黄金卷02（广州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州卷专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　） A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104 4．下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝2x6 B．x2•x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 7．地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　） A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58 8．某商户以每件6元的价格购进若干件饰品，销售一部分饰品后，为增加销售量，该商户决定降价促销，销售过程中总利润y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，根据图象，降价后每件饰品的售价为（　　） A．13元 B．14元 C．20元 D．25元 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝3，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．一个正n边形的一个外角是45o，那么n＝　 　． 12．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　． 13．（洞孔成像）如图，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方体的面与平面A′B′AB垂直，根据图中尺寸，已知物像A′B′的长为4，那么物AB长为 　 　． 14．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于点A、B，点C在⊙O2上，已知∠AO1B＝92°，则∠ACB等于 　 　°． 15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中EF的长为 　． 16．如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　 　． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）解方程组：． 18．（4分）如图，点E，F在线段BC上（点E在点F左侧），BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D． 19．（6分）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm． （1）起飞区的边AB的长为 　 　m（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为120m2，求原正方形空地的边长． 20．（6分）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，AD⊥CD，∠A＝60°，∠B＝83.2°，BC＝6米，CD＝1.2米，求该标牌的高AD．（精确到0.1米，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，tan53.2°≈1.34，1.73） 21．（8分）某市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题： （1）求这次被抽查的样本容量是多少？ （2）扇形统计图中，“B组”所对应的圆心角的度数为 　 　，直接补全条形统计图； （3）已知该中学共有学生1500人，若有剩饭的学生按平均每人剩20克米饭计算，请估计这日午饭将浪费多少千克米饭？ 22．（10分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点C在y轴上，点A坐标为（4，3），反比例函数（k≠0）的图象经过点B． （1）求k的值和直线AC的解析式； （2）将直线AC沿y轴平移m个单位，当直线AC与反比例函数（k≠0）的图象只有一个交点时，求m的值． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 24．（12分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+4x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣4）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 25．（12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州卷专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在﹣1，0，，2这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正实数一定大于负实数和零可得答案． 【解析】解：∵正实数一定大于负实数和零， ∴在﹣1，0，，2中，最大的数是2， 故选：D． 2．如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【解析】解：从左面看，可得选项C的图形． 故选：C． 3．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　） A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：100800＝1.008×105． 故选：C． 4．下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝2x6 B．x2•x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3 【答案】C 【分析】选项A，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可； 选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断即可； 选项D、积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此判断即可． 【解析】解：A、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意； B、x2•x3＝x5，故本选项不合题意； C、x6÷x3＝x3，故本选项符合题意； D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故本选项不合题意； 故选：C． 5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后利用锐角三角函数定义的定义逐项判断即可． 【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC， sinB，则A符合题意； cosB，则B不符合题意； cotB，则C不符合题意； tanB，则D不符合题意； 故选：A． 6．在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【答案】A 【分析】求出抛物线的开口向上，对称轴为y轴，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【解析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴x＞0时，y随x的增大而增大， ∵点都在抛物线上，且， ∴a＜b＜c． 故选：A． 7．地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据： 抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000 圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440 圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440 由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　） A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58 【答案】B 【分析】根据频率估计概率即可． 【解析】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在0.44左右， ∴可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为0.44． 故选：B． 8．