第13讲 三角形的有关概念（四类知识点+十四大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第13讲 三角形的有关概念（十四大题型） 学习目标 1.了解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛 2.掌握并会应用三角形三边间的关系； 3.理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用. 知识点1 三角形的定义及分类 1. 定义： 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的顶点：三个点叫作三角形的顶点. ①三角形的边： 连接顶点的三条线段叫作三角形的边， 边的长度叫作边长； ②三角形的角： 顶点处两边组成的角叫作三角形的内角， 简称三角形的角； (2) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. ③直角三角形：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.在直角三角形中，直角的两条边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边． 直角三角形 可用符号“Rt △”表示，例如直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”，读作“直角三角形ABC”. (2)按边分类： 要点： ①等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形 ②等边三角形： 三边都相等的三角形叫作等边三角形. ③既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形． 例如，有45°角的三角尺的形状是等腰直角三角形. 知识点2 三角形的三边关系 如果两条线段之和小于等于第三条线段，那么这三条线段不能组成一个三角形，我们基于此给出如下公理： 公理：三角形任意两边的和大于第三边. 此公理也称为“三角不等式”，其确切意思是： 如果三角形的三条边长分别是a、b、c，那么它们必定满足“三角不等式”，即a＋b＞c、b＋c＞a、c+a＞b．利用不等式的性质，由上述公理可以推出： 推论：三角形任意两边的差小于第三边. .由这个公理，如果三条线段的长度不满足“三角不等式”，那么它们不能组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”，那么它们可以组成一个三角形. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 知识点3 三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 给定一个三角形，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线， 此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 连接一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 要点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线.. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 严格地说， 三角形的高、 中线与角平分线均需明确所在的边或角 ，但在不会引起混淆时也可以省略. 知识点4 三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【即学即练1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【解析】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 【即学即练2】下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【解析】解：A．不是任何边的高，故不符合题意； B．不是任何边的高，故不符合题意； C．是边的高，故不符合题意； D．是边的高，故符合题意 故选D． 【即学即练3】下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，2，4 D．1，1，2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系，逐个判断即可． 【解析】解：A、∵，∴1，2，3不能组成三角形； B、∵，∴2，3，4能组成三角形， C、∵，∴1，2，4不能组成三角形， D、∵，∴1，1，2不能组成三角形， 故选：B． 【即学即练4】三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【解析】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 【即学即练5】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【解析】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【即学即练6】在中，是边上的中线，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线的定义和性质，熟练掌握三角形的中线的定义和性质是解题的关键．根据三角形的中线的定义和性质，对选项逐个分析判断即可． 【解析】解：是边上的中线， ，， A、，故此选项成立，不符合题意； B、，故此选项成立，不符合题意； C、，故此选项成立，不符合题意； D、因为与不一定相等，所以的周长与的周长不一定相等，故此选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 题型1:三角形的识别 【典例1】．下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题． 【解析】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 【变式1-1】．如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【解析】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 题型2:三角形的有关概念（三角形的基本元素） 【典例2】．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【答案】(1)的三个顶点是点，，，三条边是，， (2)是，，，的边 【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可； （2）根据三角形的边解答即可． 【解析】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； （2）解：是，，，的边． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念． 【变式2-1】．如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 【答案】(1)8； (2)，． 【分析】（1）根据图形，即可解答； （2）根据图形，即可解答． 【解析】（1）解：图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，． （2）解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，解题的关键是掌握熟练掌握相关概念，不重复不遗漏的数出三角形个数． 【变式2-2】．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 【答案】(1)7个，见解析 (2)的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，， (3)，， (4)，， 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形． 【解】（1）图中有7个三角形，分别是，，，，，，． （2）的边是AB，BD，AD；顶点是点A，B，D；三个内角是，，． （3）以为内角的三角形有，，． （4）以AB为边的三角形有，，． 题型3:三角形的分类 【典例3】．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【解析】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【变式3-1】．