精品解析：山东省聊城市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则集合中所含元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“所有的素数都不能被2整除”的否定为（ ） A. 所有的素数都能被2整除 B. 所有的合数都不能被2整除 C. 存在一个素数能被2整除 D. 存在一个素数不能被2整除 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 3 5. 已知函数则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（ ） A B. C. D. 7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的最小值为2，则在上的（ ） A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. ，使 D. 在上单调递增 11 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，若这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，则的解析式可以为______．（写出一个满足条件的的解析式即可） 13. 已知为第三象限角，且，则值为______． 14. 已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数是定义域为的偶函数，且时，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． （1）若，求的值； （2）若，且，求值． 18. 已知某车厘子收购市场在过去的30天内对车厘子的日收购量（单位：百斤）与第天之间的函数关系为①；②；③这三种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 6 10 22 28 （百斤） 46 50 58 52 （1）请确定的解析式，并说明理由； （2）若第天平均每斤车厘子的收购价格为（单位：元），且（，且），记过去30天内第天该市场收购车厘子的资金总额为（单位：百元），求的最小值． 19. 已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． （1）设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； （2）若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； （3）若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量抽测 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则集合中所含元素的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 2. 命题“所有的素数都不能被2整除”的否定为（ ） A. 所有的素数都能被2整除 B. 所有的合数都不能被2整除 C. 存在一个素数能被2整除 D. 存在一个素数不能被2整除 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题求解. 【详解】命题“所有的素数都不能被2整除”的否定为： 存在一个素数能被2整除. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的互换及其性质即可求得结果. 【详解】因为，所以，则， 故, 故选:B 4. 若扇形的圆心角为，弧长为2，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长面积公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的半径为， 所以扇形的面积为. 故选：C 5. 已知函数则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得. 【详解】根据题意，当时，， 所以“”是“”的充分条件， 反之，若，即或， 解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：定义域为，不满足函数的特性：任意性，故A错误； 对于选项B：值域为，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选项B错误； 对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误； 对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确； 故选：D 7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 8. 已知函数在上的最小值为2，则在上的（ ） A. 最小值为2 B. 最大值为 C. 最小值为6 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】整理函数解析式后令，验证得到函数为奇函数，由对称性得到在的最大值，然后得到在上的最大值. 【详解】， 令， ∵，即为奇函数， 当时，，∴， ∴当时，， ∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数值与诱导公式逐一判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. ，使 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用对数运算可知，，且，，进而计算，结合对数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】根据题意，， ， 对于A，，A正确； 对于B，， 因为，所以等号不成立，即，B错误； 对于C，由， ，，则， 由， 可得，C正确； 对于D，由于，， 所以，， 则，，且， 由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以， 所以，即， 则，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D项，将等价转化为，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，若这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，则的解析式可以为______．（写出一个满足条件的的解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，由常见幂函数的图象与性质即可求解. 【详解】由点，且这两点中有且只有一点在幂函数的图象上， 可取幂函数， 验证如下：点不在函数图象上，点在函数图象上，且函数为幂函数，满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知为第三象限角，且，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件，利用同角三角函数关系以及角的象限所对应的三角函数值的符号求得的值，再根据为第三象限角，借助同角基本关系式求得的值. 【详解】因为为第三象限角，所以， 所以 ， 则， 又，所以,解得， 又，所以， 故答案为：. 14. 已知函数，用表示中的较小者，记为，若函数的最大值小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行分类讨论，画出对应函数的草图，数形结合分析即可得出结论. 【详解】当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值为0，满足函数的最大值小于1，符合题意. 时，函数草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值小于1，符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 当时，函数的草图如下图所示： 由图易知，此时函数的最大值等于1，不符合题意. 综上所述，满足题意的实数的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果. （2）因为，则，再利用集合的包含关系即可求得结果. 【小问1详解】 当时，集合，即， 由得或，所以， 所以，故. 【小问2详解】 若，则， 又，， 所以或，解得：或 故实数的取值范围为. 16. 已知函数是定义域为的偶函数，且时，． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. 【小问2详解】 当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 17. 已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【小问1详解】 因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又，将，代入可得 【小问2详解】 由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以，又因为,所以 所以. 故 18. 已知某车厘子收购市场在过去的30天内对车厘子的日收购量（单位：百斤）与第天之间的函数关系为①；②；③这三种函数模型中的一个，且部分数据如下表： （天） 6 10 22 28 （百斤） 46 50 58 52 （1）请确定的解析式，并说明理由； （2）若第天平均每斤车厘子的收购价格为（单位：元），且（，且），记过去30天内第天该市场收购车厘子的资金总额为（单位：百元），求的最小值． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）将表格中的各个数据分别代入3个函数关系式中，求解，即可得到符合题意的表达式. （2）计算出的表达式，再分段讨论利用函数的单调性与基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 将表格中数据代入关系①中， 得到,此方程无解，舍去； 将表格中数据代入关系②中， 得到,解得,故方程为， 经验证，也符合上式，故函数解析式为； 由表格数据知，函数应该先增后减，不满足③； 综上所述： 【小问2详解】 因为，，故， 当时，， 因为，当且仅当时取等号， 所以； 当时，， 在区间上单调递减，故, 因为，所以 19. 已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． （1）设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； （2）若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； （3）若，判断函数是否为上“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）是，只有1个. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合“可分函数”的定义推理得证. （2）利用给定的“可分点”及定义，建立方程并换元，转化为有不等于1的正根求解. （3）利用“可分函数”的定义，构造函数，结合零点存在性定理推理判断. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，得，，， 当，且时，， 因此函数是区间上的“可分函数”， 所以定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”. 【小问2详解】 由为函数在上的“可分点”，得， 即，则， 令，由，得且，于是有不等于1正根， 当时，，解得，此时方程另一根为，不符合题意； 当时，，符合题意，因此； 当且时，而，则，即， 解得或，因此或或； 当时，，而当时，，且时，， 有不等于1的正根，符合题意，因此， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，由， 得， 当时，函数单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递增，又单调递增， 因此在上单调递增，， 则存在唯一，使得，即存在唯一，使， 所以函数是上的“可分函数”，且满足条件的只有1个. 【点睛】思路点睛：本题第2问，利用“可分函数”的定义，构建方程并换元，将问题转化为二次型方程有不为1的正根求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $