第14讲 二次函数的图像与性质（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第三章 函数 第14讲 二次函数的图像与性质（15~20分） （思维导图+4考点+2命题点 8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 考点四 二次函数与方程、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 ►题型02 由二次函数增减性求参数 ►题型03 二次函数规律性问题 ►题型04 二次函数综合性质 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 ►题型02 由二次函数图像解不等式 ►题型03 由二次函数性质解一元二次方程 ►题型04 由交点坐标求一元二次不等式解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2024省卷23题， 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【例1】．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【变式1-1】．（2023·山东济宁·三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】．（2022·山东淄博·模拟预测）用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 【例2】．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 【变式2-1】．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【变式2-2】．（2023·山东德州·二模）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 【例3】．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【变式3-3】．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【例4】．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式4-1】．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线，，．抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 【变式4-2】．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1-x2|= ） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 【例1】．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，函数有最小值2，则m的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式1-1】．（2023·山东德州·模拟预测）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式1-2】．（2023·山东济南·一模）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A． B． C．或 D．1或 【变式1-3】．（2023·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ►题型02 由二次函数增减性求参数 【例2】．（2023·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2023·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式2-3】．（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 故选：D． ►题型03 二次函数规律性问题 【例3】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． 【变式3-1】．（2022·山东泰安·一模）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则 ． 【变式3-2】．（2021·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(x-5)(0≤x≤5)的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数式表示)． 【变式3-3】．（2022·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． ►题型04 二次函数综合性质 【例4】．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 【变式4-1】（2022·山东枣庄·中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）    【变式4-2】．（2021·山东济宁·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论： ①； ②； ③； ④方程必有一个根大于且小于0． 其中正确的是 （只填序号）． 【变式4-3】．（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 【例1】．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 【变式1-1】．（2024·山东聊城·模拟预测）设二次函数的图象与一次函数图象交于点，若函数；的图象与轴仅有一个交点，则（       ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2023·山东德州·一模）已知二次函数的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． ►题型02 由二次函数图像解不等式 【例2】．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2022·山东济南·一模）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【变式2-2】．（2023·山东泰安·一模）如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是(    ) A．或 B．或 C． D． ►题型03 由二次函数性质解一元二次方程 【例3】．（2022·山东泰安·一模）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 【变式3-1】．（2022·山东青岛·二模）二次函数的部分对应值列表如下： x … 0 1 3 5 … y … 7 7 … 则一元二次方程的解为 ． 【变式3-2】．（2022·山东枣庄·二模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是 ． 【变式3-3】．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . ►题型04 由交点坐标求一元二次不等式解集 【例4】．（2022·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式4-1】．（2022·山东滨州·二模）已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为 ． 【变式4-2】．（2022·山东济宁·二模）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ． 【变式4-3】．（2023·山东枣庄·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 5．抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 二、填空题 7．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 8．抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ． 9．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 10．二次函数的图象经过点，则的值是 ． 11．已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． 三、解答题 12．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 13．已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 14．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴相交于B、C两点（C点在B点的右侧）． (1)判断点是否在抛物线上，并说明理由； (2)若点A到x轴的距离为5，求a的值； (3)若线段的长小于等于4，求a的取值范围． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　； （3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　． 能力提升 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 2．已知二次函数，若自变量x分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 5．将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：    ①；②；③；④，（的实数）其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是 ． 9．二次函数的最小值是 ． 10．二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 11．已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 12．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 三、解答题 13．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 14．如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 15．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． $$第三章 函数 第14讲 二次函数的图像与性质（15~20分） （思维导图+4考点+2命题点 8种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 考点四 二次函数与方程、不等式 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 ►题型02 由二次函数增减性求参数 ►题型03 二次函数规律性问题 ►题型04 二次函数综合性质 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 ►题型02 由二次函数图像解不等式 ►题型03 由二次函数性质解一元二次方程 ►题型04 由交点坐标求一元二次不等式解集 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2024省卷23题， 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【例1】．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值． 【详解】解：二次函数的解析式为：， ∴， ， 二次函数的图象经过原点， ， 或， ∵， ． 故选：B． 【变式1-1】．（2023·山东济宁·三模）以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误； B、由得到，是一次函数，故本选项错误； C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【变式1-2】．（2022·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：是二次函数，则且 由可得或， 由可得，， 综上 故答案为：C 【变式1-3】．（2022·山东淄博·模拟预测）用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（    ） A．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：， 即：， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选：D． 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 【例2】．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 先把点代入，求得，则，，根据二次函数的图象顶点在第三象限，则，解得，则，即可求解． 【详解】解：把点代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最小整数解是3． 故选：D． 【变式2-1】．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 【变式2-2】．（2023·山东德州·二模）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 【例3】．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 【变式3-1】．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【变式3-2】．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 【变式3-3】．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【例4】．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【变式4-1】．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线，，．抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、根据一元二次方程的根的情况求参数，利用待定系数法求得线段的解析式为，联立方程组可得可看作定抛物线与过定点的动直线有两个交点，画图可得动直线在直线、之间时，定抛物线与过定点的动直线有两个交点，当动直线过点时，求得，当动直线为直线时，定抛物线与过定点的动直线有一个交点，利用判别式列方程求解即可． 【详解】解：设线段的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴线段的解析式为， ∵抛物线与线段（包括A、B两点），有两个交点， 联立方程组得，，即， ∵该方程在时有两个根， ∴可看作定抛物线与过定点的动直线有两个交点， 令，得；令，得； ∴定抛物线过点、， 如图，动直线在直线、之间时，定抛物线与过定点的动直线有两个交点， 当动直线过点时，， 解得， 当动直线为直线时，定抛物线与过定点的动直线有一个交点， 则，即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选：B．    【变式4-2】．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象开口向上，与x轴的交点坐标为和，下列说法正确的是（　　） A． B．时，y的值随x值增大而减小 C．对称轴是直线 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可根据题意画出大致图象，根据图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：由题意可得二次函数的图象大致如图所示： A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点和，所以，因此选项A不符合题意； B．由二次函数的图象可知，当时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，因此选项C不符合题意； D．当时，，所以二次函数的图象过点，由图象可知，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式4-2】．（2024·山东济南·模拟预测）对于一个函数，如果自变量取时，函数值也等于，那么我们称为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，理解并掌握不动点的概念是解题的关键， 由函数的不动点概念得出是方程的两个实数根，由可得且当时，据此列不等式组求解即可. 