第15讲 二次函数的应用（10题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第15讲 二次函数的应用（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数应用 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方案选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 2024省卷12题， 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次次函数应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 题型01 最大利润/销量问题 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-1】．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【变式1-2】．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【变式1-3】．（2022·山东青岛·中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 题型02 方案选择问题 【例2】．（2023·山东烟台·一模）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【变式2-1】．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案： 方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元． 方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元． 说明：月利润=月租费-月维护费． 设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题： (1)当时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元； (2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？ (3)设按方案A租赁所得的月利润为，按方案B租赁所得的月利润为，记函数，求w的最大值． 【变式2-2】．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为万元/吨，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格为万元/吨．乙类草莓深加工总费用（单位：万元）与加工数量（单位：吨）之间的函数关系为，平均销售价格为万元/吨． (1)某次该公司收购了吨的草莓，其中甲类草莓有吨，经营这批草莓所获得的总利润为万元； ①求与之间的函数关系式； ②若该公司获得了万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ (2)在某次收购中，该公司准备投入万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 【变式2-3】．（2023·山东青岛·二模）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍． (1)每件A种和B种商品的进价分别为多少元？ (2)该商场欲购进A，B两种商品共250件进行销售，其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数． 若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示： A种商品的销量 0 5 10 15 20 …… A种商品的售价 240 230 220 210 200 …… 商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案． 题型03 拱桥问题 【例3】．（2024·山东泰安·一模）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．    【变式3-1】．（2023·山东日照·二模）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m，在高度为10m的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m；    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3.2m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由. 【变式3-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【变式3-3】（2022·山东青岛·一模）如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽，此时水面离桥拱顶部的距离为． (1)按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)如图3，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱，，架设钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于轴对称，左面钢缆抛物线可以用表示． ①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？ ②求安全绳长度（钢缆和桥面之间距离）的最小值是多少？ 题型04 隧道问题 【例4】．（2022·山东德州·一模）一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【变式4-1】．（2023·山东临沂·一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【变式4-2】15．（2022·山东淄博·二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【变式4-3】．（2022·山东青岛·一模）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 题型05 空中跳跃轨迹问题 【例5】．（2023·山东青岛·二模）某校在趣味运动会中设计了一个弹珠投箱子的游戏(长方体无盖箱子放在水平面上)，在规定时间内以投入箱子弹珠的多少决定胜负．小明受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(单位长度为，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图)．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置，的水平距离为．已知，，． (1)求此抛物线的关系式； (2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明． 【变式5-1】．（2023·山东青岛·二模）火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米； (1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式； (2)判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由； (3)若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？ 【变式5-2】．（2023·山东菏泽 ·二模）某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投弹珠，并建立了如图所示的平面直角坐标系(正方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线(单位长度为)的一部分，且抛物线经过，已知．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子； (3)若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，直接写出m的值； (4)若弹珠投入箱子后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． 【变式5-3】．（2022·山东青岛·模拟预测）2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动．在长，高的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为，设运动员P距离地面的高度为，腾空过程中离开斜面的距离为，回答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)求出h的最大值和此时点P的坐标； (3)求出d的最大值和此时点P的坐标． 