黄金卷06（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

命学科网 Www,ZX×k,C0m 让敦与学更高效 【赢在中考黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷06 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选 择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上) 1 2 3 5 6 7 8 9 10 B C D B A c D B B 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 11.55 12.1<x≤3 13.0.53 14.36° 15. 16我装 4 三、解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共 86分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.解：(-12+5-(-2×-3 =1+3+2x3… (4分) =10.44… (8分) 18.解：方法一：①+②，得8x=16, 解得，x=2, (3分) 将x=2代入①，得10+2y=12, 解得，y=1, (6分） x=2 所以原方程组的解是 0y=1 (8分) 19.解：原式=xx+ x-1 x+2x+2(x+1)(x-1) =xx+1 41,(3分） x+2x+2 1/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 1 x+2 (6分) 当x=5-2,原式=-5 (8分)》 20.证明：：DC⊥AC,DB⊥AB, LC=LB=90°，(2分） 在Rt△ABD和Rt△ACD中， 「AD=AD AB=AC' ·R1△ABD≌Rt△ACD(HL，(7分) LCAD=LBAD..(8s分） 21,(1)解：甲组的成绩依次为：7,3,8,7,9,10,10,7，数据7出现次数最多， .众数b=7, 乙组的成绩依次为：7,7,7,8,7,9,7,9，从小到大依次为：7,7,7,7,7,8,9,9， :中位数a=747=7, 2 故答案为：7,7： .（2分) (2)解：甲组9分以上（含9分）的同学有3人， 所古的百分比2×109%=37.5%， 乙组9分以上（含9分）的同学有2人， 2 ∴.所占的百分比。×100%=25%， ∴.甲组9分以上（含9分)的同学所占的百分比37.5%，乙组9分以上（含9分）的同学所占的百分比25%： (4分) (3)解：解法一：虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为4.48，高于乙组成绩的方差 0.73, ∴从方差的角度看，乙组成绩更整齐，更稳定： 解法二：甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数7， ∴.从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好，因此，不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好， .小玲的观点比较片面（答案不唯一，合理即可)...(8分) 22.(1)证明：P4,PB是00的切线， PA=PB、PA⊥OA,PB⊥OB, 2/8 命学科网 www,ZX×k,cDm 让敦与学更高效 ∴.PO平分∠APB, ·LAPE=LBPE, 在△PAE和△PBE中， PA=PB ∠APE=∠BPE, PE=PE APAE≌PBE SAS), :AE=BE, ∴△AEB是等腰三角形 (4分) (2)解：连接BC, A D C P:EC是OO的直径， B ∠EBC=90°， :△PAE≌△PBE, ∠AEP=∠BEP, .tanZAEP=tan/BEP=BC=1 BE2' 又：BE=√5， 8c=5 :PA=PB,PO平分∠APB, P0⊥AB, LCDB=90° :∠AEP=∠ABC, tan∠AEP=tan∠ABC=CD_I BD2 设CD=x,则BD=2x,有CD2+BD2=BC2, 即x2+2x2 5】 2 3/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 解得：x=2 (负根舍去)，即CD= 2 (10分) 23.(1)解：如图，连接MM2,作M,M,的垂直平分线， 1 M .E D M 图1 ∴.直线1即为所求： (3分) (2)解：如图，选择点C,连接CM2,QM,CM,交直线I于点H, M S:E D G M 图1 ,直线I垂直平分M,M, ∴.HM=HM2, CM<HM,CM<HM<CM (6分) (3)解：如图，分别作出MMM,M,M,MM,M,的垂直平分线I、a、C, M E M 图2 4/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 同(2)根据垂直平分线的性质可得： A栋教学楼的学生离校所对应的校门为M4: B栋教学楼的学生离校所对应的校门为M3: C栋教学楼的学生离校所对应的校门为M: D栋教学楼的学生离校所对应的校门为M4: E栋教学楼的学生离校所对应的校门为M2: F栋教学楼的学生离校所对应的校门为M2,…… (10分》 24.(1)如图2，以AB,BC为边构造矩形ABCG,分别延长DE,FE交CG,AG于点M,N, G E M F 图2 ∴.四边形ADEN,GMEN,CMEF是矩形， .NE=GM AD=50,NG=EM FC=75 根据矩形性质，可得Sc=SAGC,SAADE=SAANE,SACFE=SACME, SAABC-SAADE SACFE =SAAGC SAANE-SACME 即SE卷BDEF=S矩形EWGN· :SEMGN=EM·EN=50×75=3750, .S矩形8DEF=SE无wGN=3750, 故答案为3750； (4分) (2)解：AB⊥EF,CD⊥DE,DF=AE=100步，AB=15步，∠DEF=90°， ∠CDE=LDEF=LEAB=90°， ∴.AB‖DE, ∠B=∠DEC, ACDEAEAB, EHB,即CD10 :CD ED 100=15· 5/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 CD=2000 3 （7分)） (3)解：由题意得，AB⊥BC,MG⊥BC,EN⊥BC, .AB∥MG I EN, ∴.