黄金卷01（深圳专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（深圳专用） 黄金卷01 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C B A D C 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．a（b+2）（b﹣2） 10．90 11．200 12． 13． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．解： ＝2﹣1+22·····3分 ＝2﹣1+2 ＝3．·····5分 15．解：原式 ．·····5分 当时， 原式．·····7分 16．（1）答案为：84；90，0.5；·····5分 （2）两个同学的平均数和中位数相同，乙的众数比甲班高，85分以上的次数乙要多；但甲的方差比乙要小，成绩更稳定．·····8分 17．解：此同学的无人机没有超过限高要求， 理由：连接FD并延长交AB于点G， ·····1分 由题意得：FE＝CD＝BG＝1.5m，FD＝CE＝50m，FG⊥AB， ∵∠AFD＝30°，∠ADG＝∠AFD+∠FAD＝60°， ∴∠FAD＝30°， ∴∠AFD＝∠FAD＝30°， ∴AD＝DF＝50m， ∴DGAD＝25（m），·····5分 ∴AG（m）， ∴AB＝1.5+2544.75（m） ∵44.5m＜50m， ∴小昆的无人机不超过限高要求．·····8分 18．解：（1）当2＜x≤5时，y＝600；·····1分 当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0）， 把（5，600），（10，400）代入得： ， 解得， ∴y＝﹣40x+800， ∴y与x之间的函数关系式为： y；·····4分 （2）设每天的销售利润为w元， 当2＜x≤5时， w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200， 当x＝5时，w最大＝600×5﹣1200＝1800（元）； 当5＜x≤10时， w＝（﹣40x+800）（x﹣2） ＝﹣40（x﹣11）2+3240， 当x＝10时， w最大＝﹣40×1+3240＝3200（元）． 综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元．·····9分 19．解：（1）线段AP与PD存在固定的数量关系为AP＝2DP，理由： 思路一：取AD中点M，连接EM，如图， ∵AM＝MD，AE＝EC， ∴ME为△ADC的中位线， ∴ME∥CD，MECD． ∵BD＝CD， ∴MECD． ∵ME∥BD， ∴△BDP∽△EMP， ∴， ∴PD＝2MP， ∴MD＝3MP， ∴AM＝MD＝3MP， ∴AP＝4MP， ∴AP＝2PD．·····3分 思路二：作AN∥BC交BE延长线于点N，如图， ∵AN∥BC， ∴∠EBC＝∠N． 在△BCE和△NAE中， ， △BCE≌△NAE（AAS）， ∴BC＝AN， ∵BD＝CD， ∴AN＝2BD． ∵∠EBC＝∠N，∠BPD＝∠NPA， ∴△BDP∽△NAP， ∴， ∴AP＝2PD； （2）①答案为：；·····5分 ②连接OM、AC， 由（1）知：OC＝3OE， 设OE＝k，则OC＝3k， ∴OA＝OB＝OC＝3k，EC＝2OE＝2k， ∵AM⊥OC， ∴． ∴， 由（1）知：． ∴．·····8分 ③如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴， 如图所示，过点F作FQ⊥BC于点Q，交OC于T， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DF⊥OC， ∴∠FHT＝∠FQC＝90°， ∵∠FTH＝∠CTQ， ∴∠DFQ＝∠OCB＝∠OBC， 在Rt△FBQ中，BF＝5+y， 在Rt△ABC中，，，， ∴， ∵tan∠DFQ＝tanB， ∴， 即，整理得． ∴y与x的函数关系式为．·····12分 20．解：（1）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点（1，4）， ∵点M在这条抛物线上， ∴点P、M关于直线x＝1对称， ∵P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点， ∴点Q即为抛物线顶点，Q（1，4）， ∵底边PM＝2， ∴点P的横坐标为0， 当x＝0时，y＝3， ∴P（0，3）， ∴点Q到PM的距离为1， ∴S△PQM2×1＝1；·····3分 ②由题意，得：P（m，﹣m2+2m+3），Q（m+1，﹣m2+4）， 设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2， ∴y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣m2+4，且y1≠y2， 当y1＜y2时，有﹣m2+2m+3＜﹣m2+4， 解得：m， 当y1＞y2时，有﹣m2+2m+3＞﹣m2+4， 解得：m， ∴当m时，y1＜y2， 当m时，y1＞y2．·····6分 ③由题意知：当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标大4， 当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标小4， P，Q两点的坐标分别为P（m，﹣m2+2m+3），Q（m+1，﹣m2+4）， 当m时，﹣m2+2m+3+4＝﹣m2+4， 解得：m， ∴点P的坐标为（，）； 当m时，﹣m2+2m+3＝﹣m2+4+4， 解得：m， ∴点P的坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．