【详解】解：由题意知是方程的两个实数根且， 整理得:， ∵有两个不相等的实数根且， ∴①， 令，画出该二次函数的草图如下:    ∵， ∴当时，即②， ①②联立解得：． 故选：A． 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1-x2|= ） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 【例1】．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，函数有最小值2，则m的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键．先确定抛物线的对称轴为直线，解答时，分，两种情形求解即可． 【详解】解：二次函数（m为常数，且） 抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴在范围内， 的最小值在对称轴处取得，即时， ，解得． 当时，抛物线开口向下，对称轴在范围内，则离对称轴越远的点的纵坐标越小， 的最小值在处取得， ，解得：． 的值是1或， 故选：D． 【变式1-1】．（2023·山东德州·模拟预测）已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键． 分三种情况：当时，即时，当时，函数有最小值；当时，即时，当时，函数有最小值；当时，即时，当时，函数有最小值；分别求解即可． 【详解】解：∵， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：； 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：（舍去）， 综上，当时，函数有最小值，b的值为或． 故选：A． 【变式1-2】．（2023·山东济南·一模）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4， 则a的值为（　　） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和两种情况，分别求出y的最大值和最小值，即可求解． 【详解】解：当时， ∵对称轴为， 当时，y有最小值为2，当时，y有最大值为， ∴． ∴， 当时，同理可得：y有最大值为2； y有最小值为， ∴， ∴． 综上，a的值为． 故选：B． 【变式1-3】．（2023·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键． 解二次函数与直线的方程，由得，方程的根为，从而求出，所以函数解析式为，根据函数解析式求得顶点坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围． 【详解】解：令，即， 由题意，，即， 又方程的根为， 解得， 故函数是 ∴函数图象开口向下，顶点为， 与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过， 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 且当时，函数的最小值为，最大值为， ∴， 故选：C． ． ►题型02 由二次函数增减性求参数 【例2】．（2023·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵， ∵， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 【变式2-1】．（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数最值问题，以及不等式性质，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．由时，y随x的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，，时，；根据，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，即，， ，总满足，， ， 当时，， 当时，． ， ， 解得，， ． 故选：B． 【变式2-2】．（2023·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】由二次函数解析式求出对称轴，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的的取值范围，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ①当时，抛物线开口向上， ∵时，y随x的增大而减小， ∴，即． 解得， ∴， ∵， ∴． ②当时，抛物线开口向下， ∵时，y随x的增大而减小， ∴，即， 解得， ∴， ∵， 当时，有最大值， ∵， ∴此情况不存在． 综上所述，最大值为8． 故选C． 【变式2-3】．（2023·山东济南·一模）已知二次函数的表达式为，将其图象向右平移个单位，得到二次函数的图象，使得当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小．则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求． 【详解】∵把向右平移个单位，得到二次函数的图象， ∴ ∴新图象的对称轴为直线， ∵当时，随x增大而增大；当时，随x增大而减小，且抛物线开口向下， ∴， 解得， 故选：D． ►题型03 二次函数规律性问题 【例3】．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-1】．（2022·山东泰安·一模）抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上，点B1，B2，B3，B4.．．，B2022在y轴的正半轴上，、、…、都是等腰直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为x，表示出点A1的坐标，代入二次函数的解析式，求出x；设第二个等腰直角三角形的直角边长为m，表示出A2的坐标，代入二次函数的解析式，求出m，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边． 【详解】解：设A1B1=x， ∵△OA1B1 是等腰直角三角形， ∴OB1=x， 则A1的坐标为（x，x），代入二次函数y=x2+x， 得x=x2+x， 解得x=1或x=0（舍）， 设A2B2=m， ∵△B1A2B2腰是等腰直角三角形， ∴B1B2=m， ∴A2的坐标为（m，1+m）， 代入二次函数y=x2+x， 得m2+m＝1+m， 解得m=2或m=-1（舍）， 同理可求出A3B3=3， A4B4=4， ∴B2022A2022=2022，根据勾股定理， 得B2021A2022=， 故答案为：． 【变式3-2】．（2021·山东青岛·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(x-5)(0≤x≤5)的图象记作y1，它与x轴的交于点O，x1，将y1绕x1旋转180°得到y2，y2与x轴相交于点x1，x2，将y2绕点x2旋转180°得到y3，y3与x轴相交于x2，x3；…，按照这个规律在x轴上依次得到点x1，x2，x3，…，xn，以及抛物线y1，y2，y3，…，yn，则点x6的坐标为 ；yn的顶点坐标为 (n为正整数，用含n的代数式表示)． 【答案】 (30,0) 【分析】图象进行一次旋转，横坐标向右移动5个单位长度，顶点纵坐标当n为奇数时为负，当n为偶数时为正，绝对值不变，顶点横坐标加5． 【详解】解：令y=0，代入抛物线得：0=x(x-5)， 解得x=0或x=5， ∴x1坐标(5,0)，x2坐标(10,0)，x3坐标(15,0)，…， 故xn坐标(5n，0)， 当n=6时，x6坐标为(30,0)， 抛物线， ∴顶点y1坐标，顶点y2坐标，顶点y2坐标，…， 故顶点yn坐标． 故答案为：(30,0)，． 【变式3-3】．（2022·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据A（-3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式中，可求纵坐标． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，（k≠0）， ∵A（-3，0），B（0，1）， ， 解得， ∴直线AB的解析式为； ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55， 当x=55时， ∴抛物线C8的顶点坐标为 故答案为： ►题型04 二次函数综合性质 【例4】．