对应高， ∴，即，     化简，得：． ∴； 综上可知，； ③当时，， 因此，当时，y最大，最大值是3． 当时，， 因此，当时，y最大，最大值是3． 综上所述，当时，y最大，最大值是3． 因此，金属杆移动到所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是． （2）①如图2，已知在中有内接矩形，其中M、N在、边上，P、Q在边上，过点作于点，交于点，则：，， 设， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ， ∴当时，矩形的面积最大， 此时：，即：， ∴当为三角形中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即：底高， 在图3中，延长、交直线于F、G， 则为的中位线时，矩形的面积最大， ∴当在上方时，即，此时通风口的面积最大，面积为的面积的一半． 作于S交于J， ∵， ∴， ∴，即 ∴（m）， ∴通风口的面积矩形面积的最大值面积的一半． 故答案为：； ． ②如图4，过点E作的垂线交于点F，作的垂直平分线交、于点M、N，线段即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，二次函数与几何问题，勾股定理等知识．综合性强，难度大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南京专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D．3 2．红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为，用科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 6．图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，于点B，与水平线夹角，，，．当点C绕点O旋转下落到上时，点A上升（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共10题，每题2分，共20分.） 7．计算： ． 8．若代数式有意义，则x的取值范围为 ． 9．计算： ． 10．分解因式： ． 11．若，则 ． 12．若一组数据2，3，，5，6，7的众数为7，则这组数据的中位数为 ． 13．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 ． 14．如图，反比例函数（）在第一象限内的图象经过平行四边形的顶点A，在轴上，若，坐标分别为，，则实数的值为 ． 15．某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图2是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线上，圆弧的半径为米，米．过拱尖P作分别交于点M，N．若，则高等于 米． 16．如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 三、解答题：（本大题共11题，第17-18每题7分，第19-25每题8分，第26-27题9分，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解方程：． 18．解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 19．如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 20．下图是年我国（国内生产总值）增长率的折线统计图． 阅读统计图并回答以下问题． (1)下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①年我国增长率逐年降低，但始终不低于； ②2020年我国比2019年低； ③年我国增长率的方差比年的方差小． (2)结合图中提供的数据，请用自己的语言概括这12年我国的相关情况． 21．小明为帮助自己记忆古诗，将5句重点古诗分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，，三张卡片，乙口袋中装有，两张卡片． (1)若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到思乡的古诗的概率是__________． (2)从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，求抽取的两张卡片至少有一张是励志古诗的概率． 22．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：） 23．为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图1），想知道胜利塔的高度（塔顶到水平地面的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为．已知，测角仪的高度是（点在同一条直线上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度．（结果保留整数，） 24．通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． (1)如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________； A． B．           C． D． (2)如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度． 25．已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式（用含的式子表示）； (2)若，且该抛物线与直线没有公共点，求的取值范围； (3)若，点在该抛物线上，且当时，都有，求的取值范围． 26．已知的半径为4，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动． (1)如图1，当点与点重合时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求点到的距离； (3)如图3，设点到的距离为．当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，直接写出的值． 27．【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计： 如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆． 设窗子的边框、分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框的距离）为cm． 【初步探究】 （1）若（即点E到的距离为4）． ①与之间的距离为1m，求此时的面积； ②与之间的距离为xm，试将通风口的面积表示成关于x的函数； ③伸缩杆移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【拓展提升】 （2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时通风口面积达到最大值． ①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a、b、c的代数式表示） ②用直尺和圆规在图3中作出通风口面积最大金属杆所在的位置，（保留作图痕迹，不写作法） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$