某商户以每件6元的价格购进若干件饰品，销售一部分饰品后，为增加销售量，该商户决定降价促销，销售过程中总利润y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，根据图象，降价后每件饰品的售价为（　　） A．13元 B．14元 C．20元 D．25元 【答案】A 【分析】由图象可知20件总利润为160元，100件的总利润为720元，所以降价后买了100﹣20＝80件，总利润为720﹣160＝560元，即可求解． 【解析】解：∵由图象可知20件总利润为160元，100件的总利润为720元， ∴降价后卖了100﹣20＝80件，降价后的总利润为720﹣160＝560元， ∴降价后每件商品销售的价格为560÷80+6＝13元． 故选：A． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°，BC＝3，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF交AB于点M，交AC于点N，连接BN，则AN的长为（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本作图的MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，则∠NBA＝∠CAB＝30°，所以∠CNB＝60°，再计算出∠CBN＝45°，过C点作CH⊥BN于H点，如图，利用等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到NH，然后计算BH+NH即可． 【解析】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴NA＝NB， ∴∠NBA＝∠CAB＝30°， ∴∠CNB＝∠A+∠NBA＝60°， ∵AB＝AC，∠CAB＝30°， ∴∠ABC（180°﹣30°）＝75°， ∴∠CBN＝∠ABC﹣∠NBA＝75°﹣30°＝45°， 过C点作CH⊥BN于H点，如图， ∴BH＝CHBC33， ∴NHCH， ∴BN＝BH+NH＝3， 又∵AN＝BN， ∴AN＝3． 故选：B． 10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解． 【解析】解：①当点P在AB上运动时， yAH×PHAPsinA×APcosAx2x2，图象为二次函数； ②当点P在BC上运动时，如图， 由①知，BH′＝ABsinA＝42，同理AH′＝2， 则yAH×PH（2x﹣4）×2＝24+x，为一次函数； ③当点P在CD上运动时， 同理可得：y（26）×（4+6+2﹣x）＝（3）（12﹣x），为一次函数； 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．一个正n边形的一个外角是45o，那么n＝　 　． 【答案】8 【分析】由正n边形的一个外角是45°，n边形的外角和为360°，即可求得n的值． 【解析】解：∵正n边形的一个外角是45°，n边形的外角和为360°， ∴n＝360÷45＝8． 故答案为：8． 12．已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　． 【答案】2028 【分析】将x＝a代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【解析】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则a2+2a+2025＝3+2025＝2028． 故答案为：2028． 13．（洞孔成像）如图，AB∥A′B′，物像A′B′所在正方体的面与平面A′B′AB垂直，根据图中尺寸，已知物像A′B′的长为4，那么物AB长为 　 　． 【答案】12 【分析】先过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A′B′于点C′，依题意得OC＝15，OC′＝5，证明△OAB∽△OA′B′，再根据相似三角形的性质求解即可． 【解析】解：过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A′B′于点C′，如图， 依题意得：OC＝15，OC′＝5， ∵AB∥A′B′，OC⊥AB， ∴OC⊥A′B′， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴，即， 解得：AB＝12， 故答案为：12． 14．如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于点A、B，点C在⊙O2上，已知∠AO1B＝92°，则∠ACB等于 　 　°． 【答案】46 【分析】根据等圆的性质以及圆心角定理，得出∠AO1B＝∠AO2B＝92°，再利用圆周角定理得出答案． 【解析】解：连接AO2，BO2， ∵两个等圆⊙O1和⊙O2相交于点A、B，点C在⊙O2上， ∴， ∴∠AO1B＝∠AO2B＝92°， ∴∠ACB等于46°． 故答案为：46． 15．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具（如图1），小明用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“企鹅”的图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中EF的长为　 　． 【答案】 【分析】根据题意对应上图1和图2中七巧板，过点E作EH⊥FG交FG的延长线于点H，算出EH＝HG＝1，HF＝5，再根据勾股定理即可求解． 【解析】解：如图，∵正方形ABCD的边长为4， ∴GF＝AB＝4，MG＝MF，∠MGF＝45°，∠EGM＝90°， 过点E作EH⊥FG交FG的延长线于点H， 则∠EGH＝∠GEH＝45°， ∴， ∴HF＝1+4＝5， ∴， 故答案为：． 16．如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　 　． 【答案】﹣10 【分析】设，则．设C（0，y1），则OC＝﹣y1，求出x1y1＝﹣50，根据BD＝3CD，求出，再根据直线BC 的斜率即可求得结果． 【解析】解：设，则． 设C（0，y1），则OC＝﹣y1， ， ∴x1y1＝﹣50， ∴， ∴， 变形得3x1y1＝15k． 又∵x1y1＝﹣50， ∴k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（4分）解方程组：． 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】解：， ①﹣②得：4y＝4，即y＝1， 将y＝1代入①得：x＝3， 则方程组的解为． 18．（4分）如图，点E，F在线段BC上（点E在点F左侧），BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D． 【分析】可通过全等三角形的判定定理证△ABF≌△DCE，再利用全等三角形的性质来得出∠A＝∠D的结论． 【解析】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 19．（6分）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm． （1）起飞区的边AB的长为 　（x﹣4）　m（用含x的代数式表示）； （2）若起飞区的面积为120m2，求原正方形空地的边长． 【分析】（1）根据题意，列出AB的代数式即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【解析】解：（1）根据题意，起飞区的边AB的长为（x﹣4）m， 故答案为：（x﹣4）； （2）根据题意可得：（x﹣2）（x﹣4）＝120，即x2﹣6x﹣112＝0， 解得：x＝14，x＝﹣8（舍去）． 答：原正方形空地的边长为14m． 20．（6分）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分抽象为图2，AD⊥CD，∠A＝60°，∠B＝83.2°，BC＝6米，CD＝1.2米，求该标牌的高AD．（精确到0.1米，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，tan53.2°≈1.34，1.73） 【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，根据垂直定义可得∠AEB＝∠CFB＝90°，再根据题意可得：EF＝CD＝1.2米，CF＝DE，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，从而可得∠CBE＝53.2°，最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和CF的长，从而求出BE的长，再在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解析】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F， ∴∠AEB＝∠CFB＝90°， 由题意得：EF＝CD＝1.2米，CF＝DE， ∵∠A＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝30°， ∵∠ABC＝83.2°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝53.2°， 在Rt△BCF中，BC＝6米， ∴CF＝BC•sin53.2°≈6×0.8＝4.8（米）， BF＝BC•cos53.2°≈6×0.6＝3.6（米）， ∴CF＝DE＝4.8米，BE＝BF+EF＝3.6+1.2＝4.8（米）， 在Rt△ABE中，AE1.6（米）， ∴AD＝AE+DE＝1.64.8≈7.6（米）， ∴该标牌的高AD约为7.6米． 