题型06 球类飞行轨迹 【例6】．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【变式6-1】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值． 【变式6-2】．（2024·山东临沂·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； (2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 【变式6-3】．（2022·山东日照·二模）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 题型07 喷泉问题 【例7】．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        【变式7-1】．（2022·山东德州·二模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 【变式7-2】．（2022·山东菏泽·二模）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线． 如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，求水流的落地点到水枪底部的距离． 【变式7-3】．（2023·山东青岛·二模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的质端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，下面的表中记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y与x函数关系的图像；    (2)水柱最高点与水管的水平距离为m米，则______，并求y与x函数表达式； (3)公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖而的高度为1.8米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．    题型08 图形问题 【例8】．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【变式8-1】（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【变式8-2】．（2023·山东·中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【变式8-3】（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ． 题型09 图形运动问题 【例9】．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【变式10-2】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】．（2022·山东德州·中考真题）如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，点，，在同一条直线上，令矩形不动，等边三角形以每秒的速度向右移动，当点与点重合时停止移动，设移动秒后，等边三角形与矩形重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是（    ）    A．   B．     C．     题型10 二次函数综合问题 【例10】．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 【变式10-1】．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【变式10-2】．（2021·山东日照·中考真题）已知：抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值； （3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点． ①求的周长及的值； ②点是轴负半轴上的点，且满足（为大于0的常数），求点的坐标． 【变式10-3】（2021·山东滨州·中考真题）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）． （1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标； （2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标； （3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式； （4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2．某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 3．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 5．把一根长为的铁丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为4 C．有最小值为1 D．有最小值为4 6．如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 二、填空题 7．一名高尔夫球手击出一球，球飞出后的水平距离与球上升的高度满足关系．当球落到地面上时，它飞行了______米． 8．从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度．科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示．若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为 ． 9．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    10．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m． 三、解答题 11．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 12．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 13．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 14．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 15．如图，中，．动点分别从两点同时出发，点沿边以的速度运动到点停止，点沿边匀速运动到点停止．点同时停止运动．设运动时间为．根据题意，完成下列解答． (1)点的速度为______． (2)设之间的距离为，则与满足______（选填“正比例”“一次”“二次”）函数关系． (3)连接，设的面积为，请用含的代数式表示，并求出的最大值． 能力提升 一、单选题 1．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 2．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度(米)与飞行的水平距离(米)之间具有函数关系则小明这次实心球训练的成绩为(   ) A． B．12 C．8 D．10 4．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度的为（　　） A．32度 B．41度 C．58度 D．75度 二、填空题 7．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 8．酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在 ． 9．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为 米． 10．如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、桥墩米，跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点到直线的距离是15米时，则点到地面的距离是 ． 三、解答题 11．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当时，_______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ 12．