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①③ 【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可得，，，又， ． ． ①正确． 由题意，令， ． 又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2， 的两根之和为，两根之积为． ，． ． 又， ． ． ②错误，③正确． ，， ． ④错误． 故答案为：①③． 【变式4-1】（2022·山东枣庄·中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）    【答案】①②③ 【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0），可判断⑤． 【详解】∵抛物线对称轴在y轴的左侧， ∴ab＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0，①正确； ∵抛物线经过（1，0）， ∴a+b+c＝0，②正确． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴另一个交点为（﹣3，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确； ∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下， ∴y2＞y1＞y3，④错误． ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵＝﹣1， ∴b＝2a， ∴3a+c＝0，⑤错误． 故答案为：①②③． 【变式4-2】．（2021·山东济宁·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论： ①； ②； ③； ④方程必有一个根大于且小于0． 其中正确的是 （只填序号）． 【答案】①②④． 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立． 【详解】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0， 则abc＜0，故①正确； ∵-=1， ∴b=-2a， ∴2a+b=0，故②正确； ∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1， ∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确； ∴当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴y=a+2a+c＜0， ∴3a+c＜0，故③错误； 故答案为：①②④． 【变式4-3】．（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）． 【答案】②④ 【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴﹣=1，即b=﹣2a＞0 ∴abc＜0，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由得， 根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点， ∴有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④． 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 【例1】．（2022·山东潍坊·中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 【变式1-1】．（2024·山东聊城·模拟预测）设二次函数的图象与一次函数图象交于点，若函数；的图象与轴仅有一个交点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题．首先根据一次函数的图象经过点，可得，；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再结合对称轴公式求解． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 当时，，， 当时，， 与轴仅有一个交点， 的图象与轴的交点为， ， 化简得：，即， 故选：B． 【变式1-2】．（2023·山东德州·一模）已知二次函数的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，以及函数平移规律，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先求得抛物线与x轴的两个交点横坐标，再结合二次函数的图象向上平移m个单位后与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，得到平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，，利用两点式得到平移后的解析式，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：当时，解得，， 二次函数与x轴的两个交点横坐标为，， 且， 二次函数的图象向上平移m个单位后与x轴有两个交点， 且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 每相邻两点间的距离为； 平移后的解析式与x轴有两个交点其横坐标分别为，， 平移后的解析式为， 即， 解得， 故选：C． 【变式1-3】．（2022·山东淄博·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识．画出图象，找到该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点的边界，利用与交点位置可得的取值范围． 【详解】解：抛物线化为顶点式为：， ∴函数的对称轴：， ∴和两点关于对称， 根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，这些整点是，，，，， 如图所示：      ∵当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B． ►题型02 由二次函数图像解不等式 【例2】．（2023·山东济宁·一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围． 故选C． 【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． 【变式2-1】．（2022·山东济南·一模）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为(   ) A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3 【答案】C 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方， ∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1， 即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1． 故选：C． 【变式2-2】．（2023·山东泰安·一模）如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，． 故选：C． ►题型03 由二次函数性质解一元二次方程 【例3】．（2022·山东泰安·一模）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 【答案】或 【分析】由二次函数的部分图象过，对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而可得方程的根是或1，即可得方程的根满足或1，故方程的根是或． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴方程的根是或1， ∴方程的根满足或1， ∴方程的根是或． 故答案为：或． 【变式3-1】．（2022·山东青岛·二模）二次函数的部分对应值列表如下： x … 0 1 3 5 … y … 7 7 … 则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】利用时，；时，得到二方程一元二次方程的两根为，由于把一元二次方程可看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可． 