黄金卷05（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B C D B B A 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16．3 17． 18．1 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解：原式 ． （10分） 20．解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者．（10分） 21．（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算．（10分） 22．（1）解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： 理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：．（10分） 23．（1）证明：如图， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵F为中点时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（12分） 24．（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，， ∴抛物线的解析式可以写成的形式， 即， ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意作图如下， ①∵的圆心为G，的圆心为E， ∴GE是与圆心的连线， ∵两圆相切时，圆心的连线经过切点， ∴当与内切时，GE经过切点， ∵点B是线段GE延长线上的点，且在上， ∴点B是与内切时的切点， ∴点B在以点E为圆心，为半径的上， ∴， ②在中， 令得， ∴抛物线与y轴交于点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将和的坐标代入， 得， ∴， ∴设直线BC的解析式为． ∵点F在抛物线上， ∴设点F的坐标为， 由题意轴， ∴点E的坐标为， ∵点F在BC的上方， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在线段BC上， ∴， ∴, ∵， ∴， 整理得，， 解得或3， 当时，点E，F，B重合，此时不存在， 故不合题意，应舍去， ∴， 当时， ， ∴求点F的坐标为．（12分） 25．（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或．（14分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选B． 2．下列变形错误的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果不变，可得答案． 【详解】解：A、若，则，故选项A正确； B、若，则，故选项B正确； C、若，则，故选项C错误； D、若，则，故选项D正确． 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕着点A顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，过点作，交轴于，证明，结合，得出，．此题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标的确定．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作，交轴于， 点，将线段绕着点A顺时针旋转， ，，， ∵轴，过点作， ∴轴，， ∴， ∴， ∴ 则，， ∵点在第三象限， ∴． 故选：D 4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数、众数的知识，理解并掌握众数和中位数的定义是解题关键．众数是一组数据中出现次数最多的数；将一组数据从小到大排列，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数即可． 【详解】解：根据题意，可知这一组数据中出现次数最多的数是8，即该组数据的众数为8； 将这组数据从小到大的顺序排列，处于第20，21位两个数分别为9，9， 所以，这组数据的中位数是． 故选：B． 5．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 6．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 【答案】A 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据幂的乘方和同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的定义域，分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 9．方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解无理方程，涉及的知识点有二次根式的性质，一元二次方程的解法以及不等式组的解法，解题的关键在于掌握基本性质和运算法则． 先将原方程两边同时平方可得到关于x的一元二次方程，解得x，再结合原方程中二次根式的双重非负性得出x的取值范围，从而可得出结果． 【详解】解：原方程变形为：，即 ∴ ∴或， 又由题意可得 解得，， ∴当时不满足题意， ∴ 故答案为： 10．若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，即，解得： ∴k的最小整数值为． 故答案为：． 11．已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 故答案为： ． 12．反比例函数的图像上有两点，那么 0．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是关键．根据反比例函数的性质，当时，反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小，从而可确定答案． 【详解】解：∵， 反比例函数的图象在每一个象限内y随着x的增大而减小， ， ， ∴， 故答案为：． 13．三位同伴进饭店用餐，每人把自带的雨伞交给服务员放在一起保管．如果离店时服务员把他们的雨伞随意还给各人，那么三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查画树状图求概率，熟练掌握画树状图求概率的方法，正确画出树状图是解题的关键．设三位同伴分别记为、、，根据题意画树状图即可求解． 【详解】解：设三位同伴分别记为、、， 根据题意画树状图为： 共有种等可能结果，其中三位同伴恰好拿到各自的雨伞的有种， 故三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为， 故答案为：． 14．如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 17．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，圆的知识，根据题意得，点坐标为，将点坐标代入抛物线的解析式为即可求得抛物线的解析式，令即可求得点的坐标，从而可求出的长，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点的坐标． 【详解】解：∵，是半圆的直径， ∴点坐标为，点坐标为， 将点坐标代入抛物线的解析式， 得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点坐标为， ， ， 故答案为：． 18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【答案】15 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算式平方根、绝对值、零指数幂、分母有理化等考点的运算． 在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式 ． 20．解方程组：． 【答案】，或者，． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 21．某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【答案】(1)套餐每月需缴的费用：（元）；套餐每月需缴的费用：（元） (2)80分钟 (3)选择哪种套餐更合算 【分析】此题主要考查列代数式和求值，解一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据两种通话套餐业务的计费方式表示即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）将分 别代入和求解后比较即可． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： (1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； (2)如图②，在上找一点，使； (3)如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图． （1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案； （2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求； （3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为． 【详解】（1）解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： 理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 23．已知：如图，在中，，D为边上一点，过点B作，垂足为点E，延长交边于点F． (1)当D为的中点时，求证：； (2)当F为中点时，连结，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线． （1 ）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明，利用相似三角形的性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论； （2 ）先由得到，用代换得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质和得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵F为中点时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线． （1 ）先根据斜边上的中线性质得到，则，再证明，利用相似三角形的性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，则利用等量代换得到，然后根据比例的性质得到结论； （2 ）先由得到，用代换得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质和得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵F为中点时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列二次根式中与是同类二次根式是（   ） A． B． C． D． 2．下列变形错误的是（　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕着点A顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．小明调查了班里40名同学一周的体育锻炼情况，结果如图所示．该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（   ） A．16小时15小时 B．8小时、9小时 C．10小时、小时 D．8小时、小时 5．如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 6．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算： ． 8．函数的定义域是 ． 9．方程的解是 ． 10．若关于的一元二次方程有实数根，则实数可取的最小整数值是 ． 11．已知二次函数的图像经过原点，那么 ． 12．反比例函数的图像上有两点，那么 0．（用“”，“”或“”填空） 13．三位同伴进饭店用餐，每人把自带的雨伞交给服务员放在一起保管．如果离店时服务员把他们的雨伞随意还给各人，那么三位同伴恰好拿到各自的雨伞的概率为 ． 14．如图，在中，，，的平分线相交于点D，则的度数为 ． 15．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 16．如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 17．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，若，则图中 ． 18．如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解方程组：． 21．某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： (1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； (2)如图②，在上找一点，使； (3)如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 23．已知：如图，在中，，D为边上一点，过点B作，垂足为点E，延长交边于点F． (1)当D为的中点时，求证：； (2)当F为中点时，连结，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G. (1)求抛物线的表达式； (2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标. 25．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$