△ABCAENC,ABFAGMF, ÷GM-MF.ENCy ·ABBF'ABBC MG=NE=30,MW=6000,MF=738,NC=762 ∴.BF=BM+738,BC=BM+6000+762=BM+6762, 30=738 30 762 AB BM+738'AB BM+6762 解并检验得：MB=184500,AB=7530, 答：山峰的高度AB的长为7530步，…（12分) 25.(1)解：：抛物线y-ar2+br-8a经过点M3,-5a) .-5a=9a+3b-8a,即b=-2a …y=ar2-2ar-8a, 抛物线的对称轴为x=22 =1;444.(3分） (2)解：由(1)可得y=ar2-2ax-8a,设点P的坐标为m,n). 令y=0可得y=ar2-2ax-8a=ax+2j(x-4=0, 解得x=-2,x2=4 :点A在点B的左侧， A-2,0),B(4,0 aPM8的面积为5，m4B,=3 “点P为抛物线G上A,B之间的动点 :当点P为抛物线的顶点时，m取得最大值为9 5a=号4Ba=3d=6,解得a=±号 1 :a>0,a=3 加-2-，加12J-号--3 6/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 “y在-1≤x≤1时随着x的增大而增小，在1<x≤2时随着x的增大而增大 令=1时，y==-3,令x=-1时，y=- 31 ·当-1≤x≤2时，-3≤y≤ 3 (7分) (3)解：设点Pm,am2-2am-8a,点D(xo,0j 在抛物线解析式y=ax2-2ax-8a中 令J=0得x=-2或4， ∴.A-2,0,B4,0 A-2,0）,Pm,am2-2am-8a 设直线PA的解析式为y=:+b, [-2k+b=0 则 mk +b=am-2am-8a [k an-4a 解得 b =2am-8a :直线PA的解析式为y=(am-4a)x+2am-8a=am-4)(x+2)… (10分) “垂线1与PA交于点E, XE =Xo ∴ye=a(m-4)(x+2) 同理可得，直线PB的解析式为y=am+2)(x-4 ye=am+2川x。-4, 六.DE+2DF=yE+2ye a<0, yE >0,yr>0 DE+2DF=yE+2y:=a(m-4)(x+2+2am+2)xn-4 …(12分） 化简得DE+2DF=ye+2ye=(3ax,-6am-24@ :点P运动的过程中DE+2DF始终为定值6 7/8 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 3ax-6a=0 解得x。=2 -24a=6 1 解得a= (14分) 4 4o44 8/8 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．-2025的相反数是（   ） A．-2025 B．2025 C． D． 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．下图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（   ） A．最大值与最小值的差是10 B．中位数是24 C．众数是28 D．平均数是 6．如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 7．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．19 B．21 C．17 D．15 9．已知：如图，双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为6，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 10．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为 （度）． 12．某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是 ．    13．数学兴趣小组做抛掷一枚硬币的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 硬币正面朝上次数 27 53 107 161 263 527 1056 1587 2655 硬币正面朝上频率 0.540 0.530 0.535 0.537 0.526 0.527 0.528 0.529 0.531 根据以上实验数据可以估计出“正面朝上”的概率约为 ．（精确到） 14．如图，四边形是正方形，点E在边上，，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，点F在边上，则旋转角的度数是 ．    15．已知，则代数式的值为 ． 16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 三、解答题：（本大题共9题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，第25题14分，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解方程组：． 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，已知，且，，求证：．    21．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织参赛，规定满分为10分，9分以上（含9分）为优秀． 整理数据：小李将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小李对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_______，________； (2)分别求甲、乙两组9分以上（含9分）的同学所占的百分比； (3)小玲认为甲、乙两组成绩的平均分相等，所以两个组成绩一样好．小李认为小玲的观点比较片面，请结合上表中的信息为小李说明理由． 22．如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 23．某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究．    (1)【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； (2)【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； (3)【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门．    