·····9分 （2）∵点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍， ∴点Q的横坐标为2n﹣2， 由等腰三角形可知点N的横坐标为2n﹣2+[2n﹣2﹣（n﹣1）]＝3n﹣3， ∵抛物线y＝﹣x2+2nx+3n的对称轴为直线x＝n， ∴当n﹣1＜n＜3n﹣3时，直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， 又∵P，Q两点的纵坐标不能相等， ∴2n﹣2﹣n≠n﹣（n﹣1），即n≠3， ∴当n，且n≠3时，y0＝n2+3n， 当n﹣1＜0时，P点在y轴左侧，此时最高点即为点P， ∴当n＜1时，y0＝n2+3n﹣1， 当n＞3n﹣3，且P点在y轴右侧时，最高点即为点N，当n＞3n﹣3，且P点在y轴右侧时，最高点即为点N， ∴当1＜n时，把 x＝3n﹣3代入，得y0＝﹣3n2+15n﹣9， 综上所述，当n＜1时，y0＝n2+3n﹣1，当1＜n时，y0＝﹣3n2+15n﹣9，当n，且n≠3时，y0＝n2+3n．·····12分 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（深圳专用） 黄金卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b4 3．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A，B，C三个座位中随机选择两个座位．则校长和学生乙坐在正对面的概率（　　） A． B． C． D． 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配x辆汽车，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．若，则a0+a2+a4的值为（　　） A．82 B．81 C．42 D．41 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连结AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1：4．其中结论正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．因式分解：ab2﹣4a＝　 　． 10．若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 　． 11．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了__度． 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点O为圆心，OB长为半径作弧经过点C，过点O作OE⊥OB，分别与、BC边交于点E、F．若AB＝4，，则图中阴影部分的面积为 　 　． 13．如图，有一张矩形纸片ABCD，将矩形纸片沿AF折叠，使点D落在AB边上的点E处，再将纸片沿CG折叠，使点B落在AF的中点O处，则　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）计算：． 15．（7分）先化简，再求值：，其中a1． 16．（8分）为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分） 甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）请填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 85分以上的频率 甲 84 　 　 84 14.4 0.4 乙 84 84 　 　 34 　 　 （2）利用以上的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析． 17．（8分）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，同学们先在点E处用高1.5m的测角仪EF测得∠AFG＝30°，然后沿水平方向EB前行50m到点C处，在点C处测得∠ADG＝60°．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断小昆的无人机是否超过限高要求？（参考数据：） 18．（9分）某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 19．（12分）综合与探究 【课本回顾】如图1，在△ABC中，中线AD，BE，CF于点P，点P叫做△ABC的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC的中线AD，BE交于点P时，不管△ABC的边长如何变化，线段AP与PD存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取AD中点M，连接EM，证明△BDP∽△EMP； 如图4，作AN平行BC交BE延长线于点N，先证明△BCE≌△NAE，再证明△BDP∽△NAP； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段AP与PD之间的数量关系. 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段AP与PD之间的数量关系. 