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． (1)若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； (2)求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； (3)当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 13．东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？ 14．某商业集团准备购进A，两款打印机在甲、乙两个商场进行销售，两款打印机每台的利润如下表所示： 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十一，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲、乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数表达式； (2)若这100台打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． 15．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． $$第三章 函数 第15讲 二次函数的应用（10题型）（8~10分） （思维导图+10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03题型精研·考向洞悉 命题点 二次函数应用 题型01 最大利润/销量问题 题型02 方案选择问题 题型03 拱桥问题 题型04 隧道问题 题型05 空中跳跃轨迹问题 题型06 球类飞行轨迹 题型07 喷泉问题 题型08 图形问题 题型09 图形运动问题 题型10 二次函数综合问题 04分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 2024省卷12题， 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 04题型精研·考向洞悉 命题点 二次次函数应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 题型01 最大利润/销量问题 【例1】．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【变式1-1】．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【变式1-2】．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．    【答案】121 【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得： ， 解得， ∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为， 设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元， ， ∵1<0， ∴当时，w有最大值为121， 故答案为：121． 【变式1-3】．（2022·山东青岛·中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)且x为整数． (2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 【详解】（1）解：由题意得 ∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数． （2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元 则 ∵ ∴抛物线开口向下 ∵对称轴是直线 ∴当时，w的值随x值的增大而增大 ∵x为正整数，∴此时，当时， 当时，w的值随x值的增大而减小 ∵x为正整数，∴此时，当时， ∵ ∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 题型02 方案选择问题 【例2】．（2023·山东烟台·一模）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为， 将代入，得 ，解得 ∴二次函数解析式为． （2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则 ∵， ∴当时，W有最大值6.6． ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 【变式2-1】．（2024·山东潍坊·一模）某无人机租赁方案有50架某种型号的无人机对外出租，该方案有两种租赁方案： 方案A：如果每架无人机月租费300元，那么50架无人机可全部租出．如果每架无人机的月租费每增加5元，那么将少租出1架无人机．另外，方案为每架租出的无人机支付月维护费20元． 方案B：每架无人机月租费350元，无论是否租出，方案均需一次性支付月维护费共计185元． 说明：月利润=月租费-月维护费． 设租出无人机的数量为x架，根据上述信息，解决下列问题： (1)当时，按方案A租赁所得的月利润是__________元，按方案B租赁所得的月利润是__________元； (2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是多少？ (3)设按方案A租赁所得的月利润为，按方案B租赁所得的月利润为，记函数，求w的最大值． 【答案】(1)4800，3315 (2)如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架； (3)的最大值为元． 【详解】（1）解：元， 当每个方案租出的无人机为10辆时，甲方案的月利润是48000元； 乙方案的月利润为元， 故答案为：4800，3315； （2）解：设甲方案的月利润为，乙方案的利润为，则： ， 乙方案的利润为， 当时， ， 解得或（不合题意，舍去）， 答：如果按两种方案租赁所得的月利润相等，那么租出的无人机数量是37架； （3）解：由题意得 ， ∵， ∴函数有最大值， 又， ∴当时，有最大值，为元． 【变式2-2】．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以万元/吨的价格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为万元/吨，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格，当甲类草莓的销售量吨时，它的平均销售价格为万元/吨．乙类草莓深加工总费用（单位：万元）与加工数量（单位：吨）之间的函数关系为，平均销售价格为万元/吨． (1)某次该公司收购了吨的草莓，其中甲类草莓有吨，经营这批草莓所获得的总利润为万元； ①求与之间的函数关系式； ②若该公司获得了万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？ (2)在某次收购中，该公司准备投入万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，并求出最大的总利润． 【答案】(1)①；②当该公司获得了万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有吨 (2)收购吨草莓，甲类分配吨，乙类分配吨，总收益为万元 【详解】（1）解：①设销售甲类草莓吨，则销售乙类草莓吨． 当时，， ， ∴； 当时，， ， ∴． ∴关于的函数关系式为：． ②当时，，解得，，均不合题意； 当时，，解得． ∴当该公司获得了万元的总利润时，直接销售的甲类草莓有吨． （2）解：设投入资金后甲类分到收购的草莓为吨，乙类为吨，总投入为，即：， 当时总利润为， 当时，取到最大值； 当时，总利润为常数， 故方案为收购吨，甲类分配吨，乙类分配吨，总收益为万元． 【变式2-3】．（2023·山东青岛·二模）某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍． (1)每件A种和B种商品的进价分别为多少元？ (2)该商场欲购进A，B两种商品共250件进行销售，其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数． 若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示： A种商品的销量 0 5 10 15 20 …… A种商品的售价 240 230 220 210 200 …… 商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案． 