24．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 25．已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，的面积的最大值为9，求在时的取值范围； (3)若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷06 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题 1．-2025的相反数是（   ） A．-2025 B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的知识，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可获得答案． 【详解】解：-2025的相反数是2025， 故选：B． 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．下图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，指出圆柱的侧面展开图即可． 【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体是圆柱，圆柱的侧面展开图是矩形． 故选：A． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式即可直接得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 5．如图是我市某周内日层高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法错误的是（   ） A．最大值与最小值的差是10 B．中位数是24 C．众数是28 D．平均数是 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是正确从图象中获取数据，熟练掌握求中位数，众数，平均数的方法．根据图象，分别求出最大值与最小值的差，中位数，众数，平均数，即可解答． 【详解】解：A、由图可知，这7日最高温度为，最低温度为， ∴最大值与最小值的差是，故A正确，不符合题意； B、将这7天的温度按大小排序为：， ∴中位数为，故B不正确，符合题意； C、∵出现了2次，出现次数最多， ∴众数为，故C正确，不符合题意； D、，故D正确，不符合题意； 故选：B． 6．如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．由题意可得，，则在线段垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：，，点在线段上， ， 在线段垂直平分线上， 结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意， 故选：A． 7．某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为，从甲地到乙地的规定时间为，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据如果他以的速度行驶，那么就会迟到；如果他以的速度行驶，那么可提前到达乙地，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 8．如图，中，，现将沿着射线的方向平移2个单位得到，则的周长是（   ） A．19 B．21 C．17 D．15 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，明确题意，求出的边长是解题的关键．根据平移的性质和等边三角形的判定和性质，求得的边长，即可求解． 【详解】解：∵，，，将沿着射线的方向平移2个单位得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长是：， 故选：D． 9．已知：如图，双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为6，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，过点作轴于点，结合反比例函数图象性质得到四边形的面积为6，设点的横坐标为，则纵坐标为，结合坐标中点的特点，得到点的横坐标和纵坐标，进而建立等式求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， 的面积为6，且与面积相等， 四边形的面积为6， 设点的横坐标为，则纵坐标为， 的中点为， 点的横坐标为，则纵坐标为， ， 解得， 故选：B． 10．如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2、 填空题 11．已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为 （度）． 【答案】55 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形的两底角相等以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形的一个顶角为， 这个等腰三角形的底角． 故答案为：55． 12．某个不等式组的解集用数轴表示如图． 那么这个不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查了利用数轴求不等式组的解集，会利用数轴求不等式组的解集，理解含端点值用实心圆圈，不含端点值用空心圆圈是解题的关键． 【详解】解：由数轴得 这个不等式的解集是， 故答案：． 13．数学兴趣小组做抛掷一枚硬币的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 硬币正面朝上次数 27 53 107 161 263 527 1056 1587 2655 硬币正面朝上频率 0.540 0.530 0.535 0.537 0.526 0.527 0.528 0.529 0.531 根据以上实验数据可以估计出“正面朝上”的概率约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解表格信息是解题的管家． 