第16讲 二次函数的线段、面积问题（10题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第16讲 二次函数的线段、面积问题（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的线段、面积问题 题型01 线段最值 题型02 线段和的最值 题型03 已知线段比值求坐标 题型04三角形周长最值 题型05四边形周长最值 题型06线段差的最值 题型07线段比值最值 题型08三角形面积最值 题型09四边形面积最值 题型10 已知面积求坐标 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的线段、面积问题 · 能利用二次函数性质解决抛物线中的线段最值和存在性问题问题 · 能利用二次函数性质解决抛物线中的面积最值和存在性问题问题 2024省卷22题， 二次函数的线段面积问题在中考中较为常见，而利用二次函数图象解决最值和存在性问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算量较大，需要考生在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置: 1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值. 2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值. 3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值. 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的线段、面积问题 抛物线中的线段最值问题有三种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 抛物线中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型01 线段最值 【例1】．（2023·山东烟台·二模）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入线得： ， 解得， ∴抛物线的函数关系式； （2）解：设直线函数关系式为， 把代入中得：， 解得 ∴直线函数关系式为， ∵点D的横坐标为m， ， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值4， ∴线段长度的最大值为4； （3）解：存在m的值，使是等腰三角形，理由如下： 延长交于G，如图： ∵，， ∴点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ①若，则， 解得（舍去）或， ②当时，如图，过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； ③当时，如图，过点D作 于点K， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，符合题意）或（舍去0）， 综上所述，满足条件的m的值为或4或3． 【变式1-1】．（2024·山东日照·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，； 当时，， 解得或； ∴，， ∴， ∴， 作轴于点，交于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴有最大值，最大值为； （3）解：作交于点，作轴于点， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得或； 当时，， ∴点Q的坐标为． 【变式1-2】．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题意得， ∴ ∴； （2）设直线的表达式为， ∵过点，， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）存在 ∵，，的坐标为，， ∴①当时，， 即， 解得， 此时的坐标为， ②当时，， 即， 解得， 此时的坐标为， 综上，点坐标为或 【变式1-3】．（2023·山东德州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点， 当时，即， 解得：， ； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的表达式为， 设，则， ， ， 当时，线段的最大值为4，此时点的坐标为； （3）解：存在． 设， 如图①，当点为直角顶点时，即， 此时，点在第二象限，， 过点作轴于点，过点作轴于点，   ， ，则， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：（舍去） ； 如图②，当点为直角顶点时，即，此时，点在第四象限，，    过点作轴于点，过点作轴于点，过点作垂足为点， ， ， 由图②可知， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 解得：（舍去） ； 如图③当点为直角顶点时，即，过点作轴于点，过点作于点，   ，由图③可知， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 解得：， 即点与点重合； 综上所述，点的坐标为或或． 题型02 线段和的最值 【例2】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【变式2-1】．（2021·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时最小． 连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为， ∴， ∵ ∴的最小值． ． 【变式2-2】．（2024·山东菏泽·一模）如图，已知二次函数． 的图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点， ∴设抛物线的解析式为， 把， 代入， 得∶， ∴， （2）解：不在抛物线上；理由如下∶ 过点作轴， ∵是由旋转得到， ∴， ∴与互余，与互余， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 对于 当时， ， ∴不在抛物线上； （3）解：∵，， ∴设直线， 将 代入， 得∶， ∴； 设P 点坐标为 则M点坐标为， H点坐标为． ∵，，， ∴， ∵轴， ， ∴，    当 时，取最大值， 最大值为 【变式2-3】．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空：_________，点的坐标是 _________； (2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点代入中得，， 解得，，即， 当时，， 解得，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点，点， 设直线的表达式为，且经过点，点， ∴， 解得，， ∴， ∵点在直线的图象上，点在抛物线上， ∴设点，， ∵，轴， ∴，（对顶角相等）， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，最大，此时，， 如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点， 在中，， 则 ∴， ∵，即， ∴在中，， ， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴点，， ∴，即， ∴， ∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即． （3）解：存在， 由（2）可知，，即点， 将点向下平移个单位得到点， ∴点 ， 在 中, 则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴，即点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 当点在轴负半轴上时，点， 综上，点的坐标为，，，． 题型03 已知线段比值求坐标 【例3】．（2023·山东济南·一模）抛物线过点，点，顶点为C，与y轴交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为 (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，，，若的面积为3，求m的值； (3)连接，过点作于点M，是否存在点P，使得，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）将点，点代入得： ， 解得：． 抛物线的表达式为． （2）点，，点，， 直线解析式为， 过点作轴交于点，    设点，点， ∴ 的面积为， ， ∵ ∴； （3）在中， ， 设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，     ∵， 顶点，． ， ， ，，． ，． 中，， ， ， 是等腰三角形 ，， ， ，为的中点． 是等腰三角形，． ， ． ． ． 设直线的解析式为， ∴，解得：． ∴直线的解析式为． ∴， 解得：， ∴． 【变式3-1】．（2023·山东聊城·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点与y轴交于点C，连接． 备用图 (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上方的抛物线上一点，连接交于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，Q的坐标为或或或 【详解】（1）把代入得： 解得：， ； （2）过E作轴于K，如图： 在中，令得， ， 设直线直线解析式为 由得, 解得 ∴直线解析式为， ， ， ， ， 在中，令得， ， ∴直线解析式为，   解得：或（舍去）． ； （3）在坐标平面内存在点Q，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形，理由如下： 由得抛物线的对称轴是直线， 设，又， ①若，是对角线，则，中点重合且， ， 解得或， 或； ②若，为对角线，同理得： ，解得， ， ③若，是对角线， ，解得， ， 综上所述，Q的坐标为或或或． 【变式3-2】．（2024·山东济南·一模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，边长为 (3)存在，或 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，且过， ∴ ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， ∴抛物线的解析式为：， 即：， 把代入得， ， ∴； （2）解：由（1）可设，过点D作，垂足为E， ∵是等边三角形， ∴，， ， 在中， ， ∴，， ∴边长为； （3）解：存在， ∵， ∴，． 当时，点P在x轴的上方， ∵， ∴点F为线段的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为： 把代入得： ∴直线的解析式为： 点F代入整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，如图，设线段的中点为R， ∴，， ∵， ∴M为的中点， ∴，， ∴，， ∴， 代入整理得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上可知，存在或，使． 【变式3-3】．（2023·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或或或． 【详解】（1）解：在中，当时，当时， ∴、， ∵抛物线的图象经过A、C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，解得，， ∴， 设点E的横坐标为t，则， 如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴，， （3）∵抛物线的解析式为， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下， ∵点E位于对称轴左侧， ∴， ∵点M是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴， ，， ①当为菱形的边时，，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的对角线时，，即， ∴， 解得， ∴； ③当，即， ∴， ∴或， ∴或； 综上所述，M的坐标为或或或或． 题型04三角形周长最值 【例4】．（2024·山东淄博·一模）抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点D的坐标； (3)连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点， ∴把和代入 得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1： 在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，此时有最小值为的长， ∴此时的周长最小， 设直线的表达式为， 将代入 得：， 解得， ∴直线的表达式为， 同理，由可得直线解析式为 联立， 解得， ∴， （3）解：由已知点， 设 （如图2） 设直线的表达式为， 把代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 由设直线表达式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的表达式为：， 联立， 解得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点为． 【变式4-1】．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小， 理由：为最小， 对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：； （3）存在，理由： 令，则， 解得或， ∴点，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点， 由点A、C、F的坐标得，， 同理可得：， 当时， 则， 解得：（舍去）或2， 即点； 当或时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或； 综上，点F的坐标为：或或． 【变式4-2】．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C， ∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3） 如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），   由轴对称的性质可知CQ=EQ， ∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ， 要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小， ∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小， 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， 当时，， ∴点Q的坐标为（1，-2）； （3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E， ∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形， ∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°， ∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°， ∴∠FMP=∠EPB， ∴△FMP≌△EPB（AAS），   ∴PE=MF，BE=PF， 设点P的坐标为（1，m）， ∴， ∴，， ∴点M的坐标为（1-m，m-2）， ∵点M在抛物线上， ∴，   ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（-1，0）； 同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）； 如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m）， 同理可证△PEB≌△BFM（AAS）， ∴， ∴点M的坐标为（3-m，-2）， ∵点M在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为（，-2）； 如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时， 同理可以求得点M的坐标为（，2）； 综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）． 【变式4-3】．