图形表达 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 （2）在⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上一点（不与点A，B重合）． ①如图Ⅱ，若点M是弦BC的中点，AM交OC于点E，则的值为 　 　； ②如图Ⅲ，在①的条件下，若AM⊥OC，求sinB的值； ③如图IV，若AB＝10，BC＝8，D为弦BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，交AB于点F．设BD＝x，FO＝y，直接写出y与x的函数关系式． 20．（12分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”． （1）若P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点，它的“伴随等腰三角形”记为△PQM，且底边PM＝2，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m． ①若点M在这条抛物线上，求△PQM的面积； ②设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，比较y1与y2的大小； ③当△PQM底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标； （2）若P，Q是抛物线y＝﹣x2+2nx+3n上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线l1，l2．设点P的横坐标为n﹣1，该抛物线在直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（深圳专用） 黄金卷01 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义解答即可． 【解析】解：由图可知，A、B、C不是中心对称图形，D是中心对称图形． 故选：D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b4 【答案】D 【分析】根据完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意； B、a6÷a3＝a3，故B不符合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合题意； D、（ab2）2＝a2b4，故D符合题意； 故选：D． 3．自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐．如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A，B，C三个座位中随机选择两个座位．则校长和学生乙坐在正对面的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及校长和学生乙坐在正对面的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有：AC，CA，共2种， ∴校长和学生乙坐在正对面的概率为． 故选：B． 4．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解析】解：根据题意，得： （n﹣2）•180°＝720°， 解得：n＝6． 故选：C． 5．函数y＝ax+1与y＝﹣ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断． 【解析】解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝﹣ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x，在y轴的右侧， A、当a＞0时，直线经过第一、三象限，抛物线开口方向向下，故选项不合题意； B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项符合题意； C、当a＞0时，直线经过第一、三象限，抛物线开口方向向下，故选项不合题意； D、抛物线的对称轴在y轴的左侧，故选项不合题意； 故选：B． 6．科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配x辆汽车，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设技术升级前每天装配x辆汽车，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解析】解：设技术升级前每天装配x辆汽车，则现在平均每天装配（x+30）辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 7．若，则a0+a2+a4的值为（　　） A．82 B．81 C．42 D．41 【答案】D 【分析】将x＝﹣1代入可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1，将x＝1代入可得a0+a1+a2+a3+a4＝81，将两式相加计算即可． 【解析】解：当x＝﹣1时， a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1， 当x＝1时， a0+a1+a2+a3+a4＝81， 两式相加可得2（a0+a2+a4）＝82， 则a0+a2+a4＝41， 故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连结AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1：4．