根据表格信息，随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋近于其真实的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，“正面朝上”的概率约为， 故答案为： ． 14．如图，四边形是正方形，点E在边上，，若线段绕点A逆时针旋转后与线段重合，点F在边上，则旋转角的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质及旋转性质，根据正方形性质先证明，再根据全等三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转后与线段重合， ∴， ∴， ∴， ∴； 即旋转角的度数为； 故答案为：． 15．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值． 根据，得出，再把代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 把代入 ， 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标，正确求出二次函数于y轴的交点坐标，顶点坐标，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键．先求出点，点，则，根据得，再求出抛物线顶点，然后分两种情况讨论如下：①当时，与线段交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值；②当时，与线段的延长线交于点C，此时，则点，由此得直线的表达式为，将点代入之中可得a的值，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， ∴点， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴当时，得，， ∴点B的坐标是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵直线交直线于点C， ∴有以下两种情况： ①当时，抛物线的开口向上，与线段交于点C，如图1所示： 此时， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， ∴直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：； ②当时，抛物线的开口向上，与线段的延长线交于点C，如图2所示： 此时， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， ∴直线的表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 解得：， 综上所述：a的值为或． 三、解答题 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．利用实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 方法一：运用加减消元法①+②，得，再代入①得，即可求解；方法二：运用代入消元法得③，代入②解得，再代入③得，即可求解． 【详解】解：方法一：①+②，得， 解得，， 将代入①，得， 解得，， 所以原方程组的解是； 方法二：由①，得③， 将③代入②，得， 解得，， 将代入③，得， 解得，， 所以原方程组的解是． 19．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，化简二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将除法转化为乘法运算，再进行加减运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 20．如图，已知，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 21．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织参赛，规定满分为10分，9分以上（含9分）为优秀． 整理数据：小李将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小李对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_______，________； (2)分别求甲、乙两组9分以上（含9分）的同学所占的百分比； (3)小玲认为甲、乙两组成绩的平均分相等，所以两个组成绩一样好．小李认为小玲的观点比较片面，请结合上表中的信息为小李说明理由． 【答案】(1)7，7 (2)甲组9分以上（含9分）的同学所占的百分比，乙组9分以上（含9分）的同学所占的百分比 (3)见解析 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握众数、中位数的计算，某项百分比的计算方法，根据调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据众数、中位数的计算方法计算即可； （2）根据某项百分比的计算方法计算即可； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：甲组的成绩依次为：，数据7出现次数最多， ∴众数， 乙组的成绩依次为：，从小到大依次为：， ∴中位数， 故答案为：，； （2）解：甲组9分以上（含9分）的同学有3人， ∴所占的百分比， 乙组9分以上（含9分）的同学有2人， ∴所占的百分比， ∴甲组9分以上（含9分）的同学所占的百分比，乙组9分以上（含9分）的同学所占的百分比； （3）解：解法一：虽然甲、乙两组成绩的平均数相等，但甲组成绩的方差为，高于乙组成绩的方差， ∴从方差的角度看，乙组成绩更整齐，更稳定； 解法二：甲组成绩的中位数为，高于乙组成绩的中位数7， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好，因此，不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好， ∴小玲的观点比较片面（答案不唯一，合理即可）． 22．