三角形按边长关系，可分为（    ） A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类方法即可得到答案． 【解析】解：三角形按边长关系，可分为等腰三角形和不等边三角形， 故选C． 【变式3-2】．三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的特征，根据有一个角度为的三角形为直角三角形判断可得，熟悉直角三角形的意义是解题的关键． 【解析】解：三角形的三个角的度数分别是， 因为有最大的角为直角，另外两个角互余， 所以这个三角形为直角三角形， 故选：B． 【变式3-3】．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案． 【解析】解：三角形根据边分类如下： 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 故选：C． 题型4:三角形的稳定性 【典例4】．下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，根据三角形的性质，四边形的性质可得答案． 【解析】解：选项C中含有四边形，不具有稳定性， 而选项A、B、D含有三角形具有稳定性， 故C符合题意； 故选：C． 【变式4-1】．如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可求解，理解三角形的稳定性是解题的关键． 【解析】解：玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 题型5:构成三角形的条件 【典例5】．以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（   ） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解析】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，能组成三角形，故B符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．，， B．，，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． 【解析】A．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，能组成三角形，故该选项符合题意； D．，不能组成三角形，故该选不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】．四根小棒的长度分别为，，和，从中选出三根小棒围成一个三角形，这个三角形的周长是( )． 【答案】 【分析】根据构成三角形的条件分析，分类讨论，进而求得三角形的周长． 【解析】 和不能构成三角形 不能构成三角形 能构成三角形 这个三角形的周长为， 故答案为：cm 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键． 题型6:确定第三边的取值范围 【典例6】．在三角形中，，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，做题的关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．利用三角形三边关系得出x的取值范围． 【解析】解：∵在三角形中，， ∴， 即． 故答案为：． 【变式6-1】．已知三角形三边长分别为，，，则写出所有符合条件的整数的值 ． 【答案】，， 【分析】本题考查三角形的三边关系（三角形的第三边小于两边之和大于且大于两边之差）．解题的关键是根据三角形的三边关系列出关于的一元一次不等式组，求解后即可得出符合条件的整数的值． 【解析】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∴整数的值为，，． 故答案为：，，． 【变式6-2】．三角形三边之长分别为3，10，，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运用，解答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键．根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即可． 【解析】解：由题意，得， 即， 解得：． 故答案为：． 【变式6-3】．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系和三角形的周长，根据三角形的三边关系得到，由第三边长是偶数得到或4，即可求出这个三角形的周长． 【解析】解：设第三边长为， 则，即． 又为偶数，因此或4， 故这个三角形的周长是：或． 故答案为：7或9． 题型7：三角形三边关系的应用 【典例7】．设三边长分别为，则 ． 【答案】/ 【分析】考查了三角形三边关系，整式的加减；三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【解析】解：由题意得：， ∴ 【变式7-1】．若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则 ． 【答案】9 【分析】根据实数的非负性，三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了实数的非负性，三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴； ∴， ∵第三边长c为奇数，， ∴． 故答案为：9． 【变式7-2】．若a，b，c为的三边，则 （填“，，”）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的任意两边的和都大于第三边可得，，从而可得，，由此即可得出答案． 【解析】解：∵是的三边， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【解析】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 题型8：画三角形的高 【典例8】．作的边上的高，下列作法中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查三角形的高的画法，关键是理解三角形的高的定义：从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．据此判断即可． 【解析】解：过C作的垂线，垂足为D，则线段为的边上的高， 故选项C符合题意，选项A、B、D不符合题意， 故选：C． 【变式8-1】．用尺规完成作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，作出的边上的高．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的高的作图，以点A为圆心，适当长度为半径，画弧分别与边交于两点，为F、E，再以F、E为圆心，适当长度为半径，画弧交于一点G，连接并延长，与相交于一点D，即可作答；掌握用尺规把三角形的某边上的高做出来是解题的关键 【解析】解：如图，为所作． 【变式8-2】．如图，在中，，，则边上的高线为线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可求解． 【解析】解：边上的高是， 故答案为：． 【变式8-3】．如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可． 【解析】解：∵， ∴线段是中边上的高， 故答案为：． 题型9：与三角形的高有关的计算问题 【典例9】．如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，先算出，因为边上的高，所以，解出，即可作答． 【解析】解： ∵，，， ∴ ∵边上的高， ∴， 解得． 故答案为：10． 【变式9-1】．已知的两条高分别是10和20，若第三边上的高也是整数，那么这条高最短是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查根据三角形的高求面积，掌握构成三角形的条件是解题的关键． 【解析】设长为20的高所在的边长为a，则长为10的高所在的边长为， 三角形第三条边小于，所以高大于，则最短是7． 【变式9-2】．如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 【答案】3.75 【分析】本题考查三角形的高的有关计算，根据三角形面积公式得出，即可求解． 【解析】解：、是的两条高， ， ， 故答案为：3.75． 【变式9-3】．如图，点D、E分别在上，相交于点F，设，，，，则与的大小关系是（   ） A．