【答案】(1)每件A种商品的进价160元，每件B种商品的进价为150元 (2)该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品进230件 【详解】（1）解：设每件A种商品的进价x元，则每件B种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是方程的根， ， 答：每件A种商品的进价160元，每件B种商品的进价为150元. （2）解：设销售A种商品销量m件，则销售B种商品件， 根据题意可得：， 解得， 由表格中的数据可知：A种商品的售价y与A种商品销量m满足一次函数关系，设为， 由题意可得；，解得， ∴， 设获得的利润w元， 则 ， ∵， ∴当时，w随m的增大而减小， ∵， ∴当时，w有最大值为元； 此时进货方案为：A种商品进20件，B种商品进230件； 答：该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品进230件． 题型03 拱桥问题 【例3】．（2024·山东泰安·一模）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ．    【答案】/24米 【详解】解：依题意得： 当时，， 当水位上升时，则此时， 则：， 解得：或， 水面宽为：， 故答案为：． 【变式3-1】．（2023·山东日照·二模）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高6m，在高度为10m的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为5m；    (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)求立柱的长； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3.2m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由. 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， 相邻两支柱间的距离均为， ， ，两点都在抛物线上， ， ， ． （2）解：当时，， ． ． （3）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定， 当时，， 不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【变式3-2】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图①，是我市一条河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图②）． (1)求抛物线的解析式； (2)求两盏景观灯之间的水平距离； (3)有一条货船宽6米，货箱高3米，问货船能否安全通过该拱桥？ 【答案】(1) (2) (3)能安全通过 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线解析式为， 把点代入得：，即， ∴抛物线解析式为． （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴ ∴ ∴， ∴两景观灯间的距离为米． （3）货船走桥洞的正中间最容易通过， ∵货船宽6米， ∴左侧距离桥的距离为, 当时， ∵货箱高3米，， ∴货船能安全通过改拱桥。 【变式3-3】（2022·山东青岛·一模）如图1是一座抛物线型拱桥，图2是其在直角坐标系中的侧面示意图．在正常水位时水面宽，此时水面离桥拱顶部的距离为． (1)按如图2所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)如图3，因某种需要，在桥拱顶部及桥的两端树立了三根支柱，，架设钢缆，在钢缆和桥面之间竖直悬挂若干安全绳，过相邻支柱顶端的钢缆具有相同的抛物线形状，且左、右两条抛物线关于轴对称，左面钢缆抛物线可以用表示． ①求左、右面两条钢缆的最低点之间的距离是多少？ ②求安全绳长度（钢缆和桥面之间距离）的最小值是多少？ 【答案】(1)y=-x2 (2)①12m；②2m． 【详解】（1）解：由图可知，点A坐标为（-12，-6），点B坐标为（12，-6），点O坐标为（0，0） 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c 将A，B，O代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2 （2）解：①∵= ∵＞0 当x=-6时，y有最小值，且最小值为1 ∵左、右两条抛物线关于轴对称 ∴最低点之间的距离为2×6=12m ②令安全绳长度为wm，则 w= = = ∵＞0 ∴当x=-4时，w有最小值，且最小值为2 故安全绳长度最小值为2m． 题型04 隧道问题 【例4】．（2022·山东德州·一模）一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m，拱高为4 m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5 m的距离，则货车的限高应为 ． 【答案】3.25 m　 【详解】解：根据题意可得， 当x＝1或x＝－1时，货车车顶离隧道最近． 当x＝1时，y＝－＋4＝3， ∴货车的限高为3－0.5＝3.5m． 故答案为：3.25 m． 【变式4-1】．（2023·山东临沂·一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． 【变式4-2】15．（2022·山东淄博·二模）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系． (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使 C 、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】（1） M（12，0） ，P（6，6）； （2）； （3）当m=3时，AD+DC+CB有最大值为15米. 【详解】(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6). (2)设此函数关系式为：. ∵函数经过点(0，0)， ∴，即. ∴此函数解析式为： . (3)设A(m，0)，则 B(12-m，0)，C，D. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB = =. ∵此二次函数的图象开口向下. ∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米． 点评： 【变式4-3】．（2022·山东青岛·一模）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是． 【详解】解：（1）由题知点在抛物线上 所以， 解得， ∴， ∴当时， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）） 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得 答：两排灯的水平距离最小是 题型05 空中跳跃轨迹问题 【例5】．（2023·山东青岛·二模）某校在趣味运动会中设计了一个弹珠投箱子的游戏(长方体无盖箱子放在水平面上)，在规定时间内以投入箱子弹珠的多少决定胜负．小明受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系(单位长度为，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图)．某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置，的水平距离为．已知，，． (1)求此抛物线的关系式； (2)该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【详解】（1）解：依题意，， 代入， 得： 解得： ∴ （2）解：依题意，，， ∴，， 由， 当，即 解得：或（舍去） ∵， ∴该同学抛出的弹珠能投入箱子． 【变式5-1】．（2023·山东青岛·二模）火炮射程的远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，假设在这两个因素都固定的前提下（忽略空气阻力、炮口与底面的高度等其他因素），某科研机构对新研制的火炮（如图1）进行测试，射击时，炮弹飞行的竖直高度单位：百米与水平距离x（单位：百米）近似满足二次函数关系在某次测试时，以炮口为坐标原点，以火炮和山丘所在水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现，当炮弹飞行的水平距离是百米时，达到最大高度是百米；山丘位于火炮正前方，山丘顶部距炮口的水平距离为百米，山丘高为百米； (1)求出满足炮弹飞行轨迹的函数关系式； (2)判断炮弹是否能够越过山丘，并请说明理由； (3)若在山丘另一侧点处设置一目标物假设火炮、山丘、目标物在同一水平线上；炮弹的最大杀伤半径为百米，则目标物应该设置在距山丘顶部水平距离为多少百米范围内，才能使射击有效？ 【答案】(1) (2)炮弹能够越过山丘，见解析 (3) 【详解】（1）由题意知，二次函数的顶点为， 设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为：， 代入得， ， ； （2）山丘顶部距炮口的水平距离为百米， 当时，， 炮弹能够越过山丘； （3）令，得或， 炮弹落在距离炮口百米的地方， 炮弹的最大杀伤半径为百米，山丘顶部距炮口的水平距离为百米， 为使射击有效，目标物应该设置在距山丘顶部水平距离应满足， ． 