21．（8分）某市某中学开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动，为了解学生的参与情况，小明在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查．将调查内容分为四组：A．饭和菜全部吃完；B．有剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，回答下列问题： （1）求这次被抽查的样本容量是多少？ （2）扇形统计图中，“B组”所对应的圆心角的度数为 　72°　，直接补全条形统计图； （3）已知该中学共有学生1500人，若有剩饭的学生按平均每人剩20克米饭计算，请估计这日午饭将浪费多少千克米饭？ 【分析】（1）用A组人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （2）求出B组所占的百分比，再乘以360°即可得出“B组”所对应的圆心角的度数；用调查的总人数乘以C组所占的百分比得出C组的人数，进而补全条形统计图； （3）用总人数乘以午饭有剩饭的学生人数所占的百分比求出这日午饭有剩饭的学生人数，再乘以平均每人剩米饭的克数即可得出午饭浪费的总克数． 【解析】解：（1）这次被抽查的学生数是：72÷60%＝120（人）， ∴这次被抽查的样本容量是120； （2）“B组”所对应的圆心角的度数为：360°72°． C组的人数为：120×10%＝12（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：72°； （3）这日午饭有剩饭的学生人数为：1500450（人）， 450×20＝9000（克）＝9（千克）， 答：估计这日午饭将浪费了9千克米饭． 22．（10分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点C在y轴上，点A坐标为（4，3），反比例函数（k≠0）的图象经过点B． （1）求k的值和直线AC的解析式； （2）将直线AC沿y轴平移m个单位，当直线AC与反比例函数（k≠0）的图象只有一个交点时，求m的值． 【分析】（1）利用勾股定理求得OA＝5，利用菱形的性质得出B（4，8），C（0，5），然后利用待定系数法求得k以及直线AC的解析式； （2）设平移后的直线AC的解析式为y，由得x2﹣（10+2m）x+64＝0，根据根的判别式得到[﹣（10+2m）]2﹣4×1×64＝0，解关于m的方程即可求得m的值． 【解析】解：（1）∵点A坐标为（4，3）， ∴OA5， ∵菱形OABC中，AB∥OC，AB＝OC＝5， ∴B（4，8），C（0，5）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点B， ∴k＝4×8＝32， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， 把A、C的坐标代入得，解得， ∴直线AC的解析式为yx+5； （2）设平移后的直线AC的解析式为y， 由得x2﹣（10+2m）x+64＝0， 当直线AC与反比例函数（k≠0）的图象只有一个交点时， Δ＝0，即[﹣（10+2m）]2﹣4×1×64＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣13． 故m的值为3或﹣13． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答； （2）连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵DE⊥CB， ∴∠E＝90°， ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BE， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵∠ABC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BCAB＝2，∠BOC＝60°， 在Rt△OBF中，OF＝OB•sin60°＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积 BC•OF 2 ， ∴图中阴影部分的面积为． 24．（12分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　③　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+4x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣4）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； （2）在y中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案； （3）设M（0，m），m＜﹣4，求出抛物线y＝x2+4x的顶点为（﹣2，﹣4），而点（﹣2，﹣4）关于M（0，m）的对称点为（2，2m+4），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2m+4＝﹣x2+4x+2m，令y＝﹣x得x2﹣5x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣5x﹣2m＝0有两个相等实数根，故25+8m＝0，m，从而得M的坐标． 【解析】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③； （2）在y（x＞0）中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0； （3）设M（0，m），m＜﹣4， ∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴抛物线y＝x2+4x的顶点为（﹣2，﹣4）， ∵点（﹣2，﹣4）关于M（0，m）的对称点为（2，2m+4）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2m+4＝﹣x2+4x+2m， 在y＝﹣x2+4x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+4x+2m， ∴x2﹣5x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣5x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即25+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 25．（12分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． 【分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论； （2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论； （3）方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，求出AG＝6，AD＝12，证明△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，可得出答案； 方法二：证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQP＝∠PAE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案． 