不能确定 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积问题，注意同底的三角形的面积的比等于高的比，等高的三角形的面积的比等于底的比．连接DE，设，用等高的三角形的面积的比等于底的比，判断与的大小关系． 【解析】详解：设，因为，又， 所以，则， 因为， 所以． 故选：D． 题型10：根据三角形的中线求长度 【典例10】．在中，如果D是的中点，那么是的 ， ． 【答案】 中线 【分析】本题考查三角形中线的定义．在三角形中，连接顶点与对边中点的线段叫做这个三角形的中线，据此即可解答． 【解析】解：∵点D是的中点， ∴是的中线，． 故答案为：中线， 【变式10-1】．如图，在中，是中线，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，进而求出的长即可． 【解析】解：∵是的中线， ∴为的中点， ∴， ∴； 故答案为：8． 【变式10-2】．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出，根据是中线即可求解． 【解析】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 【变式10-3】．如图，是的中线，，，若的周长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可，正确理解三角形的中线的概念是解题的关键． 【解析】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 【变式10-4】．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 【答案】11或4 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，分两种情况进行讨论求解即可． 【解析】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 将的周长分为10和15两部分，分2种情况： ①， 则：， ∴， ∴， ∴； ②， 则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：11或4． 题型11：根据三角形的中线求面积 【典例11】．如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【解析】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故选B． 【变式11-1】．如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形分别计算即可． 本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【解析】解：点是的中点，， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ， 故选：B． 【变式11-2】．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积． 【解析】解：如图，连接、、， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式11-3】．设的面积为1．如图①，分别是的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是的4等分点，，相交于点，与的面积差记为…，依此类推，则的值为（       ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出，由题意求得，根据点分别是的中点，得到，，从而得出，同理可得：，，，…，归纳出，代入数值即可得到答案． 【解析】解：由题意得： ， 点分别是的中点， ，， ， 同理可得：，，，…， ， ， 故选：D． 题型12：三角形角平分线的定义及应用 【典例12】．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【解析】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【变式12-1】．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的概念，正确理解三角形角平分线的概念是解题的关键． 【解析】∵在中，，是的角平分线， ∴． 故选：B． 【变式12-2】．下列说法错误的是（    ） A．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C．三角形的中线、角平分线、高都是线段 D．三角形的三条高不一定都在三角形的内 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断．根据三角形重要的线段的相关知识进行判断即可得解． 【解析】解：A、三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，说法正确，故本选项不符合题意； B、三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，原说法错误，故本选项符合题意； C、三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确，故本选项不符合题意； D、三角形的三条高不一定都在三角形内部，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式12-3】．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【解析】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 【变式12-4】．如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（   ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，对选项逐个判断即可．此题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 【解析】解： 是的平分线，A选项正确，不符合题意； 是的平分线，B选项正确，不符合题意； ，C选项正确，不符合题意； ∵从题干条件无法证明 嗯嗯不是的平分线，D选项错误，符合题意； 故选：D． 题型13：利用网格求三角形的面积 【典例13】．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查借助网格求面积，根据题意，画出点的位置，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【解析】解：由题意，画图如下： 由图可知：共有8个； 故选D． 【变式13-1】．如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【解析】解： ； 故选：C． 【变式13-2】．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解． 【解析】解：， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 题型14：三角形的有关概念解答综合题（含作图题） 【典例14】．已知三角形的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，三角形的三边关系，绝对值化简，根据三角形三边关系得到的不等式，再去绝对值后计算即可． 【解析】∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴，， ∴． 【变式14-1】．如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【答案】(1)见解析 (2)MB (3)见解析 (4)CH 【分析】（1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）根据三角形的高的定义画出图形； （4）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【解析】（1）如图，线段即为所求； （2）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （3）如图，线段即为所求； （4）点到直线的距离是线段的长． 故答案为：．    【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义，属于中考常考题型． 【变式14-2】．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE． 