（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、； ∵抛物线的图象经过，两点 ∴ ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∵轴， ∴轴， ∴此时点C和点P关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴点的坐标为； 如图所示，当，设直线与x轴交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ∵不可能垂直， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解；在，由勾股定理得， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴在，， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴的周长， ∴当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴的周长最小值为． 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 题型05四边形周长最值 【例5】．（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 【详解】（1）解：对称轴为直线，在抛物线上， ， 解得； （2）解：∵抛物线 ∴顶点 设，若存在以为底边的等腰， 则， ∴， ∴ 解得：， 此时设直线的解析式为， 代入与，得， 解得：， ∴直线的解析式为 ∴此时点恰好在直线上，故不存在； （3）解：设点P，则， 由题意可知四边形为矩形， 四边形的周长， ， ， ∵， 当时，四边形周长最大 此时． 【变式5-1】．（2020·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y＝﹣2x﹣3经过点A（﹣2，a），与x轴相交于B、C两点（B点在C点左侧）． （1）求a的值及B、C两点坐标； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BD，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标； （3）设P（m，-3)是该抛物线上一点，点Q为抛物线的顶点，在x轴、y轴分别找点M、N，使四边形MNQP的周长最小，请求出点M、N的坐标． 【详解】解：（1）把A（-2，a)代入y＝x2﹣2x﹣3，得a=5； 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0 解得x1=3,   x2=-1   ∵B点在C点左侧 ∴B(-1,0)，C(3,0) (2)如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2， 由翻折得C′B＝CB＝4， 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得， ∴点C′的坐标为（1，2），tan， ∴∠C′BH＝60°， 由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°， 在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°＝， ∴点D的坐标为（1，）． （3）如图2， ∵Q为抛物线的顶点， ∴Q（1，﹣4）， ∴Q关于y轴的对称点Q'（﹣1，﹣4）， ∵P（m,-3）在抛物线上， ∴P（2，﹣3）， ∴点P关于x轴的对称点P'（2，3）， 连接Q′、P′分别交x、y轴于点M、N，此时，四边形OPMN的周长最小，， 设直线Q′P′的解析式为y=kx+b，则有 ，解得， ∴直线P'Q'的解析式为y＝x﹣， 当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=; ∴M（，0），N（0，﹣）． 【变式5-2】．（2022·山东德州·二模）已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0）， B（β，0），且． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E．是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 【详解】试题分析：（1）利用根与系数的关系得出α+β=，αβ=﹣2，进而代入求出m的值即可得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′，得出四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，进而利用勾股定理求出即可； （3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4，进而分别求出即可． 解：（1）由题意可得：α，β是方程﹣mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得， α+β=，αβ=﹣2， ∵=﹣2， ∴=﹣2，即 =﹣2， 解得：m=1， 故抛物线解析式为：y=﹣x2+4x+2； （2）存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小， ∵y=﹣x2+4x+2=﹣（x﹣2）2+6， ∴抛物线的对称轴l为x=2，顶点D的坐标为：（2，6）， 又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0，2），点E与点C关于l对称， ∴E点坐标为：（4，2）， 作点D关于y轴的对称点D′，点E关于x轴的对称点E′， 则D′的坐标为；（﹣2，6），E′坐标为：（4，﹣2）， 连接D′E′，交x轴于M，交y轴于N， 此时，四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE，如图1所示： 延长E′E，′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8， 则D′E′===10， 设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2， ∴DE===2， ∴四边形DNME的周长最小值为：10+2； （3）如图2，P为抛物线上的点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H， 若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE， ∴PH=DG=4， ∴|y|=4， ∴当y=4时，﹣x2+4x+2=4， 解得：x1=2+，x2=2﹣， 当y=﹣4时，﹣x2+4x+2=﹣4， 解得：x3=2+，x4=2﹣， 故P点的坐标为；（2﹣，4），（2+，4），（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）． 【变式5-3】．（2022·山东德州·二模）如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标． 【详解】解：（1）由已知得， 解得． 所以，抛物线的解析式为y=x2-x+3． （2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC， ∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，BC==5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9； ∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9． （3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， ①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b， ∵MQ//y轴， ∴△MQB∽△COB， ∴，即， 解得b=， 代入y=-x+3得=-a+3， 解得a=， ∴M（，）； ②当∠QMB=90°时，如图3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 设CM=MQ=m， ∴BM=5-m， ∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴，解得m=， 作MN∥OB， ∴△CMN∽△CBO， ∴，即， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC- CN=3-=， ∴M（，）． 综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）． 题型06线段差的最值 【例6】．（2022·山东青岛·一模）如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． (1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； (3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值． 