【解析】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形， ∴AE＝AG，∠EAG＝90°， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG， 理由如下： ∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG； （3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M， 过点G作GN⊥AB交AB于点N， 由题意知，AE＝4，AB＝8， ∵， ∴AG＝6，AD＝12， ∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN， ∴△AME∽△ANG， 设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b， ∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2， GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2， ∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260． 方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P， ∵，AE＝4，AB＝8 ∴AG＝6，AD＝12． ∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵， ∴△EAB∽△GAD， ∴∠BEA＝∠AGD， ∴A，E，G，Q四点共圆， ∴∠GQP＝∠PAE＝90°， ∴GD⊥EB， 连接EG，BD， ∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2， ∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广州卷专用） 黄金卷02 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A A B A B D 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11． 8 12． 2028 13． 12 14． 46 15． 16．﹣10 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．解：， ①﹣②得：4y＝4，即y＝1，·····2分 将y＝1代入①得：x＝3，·····3分 则方程组的解为．·····4分 18．证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D．·····4分 19．（1）答案为：（x﹣4）；·····2分 （2）根据题意可得：（x﹣2）（x﹣4）＝120，即x2﹣6x﹣112＝0， 解得：x＝14，x＝﹣8（舍去）． 答：原正方形空地的边长为14m．·····6分 20．解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点C作CF⊥BE，垂足为F，·····1分 ∴∠AEB＝∠CFB＝90°， 由题意得：EF＝CD＝1.2米，CF＝DE， ∵∠A＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝30°， ∵∠ABC＝83.2°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝53.2°，·····3分 在Rt△BCF中，BC＝6米， ∴CF＝BC•sin53.2°≈6×0.8＝4.8（米）， BF＝BC•cos53.2°≈6×0.6＝3.6（米）， ∴CF＝DE＝4.8米，BE＝BF+EF＝3.6+1.2＝4.8（米）， 在Rt△ABE中，AE1.6（米）， ∴AD＝AE+DE＝1.64.8≈7.6（米）， ∴该标牌的高AD约为7.6米．·····6分 21．解：（1）这次被抽查的学生数是：72÷60%＝120（人）， ∴这次被抽查的样本容量是120；·····2分 （2）“B组”所对应的圆心角的度数为：360°72°． C组的人数为：120×10%＝12（人）， 补全条形统计图如下：·····4分 故答案为：72°；·····5分 （3）这日午饭有剩饭的学生人数为：1500450（人）， 450×20＝9000（克）＝9（千克）， 答：估计这日午饭将浪费了9千克米饭．·····8分 22．解：（1）∵点A坐标为（4，3）， ∴OA5， ∵菱形OABC中，AB∥OC，AB＝OC＝5， ∴B（4，8），C（0，5）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点B， ∴k＝4×8＝32， 设直线AC的解析式为y＝ax+b， 把A、C的坐标代入得，解得， ∴直线AC的解析式为yx+5；·····6分 （2）设平移后的直线AC的解析式为y， 由得x2﹣（10+2m）x+64＝0， 当直线AC与反比例函数（k≠0）的图象只有一个交点时， Δ＝0，即[﹣（10+2m）]2﹣4×1×64＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣13． 故m的值为3或﹣13．·····10分 23．（1）证明：连接OD， ∵DE⊥CB， ∴∠E＝90°， ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BE， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；·····5分 （2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵∠ABC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BCAB＝2，∠BOC＝60°， 在Rt△OBF中，OF＝OB•sin60°＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积 BC•OF 2 ， ∴图中阴影部分的面积为．·····10分 24．（1）答案为：③；·····2分 （2）在y（x＞0）中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0；·····7分 （3）设M（0，m），m＜﹣4， ∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴抛物线y＝x2+4x的顶点为（﹣2，﹣4）， ∵点（﹣2，﹣4）关于M（0，m）的对称点为（2，2m+4）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2m+4＝﹣x2+4x+2m， 在y＝﹣x2+4x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+4x+2m， ∴x2﹣5x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣5x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即25+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）．·····12分 25．（1）证明：∵四边形AEFG为正方形， ∴AE＝AG，∠EAG＝90°， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG；·····3分 （2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG， 理由如下： ∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG；·····6分 （3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M， 过点G作GN⊥AB交AB于点N， 由题意知，AE＝4，AB＝8， ∵， ∴AG＝6，AD＝12， ∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN， ∴△AME∽△ANG， 设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b， ∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2， GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2， ∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．·····12分 方法二：如图2，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P， ∵，AE＝4，AB＝8 ∴AG＝6，AD＝12． ∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形， ∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵， ∴△EAB∽△GAD， ∴∠BEA＝∠AGD， ∴A，E，G，Q四点共圆， ∴∠GQP＝∠PAE＝90°， ∴GD⊥EB， 连接EG，BD， ∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2， ∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$