【变式5-2】．（2023·山东菏泽 ·二模）某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，从箱外向箱内投弹珠，并建立了如图所示的平面直角坐标系(正方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行)某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线(单位长度为)的一部分，且抛物线经过，已知．    (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请通过计算说明该同学抛出的弹珠能投入箱子； (3)若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，直接写出m的值； (4)若弹珠投入箱子后立即向右上方弹起，沿与抛物线L形状相同的抛物线M运动，且无阻挡时弹珠最大高度可达，请判断弹珠能否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1)； (2)弹珠能投入箱子，见解析， (3)m的值为或 (4)弹珠能弹出箱子，见解析． 【详解】（1）将和代入可得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； ， 顶点坐标为； （2）∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D横坐标是2，点C横坐标是4， 令，则，解得，（舍）. ∵， ∴该同学抛出的弹珠能投入箱子； （3）若，即，在此情况下， 当时，，解得，（舍）； 若，在此情况下， 当时，，解得，（舍）. 综上所述，m的值为或 （4）弹珠能弹出箱子； 理由：当时，，解得，(舍)， ∴抛物线L与x轴正半轴的交点为， 根据题意设抛物线M的解析式为. 把点代入，解得，. 又∵抛物线M的对称轴在直线的右侧， ∴， ∴抛物线M的解析式为：． 当时，， ∴弹珠能弹出箱子. 【变式5-3】．（2022·山东青岛·模拟预测）2022年冬奥会成功在北京张家口举行，奥林匹克精神鼓舞了越来越多的年轻人从事冰雪运动．在长，高的斜面上，滑雪运动员P从顶端腾空而起，最终刚好落在斜面底端，其轨迹可视为抛物线的一部分．按如图方式建立平面直角坐标系，设斜面所在直线的函数关系式为，运动员轨迹所在抛物线的函数关系式为，设运动员P距离地面的高度为，腾空过程中离开斜面的距离为，回答下列问题： (1)分别求出、与x之间的函数关系式； (2)求出h的最大值和此时点P的坐标； (3)求出d的最大值和此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)，， (3)，， 【详解】（1）解：把点（8，0）和（0，6）代入直线得， 解得 ∴ 把点（8，0）和（0，6）代入抛物线得， 解得： ∴ （2）解：把化成顶点式得： ∴，， （3）解：设与抛物线相切的直线为， 联立y2和y3得： 化简得： ∵抛物线y2和直线y3相切， ∴方程有两个相等的实数根． ∴ 解得：h=8 ∴ 联立y2和y3解得： ∴此时点P的坐标为（4，5） 如图1，过A点作AC⊥直线y3，垂足为C， ∵直线AC与直线y1垂直且过点A(0，6) ∴直线AC的解析式为y4=， 联立y3和y4解得点C的坐标为（，） 线段AC的长度就是所求的d， d===． 方法二：如图2，过点作轴于点，交斜边于点，过点作于点， ，设，，则， ， ∴， 的最大值为                    图1                                      图2 题型06 球类飞行轨迹 【例6】．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【变式6-1】．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度（m）与运行的水平距离（m）满足关系式，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距点的水平距离为18m． (1)当时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)当时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值． 【答案】(1)； (2)球能越过网，球会过界，理由见解析； (3)． 【详解】（1）解：把，，及代入到 即， ， ； （2）解：， 当时， 球能越过网， 时， 球会过界； （3）解：，，代入到得；依题意： 时，① 时，② 由①，②得． 【变式6-2】．（2024·山东临沂·一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发球． 已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)甲发球后，若羽毛球往前飞行与点O的水平距离为时到达最高处，此时羽毛球离地面 ，如图1． ①求抛物线的解析式； ②通过计算判断此球能否过网； (2)甲再次发球后，羽毛球飞行路线符合抛物线 到与点O的水平距离为时落地．若羽毛球飞行到与点O的水平距离为的Q处时，乙扣球，羽毛球飞行的路线为直线的一部分，且经过点，如图2．问：乙能扣球过网吗?通过计算加以说明． 【答案】(1)①  ②此球能过网 (2)乙扣球不过网 【详解】（1）解：①设抛物线解析式为 ， 由题意得， ， 解得 ∴， ②把代入 得:， ， ∴ 此球能过网； （2）把代入得: ，解得： ， ， 当时, ， ∴点的坐标 ， 设乙扣球路线的解析式为，则 解得 ， ， 当时, ， ∴乙扣球不过网． 【变式6-3】．（2022·山东日照·二模）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．       (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (3)已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 题型07 喷泉问题 【例7】．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        【答案】3.2米 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，      由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 【变式7-1】．（2022·山东德州·二模）西安大雁塔音乐喷泉是西安的一张名片，许多人慕名前往．若其中一组喷泉水型可近似看成抛物线族，如图出立坐标系后，可由函数确定，其中1为实数．若其中某个喷泉水柱的最大高度是4，则此时对应的t值为（　　） A．2 B．4 C．2或 D．4成 【答案】C 【详解】由可得其对称轴为：， 根据， 可知：当时，， 即有：， 解得：， 故选：C． 【变式7-2】．（2022·山东菏泽·二模）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线． 如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，求水流的落地点到水枪底部的距离． 【答案】水流的落地点到水枪底部的距离为． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 设抛物线的表达式为： ， 根据题意，得出，两点的坐标分别为,)，)， 点为抛物线顶点， ， 点在抛物线上， ，， 它的表达式为， 当点的纵坐标时，有 ， (舍去)，， ， 水流的落地点到水枪底部的距离为． 【变式7-3】．（2023·山东青岛·二模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的质端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米，下面的表中记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y与x函数关系的图像；    (2)水柱最高点与水管的水平距离为m米，则______，并求y与x函数表达式； (3)公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为2米，顶棚到湖而的高度为1.8米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由．    【答案】(1)见解析； (2)2，； (3)1.05米，理由见解析． 【详解】（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：    （2）由图1可得函数顶点为， ∴水柱最高点距水管的水平距离为2米， 根据图像可设二次函数的解析式为：， 将代入 解得 ∴抛物线的解析式为： （3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于 ∴ 解得 ∴水管高度至少向上调节1.05米 题型08 图形问题 【例8】．