【详解】（1）解：∵， 令x=0，则y=3， 令y=0，则， 解得x=-4或1， ∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3）， ∵， ∴对称轴为直线x=-； （2）解：如图所示： 过N作NQ⊥x轴于点Q， 由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC， ∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°， ∵∠OBC+∠BCO=90°， ∴∠BCO=∠QBN， 又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC， ∴△OBC≌△QNB（AAS）， ∴BQ=OC=3，NQ=OB=1， ∴OQ=1+3=4， ∴N（4，1）； （3）解：设直线NB的解析式为y=kx+b. ∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上， ∴， 解得：， ∴直线NB的解析式为：y=x-， 当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=， 当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB， ∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大， 即点P为直线NB与抛物线的交点． 解方程组：， 解得：或， ∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为． 【变式6-1】．（2022·山东聊城·一模）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； (3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由； (4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【详解】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3； (2)令x=0，则y=3， ∴点C(0，3)，则直线AC的解析式为y=-x+3，设点P(x，x2-4x+3)． ∵PD∥y轴， ∴点D(x，-x+3)， ∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+． ∵a=-1＜0， ∴当x=时，线段PD的长度有最大值； (3)①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P(1，0)， ②∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1， ∴抛物线的顶点坐标为(2，-1)． ∵A(3，0)， ∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P(2，-1)． 综上所述：点P(1，0)或(2，-1)时，△APD能构成直角三角形； (4)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB， ∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA-MC|＜BC， ∴当M、B、C三点共线时，|MA-MC|最大，为BC的长度， 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y=-3x+3． ∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2， ∴当x=2时，y=-3×2+3=-3， ∴点M(2，-3)，即，抛物线对称轴上存在点M(2，-3)，使|MA-MC|最大． 【变式6-2】．（2022·山东济宁·一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，点A在点B的左边，顶点为P，且线段AB的长为2． （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC﹣GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由． （4）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】试题分析：（1）求值直线y=﹣x+3与x轴的交点B，然后根据AB的长，即可求得OA的长，则A的坐标即可求得； （2）利用待定系数法求得二次函数的解析式； （3）由于A、B两点关于抛物线的对称轴即直线x=2对称，所以G点为直线CA与直线x=2的交点，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，再令x=2，求出y的值，进而得出G点坐标； （4）分成=，∠PBQ=∠ABC=45°和=，∠QBP=∠ABC=45°两种情况求得QB的长，据此即可求解． 解：（1）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=3，即B（3，0）， 由AB=2，得3﹣2=1， A的坐标为（1，0）； （2）根据题意得：， 解得：， 则抛物线的解析式是：y=x2﹣4x+3； （3）延长CA，交对称轴于点G，连接GB，则|GC﹣GB|=GC﹣GA=AC最大． ∵抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、点B（3，0），且对称轴为直线x=2， ∴点A的坐标为（1，0）． 设直线AC的解析式为y=kx+m， ∵A（1，0），C（0，3）， ∴， 解得， ∴y=﹣3x+3， 当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3， ∴G点坐标为（2，﹣3）； （4）①当=，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC． 即= ∴BQ=3， 又∵BO=3， ∴点Q与点O重合， ∴Q1的坐标是（0，0）． ②当=，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC． 即=， QB=． ∵OB=3， ∴OQ=OB﹣QB=3﹣= ∴Q2的坐标是（，0）． ∵∠PBx=180°﹣45°=135°，∠BAC＜135°， ∴∠PBx≠∠BAC． ∴点Q不可能在B点右侧的x轴上 综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0） 【变式6-3】（2024·山东东营·一模）如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线l，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图②，点P是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，当的面积取得最大值时，在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：将点，点，点代入， 得， ∴， ∴； （2）解：过P点作x轴垂线交于点Q，设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， ∴， ∵，点B关于对称轴的对称点为， ∴，与对称轴的交点即为， ∴，， ∴． 题型07线段比值最值 【例7】．（2021·山东泰安·中考真题）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为 【详解】解：（1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． （3）设与交于点N． 过B作y轴的平行线与相交于点M． 由A、C两点坐标分别为， 可得所在直线表达式为 ∴M点坐标为， 由，可得， 设，则 ， ∴当时，有最大值0.8， 此时P点坐标为． 【变式7-1】（2020·山东东营·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．    （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：把代入，即，解得 ∴抛物线的解析式为 令 可得: ∴； 存在， 如图，由题意，点在轴的右侧，作轴，交于点    直线与轴交于点 ∴， 设所在直线的解析式为， 将代入上述解析式得： 解得: 的解析式为 设 则，其中. ∴抛物线开口方向朝下 ∴当时，有最大值，最大值为. 将t=2代入=-2+3+2=3 ∴点的坐标为． 【变式7-2】．（2023·山东济南·一模）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点P的坐标为或或 【详解】（1）解：把点和代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点，如图所示：    设， 直线的解析式为， 由（1）可得：， ∴， 解得：， 直线的解析式为， ， ． 轴， ， ． ． ， ∴当时，的最大值是； 此时； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，，； 当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论： ①如图所示，当时， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； ②如图所示，时， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为； 综上：点P的坐标为或或． 【变式7-3】．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：解：∵抛物线过、，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时，则 ， 解得， ∴； 综上所述：或； （3）解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， ∴此时的坐标为． 题型08三角形面积最值 【例8】．（2024·山东聊城·三模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标； (3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，点F的坐标为 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将，，代入得， ， 解得， ∴； （2）如图所示，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴l是直线， ∵点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， ∴当点A，E，C三点共线时，的周长最小， ∴此时点E在直线上， 设直线的函数表达式为， 将，，代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入， ∴点E的坐标为； （3）存在． 如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D， 设点F的坐标为，则， ∴， ， 当时，的面积最大，此时， 点F的坐标为． 【变式8-1】．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； (3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标； 若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可以假设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解∶ 设直线的解析式为， 将、代入得到， 解得， ∴直线的解析式为． 当时，点在直线上方，过点P作x轴的垂线与线段相交于点Q， 则，， ∴） ， ∵， ∴当时，的值最大， 此时最大， ∴； （3）解∶ 由、、得， ∵，， ∴， 连接，过B作的垂线交抛物线于点D，交于点H， 则， ∴， ∵， ∴与关于的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴对称， ∴点D与点C关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴点D的坐标为． 【变式8-2】．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 【变式8-3】．（2023·山东济宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 题型09四边形面积最值 【例9】．（2023·山东聊城·一模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将点代入 得，， 解得， ∴抛物线的解析式：， 令， 则， 解得或1， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接， ∵轴交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ， 解得或4， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的值为； （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为2， 分三种情况： ①当为直角顶点时，， 如图2，过作轴，过作于，过作于， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为2， ∴， 解得或或， ∴点的坐标为或(或或； ②当为直角顶点时，， 如图3-1，过作轴，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， ∴，解得或， ∴点的坐标为或，； 如图3-2， 同理， ∴， ∵，点Q的横坐标为2， ∴， ∴，解得或， ∴点P的坐标为或； ③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于， 同理， ∵，点的横坐标为2， 或或 ， ∴，解得或5或3或（舍去）或4（舍去）， ∴点的坐标为或或； 综上所述，点的坐标是或或或或或或或或或或． 【变式9-1】．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【变式9-2】．（2022·山东济南·一模）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或或， 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或或，． 【变式9-3】．（2022·山东烟台·一模）如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 (1)求抛物线的关系式； (2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． （3）解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 题型10 已知面积求坐标 【例10】．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，，， 、关于抛物线的对称轴为直线对称， ， 当、、共线时，最小， 连接与对称轴的交点就是点， 此时， 的最小值为； （3）解：设点坐标， 令，， 解得：或1， 点坐标， ， ， ， ， 或， 或或或， 点的坐标为或或或． 【变式10-1】．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是第三象限抛物线上一点，当的面积为12时，求P点坐标． (3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：    由，得 ，， ∵， ∴． 设的表达式为：， 则，解得， ∴． 过P点做y轴的平行线交的延长线与M点，设，则， 则． ∵， ∴， 得， ∴， 解得，（舍去）， ∴ ． （3）解：存在，如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时， ∵， ∴， ∴点Q和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E． ∵， ∴， ∴设， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， ∴． ∴设直线的解析式为， 将，代入得， ∴解得， ∴． ∴联立直线和抛物线得，， ∴解得（舍去0），， ∴将代入得， ∴点Q的坐标为． 【变式10-2】．（2024·山东菏泽·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． (1)抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (4)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴抛物线的顶点为， 故答案为：；； （2）不存在点，使四边形的面积为．理由如下： 连接， ∵抛物线与轴交于点，， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， 若四边形的面积为， 则， 整理得：， ∵， 此时方程无实数根， ∴不存在点，使四边形的面积为； （3）由（2）知：， ∵， ∴， 设点横坐标为， ∴， 解得：， ∵点在直线的解析式为， ∴， ∴点的坐标是； （4）设与轴的交点为， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：（舍）或， ∴点的坐标是． 【变式10-3】．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点A，，的坐标； (2)如图1，连接，点D在线段上运动，过点D作轴于点F，交抛物线于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标； (3)如图2，点G的坐标是，作直线，点H在y轴的负半轴上运动，连接BH交直线于点M，点N在该平面内运动，当以点，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 【详解】（1）解：当有，整理得：，解得：或 所以; 当有， ∴． （2）解：设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴， 设D点坐标为,， ， ∵， ∴、的边上的高相等， ∵的面积是的面积的， ∴, ∴，解得：或6， ∴D点的坐标为或． （3）解：∵， 设直线的解析式为，则有：，解得：，即， 设，则， 设直线的解析式为， 则有，解得：，即， 联立可得：，解得：， ∴， ∴， ∴； ①当均为边时，则， ∴，即，化简得：，解得：或16（正值舍去）； ∴； ②当为边时，为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：, ∴，解得：或18（正值舍去）， ∴； ③当为对角线，为边时，, ∴， ∴，整理得：，解得：． 综上，或或． $$第三章 函数 第16讲 二次函数的线段、面积问题（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的线段、面积问题 题型01 线段最值 题型02 线段和的最值 题型03 已知线段比值求坐标 题型04三角形周长最值 题型05四边形周长最值 题型06线段差的最值 题型07线段比值最值 题型08三角形面积最值 题型09四边形面积最值 题型10 已知面积求坐标 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的线段、面积问题 · 能利用二次函数性质解决抛物线中的线段最值和存在性问题问题 · 能利用二次函数性质解决抛物线中的面积最值和存在性问题问题 2024省卷22题， 二次函数的线段面积问题在中考中较为常见，而利用二次函数图象解决最值和存在性问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算量较大，需要考生在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上. 对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=，相对于区间m≤x≤n的位置: 1）轴在区间左侧：如图①，当＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n时，y取得最大值. 2）轴在区间中间：如图②③，当m≤≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得最大值，或者把x=m时的y值和 x=n时的y值计算出来并进行比较，谁大谁就是最大值. 3）轴在区间右侧：如图④，当＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小值. 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数的线段、面积问题 抛物线中的线段最值问题有三种形式： 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 抛物线中的面积最值问题通常有以下3种解题方法： 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 题型01 线段最值 【例1】．（2023·山东烟台·二模）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，其中，D是第一象限抛物线上一点，连接交于点E，点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求线段长度的最大值； (3)是否存在m的值，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】．（2024·山东日照·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标． 【变式1-2】．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ (3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】．（2023·山东德州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点．    (1)求点和点的坐标； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)当最大时，在二次函数的图象上是否存在点，使以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型02 线段和的最值 【例2】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【变式2-1】．（2021·山东东营·中考真题）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【变式2-2】．（2024·山东菏泽·一模）如图，已知二次函数． 的图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求的最大值． 【变式2-3】．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空：_________，点的坐标是 _________； (2)连接，点是线段上一动点点不与端点，重合，过点作，交抛物线于点点在对称轴的右侧，过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在(2)中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03 已知线段比值求坐标 【例3】．（2023·山东济南·一模）抛物线过点，点，顶点为C，与y轴交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为 (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，连接，，，若的面积为3，求m的值； (3)连接，过点作于点M，是否存在点P，使得，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式3-1】．（2023·山东聊城·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点与y轴交于点C，连接． 备用图 (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上方的抛物线上一点，连接交于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】．（2024·山东济南·一模）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点，．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)当是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长； (3)过点P作x轴的垂线，垂足为N，设直线交直线于点F，是否存在这样的m值，使？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】．（2023·山东东营·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标． (3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标． 题型04三角形周长最值 【例4】．