如图，点为外一点，过点作的切线和，切点分别是点和点，连接，直线与交于点和点，交于点，连接，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长的性质可证，得到，由等腰三角形的定义即可求解； （2）连接，可得，由全等三角形的性质可得，则，可得，根据同弧所对圆周角相等可得，则有，设，则，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是的切线， ， ∴平分， ． 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ． ， 又， ， ，平分， ， ， ， 设，则，有， 即， 解得：（负根舍去），即． 【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 23．某校现有两个校门，放学后学生出校门时，其中一个校门经常出现拥堵，为了寻找拥堵原因并解决拥堵问题，兴趣小组开展了研究性活动． 该小组经过实地查看和走访同学后发现：放学后，理想的离校状态满足：校园内各栋教学楼到各个校门都可直线行走；大部分同学选择较近的校门离校，且不考虑离校后到家的路程；一个校门通行一栋教学楼的学生． 该小组画出校园的平面示意图（如图），并继续展开研究．    (1)【寻找特例】到校门和距离相等的点都在某一条直线上，请用尺规作图作出这条直线l； (2)【探究规律】发现造成校门拥堵的主要原因是：三栋教学楼都集中在这条直线的右侧，所以大部分同学选择校门离校．请用你所学过的数学知识解释这一现象（请选择一个位置说理）； (3)【解决问题】为了缓解放学时校门拥堵状况，该小组向学校建议新增两个校门（位置如图），就能达到理想的离校状态．请根据以上探究规律，画图并说明该建议的合理性．并指出各栋教学楼的学生离校所对应的校门．    【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为；栋教学楼的学生离校所对应的校门为． 【分析】（）连接，然后作的垂直平分线即可， （）连接，，交直线于点，根据垂直平分的性质和三角形的三边关系即可求解； （）分别作出的垂直平分线，同（）即可求解； 本题考查了垂直平分线的作法，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，作的垂直平分线，      ∴直线即为所求； （2）解：如图，选择点，连接，，交直线于点，    ∵直线垂直平分， ∴， ∴，即； （3）解：如图，分别作出的垂直平分线，    同（）根据垂直平分线的性质可得： 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为； 栋教学楼的学生离校所对应的校门为． 24．【研究发现】 如图1，在中，，矩形的三个顶点D，E，F分别边，，上，若，，求矩形的面积． 小颖同学发现可以采用如下方法进行求解： 如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵，∴…… （1）填空：矩形的面积为______；     【问题解决】 《九章算术》卷九记载：今有邑方二百步，各中开门．出东门十五步有木．问出南门几何步而见木？大意为：如图3，正方形小城的边长为200步，各边中点处开一城门．从东门中点A向正东方向走出15步处有树B，问从南门D点向正南方向走出多少步恰能见到树B？ （2）请你求出的长． 【延伸探究】 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图4，要测量海岛上一座山峰A的高度，在地面M，N两处分别立有高30尺的标杆和，两杆之间的距离尺，B，M，N三点成一线；从M处退行738尺到F，A，G，F三点成一线；从N处退行762尺到C，A，E，C三点也成一线；若点D在上，D，G，E三点也成一线，如何求出山峰A的高度呢？ （3）试计算线段的长． 【答案】（1）3750；（2）步；（3）步. 【分析】本题考查了相似三角形的应用/矩形的性质和判定，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． （1）由矩形性质可得，，由此即可求出，即得答案； （2）证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质可求出的长． （3）由，可得，，进而可得，，根据数据列方程求解即可． 【详解】（1）如图2，以，为边构造矩形，分别延长，交，于点M，N， ∴四边形，，是矩形， ∴， 根据矩形性质，可得，，， ∴， 即． ∵， ∴， 故答案为； （2）解：，，步，步，， ， ， ， ， ，即， ， （3）解：由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 解并检验得：， 答：山峰的高度的长为步． 25．已知抛物线经过点，抛物线G与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），点P为抛物线G上A，B之间的动点（点P不与点A，B重合）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，的面积的最大值为9，求在时的取值范围； (3)若，点D为线段上一定点（点D不与点A，B重合），过D作x轴的垂线l，直线l分别交射线，于点E，F，若点P运动的过程中，的值始终为6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）先求出，，得出的面积为，可知当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为，求出，然后根据二次函数的增减性求解即可； （3）设点，点，求出直线的解析式为，得，同理可求出，从而，化简得，然后根据点P运动的过程中始终为定值6即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点 ，即 ， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）可得，设点P的坐标为． 令可得， 解得， 点A在点B的左侧， ， 的面积为 点P为抛物线G上A，B之间的动点 当点P为抛物线的顶点时，取得最大值为 ，解得 ， ，， 在时随着x的增大而增小，在时随着x的增大而增大 令时，，令时，， 当时， （3）解：设点，点 在抛物线解析式中 令得或4， ， ， 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为 垂线l与PA交于点E， 同理可得，直线的解析式为 ， ， ， 化简得 点P运动的过程中始终为定值6    解得    解得 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$