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【变式8-1】（2023·山东潍坊·中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？      【答案】当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米 【详解】解：如图，连接，分别交于点，交于点，   ， ， 米， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形都是矩形， 米，， 和都是等腰直角三角形， ， ， 设矩形的面积为平方米，米，则米，米， 米， 米， ， 又，与之间的距离为2米，米， ， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：当的长度为米时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是平方米． 【变式8-2】．（2023·山东·中考真题）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？ 【答案】(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米 (2)最多可以购买1400株牡丹 【详解】（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米， ∴， ∴当时，y有最大值是1200， 此时，宽为（米） 答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米． （2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米， 由题意可得 解得：， 即牡丹最多种植700平方米， （株）， 答：最多可以购买1400株牡丹． 【变式8-3】（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0）， ∴x＝4时，y＝0， ∴BC＝4， 作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3， ∵3＝2FH， ∴FH＝， ∵∠ABC＝60°， ∴BF＝＝， ∵DEAB， ∴AB＝2BF＝， 故答案为：． 题型09 图形运动问题 【例9】．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点C作CM⊥AB于N，， 在等腰中，， ， ①当时，如图，， ， ， ∴，y随x的增大而增大； ②当时，如图， ， ∴当时，y是一个定值为1； ③当时，如图，， ， , 当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0， 结合ABCD选项的图象， 故选：B． 【变式9-1】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【变式10-2】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 【变式10-3】．（2022·山东德州·中考真题）如图，为等边三角形，边长为，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，点，，在同一条直线上，令矩形不动，等边三角形以每秒的速度向右移动，当点与点重合时停止移动，设移动秒后，等边三角形与矩形重叠部分的面积为，则关于的函数图象大致是（    ）    A．   B．     C．     【答案】A 【详解】解：①如图1，当时，设与交于点，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴此时与的函数图象是开口向上的抛物线且； ②如图2，当时，设交于点，过点作于点，    ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时与的函数图象是一条线段且； ③如图3，当时，设与交于点，与交于点，交于点，过点作于点，      ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴此时与的函数图象是开口向下的抛物线且， 故选：A． 题型10 二次函数综合问题 【例10】．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．    (1)求点C，D的坐标； (2)当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标； (3)坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形． ①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标； ②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，；② 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D， ∴C、D关于抛物线对称轴对称， ∴； （2）解：当时，抛物线解析式为， 当，即，解得或， ∴； 如图，设上与点M关于直线对称的点为， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得：，即 ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴；    （3）解：①当时，抛物线解析式为，， ∴， ∴，， 当时，， ∴抛物线恰好经过； ∵抛物线对称轴为直线， 由对称性可知抛物线经过， ∴点时抛物线与正方形的一个交点， 又∵点F与点D重合， ∴抛物线也经过点； 综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；    ②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴点T的纵坐标为， ∴， ∴， 解得（舍去）或；    如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， 解得（舍去，因为此时点F在点D下方）    如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S， ∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，， 当 时，， ∴不符合题意；    综上所述，． 【变式10-1】．（2023·山东·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为．     (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，分别交直线，线段于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ∴， ∵对称轴为， ∴，， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过作x轴的垂线，垂足为H，    令， 解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得， ∵对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）设所在直线的解析式为， 把B、C坐标代入得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线与x轴所成夹角为， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点P代入得， ∴， 令，则， 解得， ∴ ∴ ∵点P在直线上方， ∴， ∴当时，的最大值为． 【变式10-2】．（2021·山东日照·中考真题）已知：抛物线经过，，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值； （3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点． ①求的周长及的值； ②点是轴负半轴上的点，且满足（为大于0的常数），求点的坐标． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）k=，P（，）；（3）①，；②（0，）或（0，） 【详解】解：（1）抛物线经过，，， 设，将代入，得， 解得：， ， 抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交直线于点， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时，取得最大值，此时，，； （3）①如图2，过点作于点，则， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， ， ， 的周长； 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； ②设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， 整理得，， ，， ，即， 当△，即时， ， 或． 