（2024·山东淄博·一模）抛物线（a，b为常数，a≠0）与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，点D为线段上的一个动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，求点D的坐标； (3)连结，过点D作，与抛物线在第一象限的部分相交于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【变式4-1】．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】．（2022·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【变式4-3】．（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 题型05四边形周长最值 【例5】．（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 【变式5-1】．（2020·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y＝﹣2x﹣3经过点A（﹣2，a），与x轴相交于B、C两点（B点在C点左侧）． （1）求a的值及B、C两点坐标； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BD，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标； （3）设P（m，-3)是该抛物线上一点，点Q为抛物线的顶点，在x轴、y轴分别找点M、N，使四边形MNQP的周长最小，请求出点M、N的坐标． 【变式5-2】．（2022·山东德州·二模）已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0）， B（β，0），且． （1）求抛物线的解析式． （2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E．是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 【变式5-3】．（2022·山东德州·二模）如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标． 题型06线段差的最值 【例6】．（2022·山东青岛·一模）如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C． (1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标； (3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值． 【变式6-1】．（2022·山东聊城·一模）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD⊥y轴交直线AC于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值； (3)△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由； (4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【变式6-2】．（2022·山东济宁·一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，点A在点B的左边，顶点为P，且线段AB的长为2． （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使|GC﹣GB|最大？若存在，求G点坐标；若不存在说明理由． （4）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】．（2024·山东东营·一模）如图①，抛物线经过点，点和点，它的对称轴为直线l，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图②，点P是直线下方该抛物线上的一个动点，连接，当的面积取得最大值时，在抛物线对称轴l上找一点M，使的值最大，求点M的坐标，并求出这个最大值． 题型07线段比值最值 【例7】．（2021·山东泰安·中考真题）二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由． 【变式7-1】（2020·山东东营·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点(点在点左侧)，连接直线与轴交于点与上方的抛物线交于点与交于点．    （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】．（2023·山东济南·一模）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标． 题型08三角形面积最值 【例8】．（2024·山东聊城·三模）如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标； (3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标． 【变式8-1】．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点、，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大； (3)抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足，若存在，请求出点D的坐标； 若不存在，请说明理由． 【变式8-2】．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】．（2023·山东济宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型09四边形面积最值 【例9】．（2023·山东聊城·一模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为． (1)填空： ___________， ___________， ___________； (2)在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求n的值； (3)如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接，是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】．（2022·山东济南·一模）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式9-3】．（2022·山东烟台·一模）如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 (1)求抛物线的关系式； (2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10 已知面积求坐标 【例10】．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【变式10-1】．（2023·山东东营·二模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是第三象限抛物线上一点，当的面积为12时，求P点坐标． (3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-2】．（2024·山东菏泽·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点． (1)抛物线的解析式为________，抛物线的顶点坐标为________； (2)如图，抛物线上是否存在点，使四边形的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，连接交于点，当时，请求出点的坐标； (4)如图，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标． 【变式10-3】．（2023·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点A，，的坐标； (2)如图1，连接，点D在线段上运动，过点D作轴于点F，交抛物线于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标； (3)如图2，点G的坐标是，作直线，点H在y轴的负半轴上运动，连接BH交直线于点M，点N在该平面内运动，当以点，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． $$