其中结论正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】由基本作图可对①进行判断；线求出∠BAC，再利用角平分线的定义计算出∠BAD＝∠CAD＝30°，则∠ADC＝60°，于是可对②进行判断；根据角平分线的性质可对③进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BD＝2CD，所以BC＝3CD，然后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，故①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°， ∴∠ADC＝∠BAC，故②正确； ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC， ∴点D到ABi边的距离与DC的长相等，故③正确； ∵AD＝2CD， ∴BD＝2CD， ∴BC＝3CD， ∴S△DAC：S△ABC＝1：3，故④不正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．因式分解：ab2﹣4a＝　 　． 【答案】a（b+2）（b﹣2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解析】解：原式＝a（b2﹣4） ＝a（b+2）（b﹣2）， 故答案为：a（b+2）（b﹣2） 10．若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 　 　． 【答案】90 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解析】解：∵m+n＝10，mn＝5， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90． 故答案为：90． 11．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 　 　度． 【答案】200 【分析】由已知设y，则有图象知点（0.2，500）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y，令x＝0.25，x＝0.5时，分别求y的值后作差即可． 【解析】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.25时，y400， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了400﹣200＝200（度）， 故答案为：200． 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点O为圆心，OB长为半径作弧经过点C，过点O作OE⊥OB，分别与、BC边交于点E、F．若AB＝4，，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【答案】 【分析】由勾股定理得，AC＝8，由矩形ABCD，可得，则△AOB是等边三角形，∠FBO＝30°，，根据S阴影＝S扇形BOE﹣S△BOF，计算求解即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，， ∵矩形ABCD， ∴， ∴△AOB是等边三角形，∠ABO＝60°， ∴∠FBO＝30°， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，有一张矩形纸片ABCD，将矩形纸片沿AF折叠，使点D落在AB边上的点E处，再将纸片沿CG折叠，使点B落在AF的中点O处，则　　 ． 【答案】 【分析】取DF的中点H，连接OH，得到OH是△FAD的中位线，设AD＝2a，用a表示出OH，OC，利用勾股定理求出CH，进而表示出CD，AB，即可解决问题． 【解析】解：取DF的中点H，连接OH，如图， 设AD＝2a， ∵将矩形纸片ABCD沿AF折叠，使点D落在AB边上的点E处， ∴AE＝AD，FE＝FD，∠D＝∠DAE＝90°，∠EAF＝∠DAF∠DAE＝45°， ∴DF＝DA， ∴四边形AEFD是正方形， ∴DH＝FHDF＝a， ∵点O是正方形AEFD对角线AF的中点， ∴OH∥AD，OHAD＝a， ∴∠OHC＝∠D＝90°， ∵将纸片沿CG折叠，点B落在AF的中点O处， ∴OC＝BC＝AD＝2a， 在Rt△OCH中， 由勾股定理，得CH， ∴AB＝CD＝DH+CH＝a， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）计算：． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解析】解： ＝2﹣1+22 ＝2﹣1+2 ＝3． 15．（7分）先化简，再求值：，其中a1． 【分析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算，再代入a求值即可． 【解析】解：原式 ． 当时， 原式． 16．（8分）为了从甲、乙两名学生中选择一人参加法律知识竞赛，在相同条件下对他们的法律知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分） 甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78 （1）请填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 85分以上的频率 甲 84 　84　 84 14.4 0.4 乙 84 84 　90　 34 　0.5　 （2）利用以上的信息，请你对甲、乙两名同学的成绩进行分析． 