【变式10-3】（2021·山东滨州·中考真题）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点B的左侧）． （1）如图1，若点A、B的横坐标分别为-3、，求线段AB中点P的坐标； （2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标； （3）如图3，若线段AB中点P的坐标为，求y关于x的函数解析式； （4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长． 【答案】（1）（，）；（2）（，）；（3）y=x2+2；（4） 【详解】解：（1）点、在抛物线上，点、的横坐标分别为、， 当时，， 当时，， 即点的坐标为，点的坐标为，， 作轴于点，作轴于点，作轴于点，如图1所示， 则， 点为线段的中点， ， 由平行线分线段成比例，可得， 设点的坐标为， 则， ， 同理可得，， 点的坐标为，； （2）点在抛物线上，点的横坐标为4， 点的纵坐标为：， 点的坐标为， ，， 作轴于点，作轴于点，如图2所示， ，，， ，，， ， ， ， 设点的坐标为， ，， ， 解得（舍去），， 点的坐标为， 中点的横坐标为：，纵坐标为， 线段中点的坐标为，； （3）作轴于点，作轴于点，如图3所示， 由（2）知，， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， 解得，， 点是线段的中点， ，， ， ， 即关于的函数解析式是； （4）当时，， ， ，是直角三角形，点时斜边的中点， ， 即线段的长是． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 2．某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 3．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 4．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 5．把一根长为的铁丝折成一个矩形，当矩形的一边长为时，它的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．有最大值为1 B．有最大值为4 C．有最小值为1 D．有最小值为4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用根据矩形的周长可计算出矩形的另一边长为，再根据矩形的面积计算方法进行列式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，矩形的另一边长为：， 则． ∴当时，有最大值为1 故选：A． 6．如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 易证， ， ． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是直线（随增大而增大）的一部分， （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C 二、填空题 7．一名高尔夫球手击出一球，球飞出后的水平距离与球上升的高度满足关系．当球落到地面上时，它飞行了______米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意可以得到当时，的值，即可得到答案． 【详解】解：， 当时， ， 解得，，， 当球落到地面上时，， 当球落到地面上时，它飞行了米， 故答案为：． 8．从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度．科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示．若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为 ． 【答案】1或3/3或1 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得：， 解得：，． 所以当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为1或3． 故答案为：1或3． 9．如图、利用长为50m的篱笆及一面墙围一个矩形花圃（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙平行的边上预留出宽为2m的出口．设边的长为，花圃的面积为，则与之间的函数关系式是 ．    【答案】 【分析】根据矩形的面积公式用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 10．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，二次函数的性质，矩形的性质，列代数式，掌握二次函数的性质是解本题的关键．底面积和侧面积的总和即为修水渠的总价，设矩形的边，，矩形的面积为，把用表示出来，根据二次函数的性质求出当过水横截面面积最大时关系，最后求出即可求得深度． 【详解】解：依题意，如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为元万元， 设矩形的边，，矩形的面积为，依题意，得 ， ， 当时，有最大值， 要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时， ，即， 水渠的深度为， 故答案为： 三、解答题 11．某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润． 【答案】售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件，每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式，再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：根据题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为：6250， 此时售价为：元， 答：当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元． 12．某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 13．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 14．如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)求出下边缘抛物线落地点B的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由平移的性质可得点B的坐标． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）知点 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为． 15．如图，中，．动点分别从两点同时出发，点沿边以的速度运动到点停止，点沿边匀速运动到点停止．点同时停止运动．设运动时间为．根据题意，完成下列解答． (1)点的速度为______． (2)设之间的距离为，则与满足______（选填“正比例”“一次”“二次”）函数关系． (3)连接，设的面积为，请用含的代数式表示，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)一次 (3)，6 【详解】（1）解：由题意得，点从运动到点用时 ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：由题意得，，则， ∴， ∴与满足一次函数关系， 故答案为：一次； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为． 能力提升 一、单选题 1．如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．取，求得x的值，取正值，即为小明将铅球推出的距离． 【详解】解：当时，， ， 或， ∴（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故选：C． 2．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 3．掷实心球是2025年体育中考的项目之一，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度(米)与飞行的水平距离(米)之间具有函数关系则小明这次实心球训练的成绩为(   ) A． B．