精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学、揭阳第一中学榕江新城学校2025届高三下学期2月两校联考数学试题

一中新城 惠来一中 2025年2月份高三联考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 为虚数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 点的坐标为 11. 已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，y有，且，，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 13. 甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______． 14. 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 16 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计. 年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月 月份编号 1 2 3 4 5 6 销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： （1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； （2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数） 附：经验回归方程，其中， 样本相关系数 参考数据：. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 已知椭圆过点，离心率为 （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q， （ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证：； （ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一中新城 惠来一中 2025年2月份高三联考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】集合，又， 所以. 故选：B 2. 为虚数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则化简z，由共轭复数的定义即可求解. 【详解】，则. 故选：A. 3. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】， 所以，则. 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数值，缩小所给角的范围，再根据三角函数的基本关系求得，再根据倍角公式及辅助角公式化简所求式子，即可求得. 【详解】因为，且，则， 则 ， 则 ， 则， 两边平方可得：，解得：， 则 . 故答案为：. 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示： 为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 6. 在中，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解. 【详解】由， 故， 故选：D 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 8. 已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可. 【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程的定义，可得，的关系，再由离心率的计算公式可求得. 【详解】根据渐近线方程可得，双曲线的渐近线斜率为.根据双曲线渐近线方程的性质可得或. ①当时，， ∴，则 ②当时，， ∴，则. 故选：BD 10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据几何图形，即可确定A，结合三角函数的定义，以及向量数量积的定义和坐标表示，即可判断BC，根据三角函数的定义，结合三角恒等变换，即可判断D. 【详解】A.因为点是的中点，且，所以，故A正确； B.有条件可知，，，， ， 所以，故B错误； C.，故C正确； D. 所以点的坐标为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，y有，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件通过赋值可得选项A错误，选项B正确. 令，求导可得，由此可得是以4为首项，4为公差的等差数列，可得选项C，D都正确. 【详解】A.令，得，故A错误. B.令，，得，解得， 令，，得，故B正确. 令，得， ∴， 令，得， ∴是以4为首项，4为公差的等差数列， ∴，故C，D都正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算律结合立方和公式计算即可. 【详解】若，则． 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出甲不去校的概率和甲不去校且乙不去校的概率，然后由条件概率的概率公式求解即可． 【详解】由题意，甲不去校的概率为， 甲不去校且乙不去校的概率为， 则在甲不去校的条件下，乙不去校的概率． 故答案为：． 14. 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果. 【详解】由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称， 当时，曲线方程化，圆心; 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，；当时，. 作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图： 曲线上任意两点距离的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：． （1）若为等差数列，求； （2）若，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解. （2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意， 当时，， 两式相减得， 因为为等差数列，在式子：中令， 得，所以， 所以或， 若，则，但这与矛盾，舍去， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 而当时，，所以此时， 所以此时， 而也满足上式， 综上所述，的前项和. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数取得极大值，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【小问1详解】 当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； 【小问2详解】 由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 17. 随着科技发展日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计. 年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月 月份编号 1 2 3 4 5 6 销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： （1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； （2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数） 附：经验回归方程，其中， 样本相关系数 参考数据：. 【答案】（1）0.96 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进一步代入相关系数公式即可求解； （2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，由此即可得经验回归方程并预测. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由题意， 所以， 所以关于的经验回归方程为， 所以预测2024年2月份该公司销售金额为万元. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 已知椭圆过点，离心率为 （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q， （ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证：； （ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点，离心率为，进而求出椭圆的方程； （2）由（1）可得设直线方程，与椭圆方程联立，（i）根据根与系数的关系以及已知条件列出等式求得k，得到直线l的方程，求得点P、Q的坐标，得到线段PQ的中点与线段AB的中点重合，即可求解；（ii）由结合向量的数量积运算进行求解. 【小问1详解】 由题意得，又，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率必定存在，故设直线 l的方程为， 联立方程， 整理得， 所以， （i）由，解得， 所以直线l的方程为， 令，得；令，得， 所以PQ的中点为， 即AB与PQ有相同的中点， 所以，命题得证； （ii）又 ， 则 ， 令，即，解得， 则直线l斜率的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$