【分析】（1）先把甲的成绩由小到大排列，再根据中位数的定义求解；根据众数的定义得到乙的众数为90；然后根据频率的公式计算乙的频率； （2）通过表中数据比较平均数和中位数，然后根据计算结果比较众数和85分以上的次数，根据方差大小比较成绩的稳定性． 【解析】解：（1）甲的成绩由小到大排列为：76，81，81，84，84，84，85，87，88，90，所以甲的中位数为（84+84）＝84， 乙的众数为90； 乙中85分以上的次数为5； 乙的频率0.5； 故答案为：84；90，0.5； （2）两个同学的平均数和中位数相同，乙的众数比甲班高，85分以上的次数乙要多；但甲的方差比乙要小，成绩更稳定． 17．（8分）某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行微型无人机试飞，该兴趣小组利用所学知识对小昆的无人机（A）的飞行高度进行了测量．如图，同学们先在点E处用高1.5m的测角仪EF测得∠AFG＝30°，然后沿水平方向EB前行50m到点C处，在点C处测得∠ADG＝60°．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断小昆的无人机是否超过限高要求？（参考数据：） 【分析】连接FD并延长交AB于点G，根据题意可得：FE＝CD＝BG＝1.5m，FD＝CE＝50m，FG⊥AB，然后设DG＝x m，则FG＝（x+50）m，分别在Rt△ADG和Rt△AFG中，利用勾股定理，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解析】解：此同学的无人机没有超过限高要求， 理由：连接FD并延长交AB于点G， 由题意得：FE＝CD＝BG＝1.5m，FD＝CE＝50m，FG⊥AB， ∵∠AFD＝30°，∠ADG＝∠AFD+∠FAD＝60°， ∴∠FAD＝30°， ∴∠AFD＝∠FAD＝30°， ∴AD＝DF＝50m， ∴DGAD＝25（m）， ∴AG（m）， ∴AB＝1.5+2544.75（m） ∵44.5m＜50m， ∴小昆的无人机不超过限高要求． 18．（9分）某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为w元，分别列出当2＜x≤5时和当5＜x≤10时的函数关系式并求得相应的最大值，然后取其中较大者即可． 【解析】解：（1）当2＜x≤5时，y＝600； 当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0）， 把（5，600），（10，400）代入得： ， 解得， ∴y＝﹣40x+800， ∴y与x之间的函数关系式为： y； （2）设每天的销售利润为w元， 当2＜x≤5时， w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200， 当x＝5时，w最大＝600×5﹣1200＝1800（元）； 当5＜x≤10时， w＝（﹣40x+800）（x﹣2） ＝﹣40（x﹣11）2+3240， 当x＝10时， w最大＝﹣40×1+3240＝3200（元）． 综上所述，销售单价x为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元． 19．（12分）综合与探究 【课本回顾】如图1，在△ABC中，中线AD，BE，CF于点P，点P叫做△ABC的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当△ABC的中线AD，BE交于点P时，不管△ABC的边长如何变化，线段AP与PD存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取AD中点M，连接EM，证明△BDP∽△EMP； 如图4，作AN平行BC交BE延长线于点N，先证明△BCE≌△NAE，再证明△BDP∽△NAP； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段AP与PD之间的数量关系. 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段AP与PD之间的数量关系. 图形表达 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种） 【问题解决】 （2）在⊙O中，AB为直径，点C是⊙O上一点（不与点A，B重合）． ①如图Ⅱ，若点M是弦BC的中点，AM交OC于点E，则的值为 　　； ②如图Ⅲ，在①的条件下，若AM⊥OC，求sinB的值； ③如图IV，若AB＝10，BC＝8，D为弦BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，交AB于点F．设BD＝x，FO＝y，直接写出y与x的函数关系式． 【分析】（1）根据提供的思路证明即可； （2）①证明E为△ABC的重心即可得解；②由前述结论可得OC＝3OE，根据这一关系设参数，利用勾股定理将AE、AC和OM表示出来即可得解；③作FQ⊥BC，将FQ和BQ用含y的式子表示出来，再用建立关于x和y的等式即可． 【解析】解：（1）线段AP与PD存在固定的数量关系为AP＝2DP，理由： 思路一：取AD中点M，连接EM，如图， ∵AM＝MD，AE＝EC， ∴ME为△ADC的中位线， ∴ME∥CD，MECD． ∵BD＝CD， ∴MECD． ∵ME∥BD， ∴△BDP∽△EMP， ∴， ∴PD＝2MP， ∴MD＝3MP， ∴AM＝MD＝3MP， ∴AP＝4MP， ∴AP＝2PD． 思路二：作AN∥BC交BE延长线于点N，如图， ∵AN∥BC， ∴∠EBC＝∠N． 