【详解】解：对于二次函数， ∵时，；时，， 即方程一元二次方程的两根为， 把一元二次方程看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得． 故答案为：． 【变式3-2】．（2022·山东枣庄·二模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是 ． 【答案】，/， 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是 ∴， 解得：， ∴方程的解是：，， 故答案为：，．． 【变式3-3】．（2022·山东泰安·中考真题）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . 【答案】， 【分析】首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可. 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为，. ►题型04 由交点坐标求一元二次不等式解集 【例4】．（2022·山东青岛·二模）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或或 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【详解】解：分两种情况： 当时，当或时，直线在抛物线的下方， 关于的不等式的解集是或； 当时，当时，直线在抛物线的下方， 关于的不等式的解集是； 综上，关于的不等式的解集是或或， 故答案为：或或． 【变式4-1】．（2022·山东滨州·二模）已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值范围就是不等式的解集． 【详解】可整理为 ∵二次函数与一次函数图像交于，两点，如图， ∴关于的不等式的解集为：， 故答案为：． 【变式4-2】．（2022·山东济宁·二模）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ． 【答案】-2＜x＜1 【分析】作直线y=mx+n关于y轴的对称直线CD：y=-mx+n，点C、D是两个函数图象的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（-2，q），观察图象即可求解． 【详解】解：作直线y=mx+n关于y轴的对称直线CD：y=-mx+n， 点C、D是两个函数图象的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（-2，q）， 由图象可以看出，ax2+c＞n-mx的解集即不等式的解集为：-2＜x＜1， 故答案为：-2＜x＜1． 【变式4-3】．（2023·山东枣庄·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据A、B两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ，即可得出 ax2−mx+c<n 的解集． 【详解】∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上， ∴ −1<x<3 时， ax2+c<mx+n ， ∴ ax2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ． 故答案为： −1<x<3 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得到的新抛物线的解析式为：； 故选A． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键．直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数平移规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为， 故选：C． 4．已知点，，在下列某一函数图像上．且那么这个函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，利用函数的增减性逐一判断，即可求解；掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解题的关键. 【详解】解：A.在上时，，故不符合题意； B.在上时，，故不符合题意； C.在上时，，故不符合题意； D.在上时，，故符合题意； 故选：D． 5．抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 6．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点 ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 8．抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是：； 故答案为：． 9．如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 10．二次函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．把代入得到，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 11．已知二次函数（，），当时，随的增大而增大，下列结论：当时，随的增大而减小；若图象经过点，则；若，是函数图象上的两点，则；若图象上两点，对一切正数n，总有，则其中结论正确的是 填序号． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数（为非零常数，）， ∴当时，，，． 又∵当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故正确； 又∵对称轴为直线，， ∴， 若，是函数图象上的两点，离对称轴近些， 又∵抛物线开口向下， 则，故正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ∴， 解得，故正确； ∵二次函数（为非零常数，），当时，随的增大而增大， ∴． 若图象经过点，则，得． ∵，， ∴，故错误； ∴正确，错误， 故答案为：． 三、解答题 12．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 13．已知，抛物线． (1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．    (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 图象如图所示：    （2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 可得： 即： 【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键． 14．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴相交于B、C两点（C点在B点的右侧）． (1)判断点是否在抛物线上，并说明理由； (2)若点A到x轴的距离为5，求a的值； (3)若线段的长小于等于4，求a的取值范围． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的解析式，计算当时，，即可判断点在抛物上； （2）将抛物线的解析式化成顶点式，根据题意，即可得到关于a的方程，解方程即可求出答案； （3）由题意求出用a表示的点B、C的坐标及的长，再根据已知条件求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ∵当时，， ∴点在抛物线上． （2）解：， 又∵点A到x轴的距离为5， ∴当时，，解之得， 当时，，解之得， 或． （3）解：， ∴当时，即，整理得：， ， ， 当即或时，， ， 、， ， 若线段的长小于等于4，则， ， 若，则不等式一定成立； 若，则， ， ， ， ， 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质、函数与方程的关系及解一元二次方程是解决问题的关键． 15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）． （1）求二次函数的解析式； （2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为　 　； （3）方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，m的取值范围为　 　． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）m≥﹣4． 【分析】（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c解方程组即可得到结论； （2）根据图象即可得到结论； （3）设y＝ax2+bx+c和y＝m，方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，即二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出m的取值范围． 【详解】解：（1）把（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）由函数图象可知抛物线和x轴的两个交点横坐标为﹣1，3， 所以不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3； （3）设y＝ax2+bx+c和y＝m， 方程ax2+bx+c＝m有两个实数根，则二次函数图象与直线y＝m有两个交点或一个交点， 即有两个实数根， ∴，即， 解得m≥﹣4． 能力提升 一、单选题 1．二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的图象与x轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的图象与x轴的交点坐标是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0，可令，解方程，方程的解即为所求答案． 【详解】解：令，则， 解方程，得，， 所以二次函数的图象与x轴交点的横坐标是1和2． 故选：A． 2．已知二次函数，若自变量x分别取，且，则对应的函数值的大小关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据与对称轴的大小关系，判断的大小关系即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴此函数的对称轴为直线，开口向下， ∵，三点都在对称轴右侧， ∴对称轴右侧随的增大而减小， ， 故选：A． 3．已知二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3，其与轴的其中一个交点的横坐标满足，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据题意，得到直线与抛物线的交点坐标，代入二次函数解析式，得到，根据其与x轴的另一个交点的横坐标t满足，得到不等式组，得到结果． 【详解】解：∵二次函数与直线的交点横坐标分别是1和3， ∴当时，，当时，， ∴点，在抛物线上， ∵二次函数， ∴把，代入函数表达式， 得， 得，， ∴， ∵与x轴的其中一个交点的横坐标t满足， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 5．将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组一元二次方程的问题解决．先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则，则可求出的取值． 【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：， 则， 消去得到， 整理得， ， ， 故选：D． 6．二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：    ①；②；③；④，（的实数）其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a，由对称轴在y轴的左边还是右边判断b，由抛物线与y轴的交点判断c，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断， 【详解】解∵抛物线的开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴的交于正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ②二次函数的图象与x轴的一个交点在的右边，对称轴为，图象开口方向向下， ∴二次函数的图象与x轴的一个交点在2的右边， ∴当时， 即，故②正确； ∵二次函数的图象与x轴的交点在的右边，图象开口方向向下， ∴当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题 7．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移，顶点坐标．由题意知，平移后的抛物线解析式为，然后求顶点坐标即可． 【详解】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象关于y轴对称，其顶点在原点O，且过点，则该二次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值． 【详解】解：， 时，有最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 10．二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 有如下结论： ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式. 利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断. 【详解】∵抛物线经过点， ∴设抛物线的解析式为 把代入得 解得 ∴抛物线解析式为即 ， ∴抛物线开口向上，所以①正确； 抛物线的对称轴是直线 所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为所以③错误； ∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上， ∴当时， ， 的解集是所以④正确. 故答案为： ①②④. 11．已知二次函数的图象的顶点在x轴上时，则实数k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题．熟练掌握抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系，是解题的关键．抛物线与x轴交点个数与根判别式的关系：抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有没有交点． 根据抛物线与x轴有一个交点，根的判别式等于0的性质解答即可． 【详解】二次函数的图象的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴交点、图象上点的坐标、三角形的面积，先求出，进而可得，即得，得到，再根据即可得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，， ， 轴交抛物线于点， ， 令， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 14．如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． (1)求二次函数的解析式． (2)平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解∶当时， 即，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）由题意可知， ， ∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即，解得或，均不符合题意，舍去； 当，时函数取得最大值， 即，解得，符合题意． 综上所述，的值为． 15．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一动点，直线交轴于点，直线交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点的坐标为，分别求出直线，的解析式，再求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和， ， 解得：， 抛物线的解析式为 （2）解：根据题意，设点的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ，    解得， 即直线的解析式为：， 令，，               ，         同理可求出直线的解析式为：， 令，，      根据题意可知：若，则、、、四点重合，不符合题意，故 ． $$