12 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，求小明这次实心球训练的成绩，即求时的值． 【详解】解：令，即 解得：或（舍去） 故选：D． 4．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质是解题的关键．根据石块在空中飞行的最大高度为15米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为． 【详解】解：发射石块在空中飞行的最大高度为15米， 抛物线解析式为：， 将点代入，得， 解得：， 抛物线解析式为，， 故选A． 5．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：A． 6．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度的为（　　） A．32度 B．41度 C．58度 D．75度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，约为， ∴旋钮的旋转角度x在和之间，约为时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：B． 二、填空题 7．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 8．酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在 ． 【答案】30 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出二次函数的对称轴即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，值最大，即当温度保持在时，酶的活性最高，催化反应最快； 故答案为：30． 9．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，有最大值，最大值， ∴火箭”升空的最大高度为米， 故答案为：． 10．如图1是太原漪汾桥实物图，桥拱可以近似看作抛物线，图2是其示意图，以桥面OA所在的直线为x轴，桥墩OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、桥墩米，跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为4米．当桥拱上一点到直线的距离是15米时，则点到地面的距离是 ． 【答案】7.5米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，二次函数的解析式，解一元二次方程，根据条件解出二次函数的解析式是解题的关键． 根据题意得到抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，之后抛物线过，即可得到抛物线方程，当时，解得即可得到答案． 【详解】解：由题可知，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， 当时，， 点到地面的距离是米． 故答案为：米． 三、解答题 11．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是元，并规定每盒售价不得少于元，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当时，_______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当每盒售价定为元时，日销售利润（元）最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解数量关系，掌握二次函数求最值的计算方法是解题的． （1）每盒售价每提高元，日销售量减少盒，得到当时，提高了元，则减少了盒，由此即可求解； （2）根据题意可得提高了元，减少了盒，每盒的利润为元，日销量为盒，由此列式，根据二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当每盒售价定为元时，日销售量为盒，每盒售价每提高元，日销售量减少盒，设每盒售价为元，日销售量为盒 ∴当时，日销售量减少盒， ∴（盒）， 故答案为：； （2）解：设每盒售价为元，日销售量为盒， ∴提高了元，减少了盒， ∴每盒的利润为元，日销量为盒， ∴， ∵， ∴当时，日销售利润（元）有最大值，最大利润是． 12．食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． (1)若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； (2)求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； (3)当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)9600元 (2) (3)当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元； （2）解：由题意可得：每千克利润为：元， 销售数量为：千克， ∴； （3）解：， ∴当时（符合实际），W取得最大值9800， ∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元． 13．东东的爸爸是蔬菜种植能手，他计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，大棚顶端部分可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为3米，支撑杆米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装2根关于y轴对称的立柱，若两根立柱间的距离为6米，则需要的立柱总长度是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把当代入，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点， 米，棚宽米，则米， 可设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ， 解得：， ． （2）解：两根立柱间的距离为6米，且关于y轴对称， 立柱到y轴的距离为3米， 当时，， 单根立柱的长度为（米）， 需要的立柱总长度为（米）． 14．某商业集团准备购进A，两款打印机在甲、乙两个商场进行销售，两款打印机每台的利润如下表所示： 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十一，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲、乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数表达式； (2)若这100台打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． 【答案】(1)； (2)甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元． 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用： （1）设该集团调配给甲商场A款x台，则调配给乙商场A款台，调配给甲商场B款台，调配给乙商场B款台．根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）根据二次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，则调配给乙商场A款台，调配给甲商场B款台，调配给乙商场B款台．根据题意，得 ． 由题意，得， 解得． 所以． （2）解：因为， 所以y随x的增大而增大． 所以当时，y有最大值，最大值为（元）． 所以要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台． 15．如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4cm (2)当时，点Q与点C重合 (3)当时，，当时；；当时， 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质解答； 对于（2），当点Q与点C重合时，即，再求出，进而得出答案； 对于（3），分，，三种情况，再根据面积公式求出答案． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：； （2）点Q与点C重合时，即， 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）当时，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴； 当时， 根据题意可知，则， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时， 根据题意可知， ∴． $$