在△BCE和△NAE中， ， △BCE≌△NAE（AAS）， ∴BC＝AN， ∵BD＝CD， ∴AN＝2BD． ∵∠EBC＝∠N，∠BPD＝∠NPA， ∴△BDP∽△NAP， ∴， ∴AP＝2PD； （2）①连接AC，如图， ∵BM＝MC，OA＝OB， ∴E为△ABC的重心， ∴CE＝2OE， ∴OEOC， ∴． 故答案为：； ②连接OM、AC， 由（1）知：OC＝3OE， 设OE＝k，则OC＝3k， ∴OA＝OB＝OC＝3k，EC＝2OE＝2k， ∵AM⊥OC， ∴． ∴， 由（1）知：． ∴． ③如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴， 如图所示，过点F作FQ⊥BC于点Q，交OC于T， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DF⊥OC， ∴∠FHT＝∠FQC＝90°， ∵∠FTH＝∠CTQ， ∴∠DFQ＝∠OCB＝∠OBC， 在Rt△FBQ中，BF＝5+y， 在Rt△ABC中，，，， ∴， ∵tan∠DFQ＝tanB， ∴， 即，整理得． ∴y与x的函数关系式为． 20．（12分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与y轴垂直，则称该等腰三角形为点P，Q的“伴随等腰三角形”． （1）若P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点，它的“伴随等腰三角形”记为△PQM，且底边PM＝2，点M，Q均在点P的右侧，设点P的横坐标为m． ①若点M在这条抛物线上，求△PQM的面积； ②设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，比较y1与y2的大小； ③当△PQM底边上的高等于底边长的2倍时，求点P的坐标； （2）若P，Q是抛物线y＝﹣x2+2nx+3n上的两点，它的“伴随等腰三角形PQN”以PN为底，且点N，Q均在点P的同侧（左侧或右侧），点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍，过点P，N分别作垂直于x轴的直线l1，l2．设点P的横坐标为n﹣1，该抛物线在直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为y0，直接写出y0与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围． 【分析】（1）①运用配方法将抛物线解析式变形为顶点式，可得抛物线顶点和对称轴，再结合题意求出点P，Q的坐标即可求得△PQM的面积； ②用m表示P，Q的坐标，然后列不等式即可得到答案； ③根据题意可得：当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标大4，当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标小4，据此可求出点P的坐标； （2）分情况讨论，注意点P在y轴右侧和左侧时情况不同，找到不同情况下最高点即可． 【解析】解：（1）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点（1，4）， ∵点M在这条抛物线上， ∴点P、M关于直线x＝1对称， ∵P，Q为抛物线y＝﹣x2+2x+3上的点， ∴点Q即为抛物线顶点，Q（1，4）， ∵底边PM＝2， ∴点P的横坐标为0， 当x＝0时，y＝3， ∴P（0，3）， ∴点Q到PM的距离为1， ∴S△PQM2×1＝1； ②由题意，得：P（m，﹣m2+2m+3），Q（m+1，﹣m2+4）， 设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2， ∴y1＝﹣m2+2m+3，y2＝﹣m2+4，且y1≠y2， 当y1＜y2时，有﹣m2+2m+3＜﹣m2+4， 解得：m， 当y1＞y2时，有﹣m2+2m+3＞﹣m2+4， 解得：m， ∴当m时，y1＜y2， 当m时，y1＞y2． ③由题意知：当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标大4， 当m时，Q点的纵坐标比P点的纵坐标小4， P，Q两点的坐标分别为P（m，﹣m2+2m+3），Q（m+1，﹣m2+4）， 当m时，﹣m2+2m+3+4＝﹣m2+4， 解得：m， ∴点P的坐标为（，）； 当m时，﹣m2+2m+3＝﹣m2+4+4， 解得：m， ∴点P的坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）． （2）∵点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍， ∴点Q的横坐标为2n﹣2， 由等腰三角形可知点N的横坐标为2n﹣2+[2n﹣2﹣（n﹣1）]＝3n﹣3， ∵抛物线y＝﹣x2+2nx+3n的对称轴为直线x＝n， ∴当n﹣1＜n＜3n﹣3时，直线l1，l2之间的部分（包括端点）的最高点为顶点， 又∵P，Q两点的纵坐标不能相等， ∴2n﹣2﹣n≠n﹣（n﹣1），即n≠3， ∴当n，且n≠3时，y0＝n2+3n， 当n﹣1＜0时，P点在y轴左侧，此时最高点即为点P， ∴当n＜1时，y0＝n2+3n﹣1， 当n＞3n﹣3，且P点在y轴右侧时，最高点即为点N，当n＞3n﹣3，且P点在y轴右侧时，最高点即为点N， ∴当1＜n时，把 x＝3n﹣3代入，得y0＝﹣3n2+15n﹣9， 综上所述，当n＜1时，y0＝n2+3n﹣1，当1＜n时，y0＝﹣3n2+15n﹣9，当n，且n≠3时，y0＝n2+3n． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$