【答案】见解析 【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论． 【解析】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴BC//DE． 【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键． 【变式14-3】．如图，，则求的面积．    【答案】 【分析】连接，根据三角形面积的关系，由得出，，根据得出，继而求出，最后利用求出结果． 【解析】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是添加辅助线，合理利用高相同的三角形的面积之比等于底边之比． 【变式14-4】．如图，三角形的高，边，点E在边上（点E不与B，C重合），连接．若的长为，三角形的面积为，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)当x为多少时，三角形的面积比三角形的面积大？ 【答案】(1) (2)当x为时，三角形的面积比三角形的面积大 【分析】本题考查了三角形的面积， （1）先求出底边的长，再根据三角形的面积公式计算即可； （2）先求出的面积，然后根据已知条件列出方程求解即可． 【解析】（1）∵ ∴ ∵三角形的高，三角形的面积为， ∴； （2）∵三角形的面积， 三角形的面积比三角形的面积大， ∴， 解得， 即当x为时，三角形的面积比三角形的面积大． 【变式14-5】．如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)理由见解析； (2) 【分析】（1）根据等底等高的三角形的面积相等解答，以及等式的性质进行解答即可． （2）利用△ABC和△BCD的面积列式整理即可得解． 【解析】（1）解：①△ABC与△BCD，②△ADB与△ADC，③△AMB与△DMC； 选择①说明：设AD、BC间的距离为h， 则S△ABC＝，S△BCD＝， ∴△ABC与△DBC的面积相等； 同理：△ADB与△ADC的面积相等． ∵△ABC与△DBC的面积相等， ∴S△ABC﹣S△BCM＝S△DBC﹣S△BCM，即，S△AMB＝S△DMC． （2）解：∵S△ABC＝S△BCD， ∴AC•BE＝BD•CF， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离相等，熟记等底等高的三角形的面积相等是解题的关键． 一、单选题 1．以下列线段a，b，c为边，能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键在于能够熟练掌握构成三角形的条件．根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行求解判断即可． 【解析】解：A、，故不能构成三角形，不符合题意； B、，故不能构成三角形，不符合题意； C、，故能构成三角形，符合题意； D、，故不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 2．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【解析】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：D． 3．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可． 【解析】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键． 4．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形露出的部分为钝角，即可求解． 【解析】解：依题意，三角形露出的部分为钝角， ∴我们可以判定此三角形的类型为钝角三角形 故选：A． 5．在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类即可求解，掌握三角形的分类是解题的关键． 【解析】解：∵，和无法确定， ∴可能是锐角三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形， 故选：． 6．如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大（    ）      A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线，，熟知三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是此题的关键． 【解析】∵为的边上的中线， ∴， ∴的周长与的周长大：， 故选：A． 7．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【解析】解：A、∵是的中线， ∴，原结论正确，不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴，原结论正确，不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴，原结论错误，符合题意； D、∵是的高， ∴，原结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键． 8．如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【答案】C 【分析】由折叠的性质可求解． 【解析】解：当与重合时，折痕是的角平分线； 当点A与点B重合时，折叠是的中垂线， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键． 二、填空题 9．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．熟练掌握常见的三角形的稳定性在实际生活中的应用，如钢架桥、房屋架梁等是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【解析】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据三角形三边关系解答． 【解析】由题意得：, 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边． 11．如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是 ． 【答案】AC 【分析】根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称为三角形这条边上的高）即可得． 【解析】， 由三角形的高的定义可知，线段为中边上的高 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，熟记定义是解题关键． 12．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【解析】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 13．如图，在中，于点，，，，边上的高是．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形的高，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据，和，求出，利用，进行计算即可． 【解析】解：∵在中，是边上的高，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高的三角形的面积比等于底边比，是解题的关键． 15．如图，在中，为上一点，为上一点，，连接交于点．若则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是三角形的面积，与三角形的高有关的计算，理解同高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键，由，可得，从而可得答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 16．如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、，得到，记其面积为，，按此规律继续下去，可得到，则其面积 ． 【答案】361 【分析】根据三角形等高时底之比等于面积比得出的面积为面积的两倍，则的面积是的2倍…，以此类推，得出的面积． 【解析】 连接， , ,根据，的面积为的2倍，所以的面积为2；同理的面积为的2倍，所以的面积为4； 以此类推：的面积为2，的面积为4，的面积为2，的面积为4 ∴，即面积为面积的19倍，以此类推的面积为面积的倍，所以． 故答案为：361 【点睛】利用三角形的底与高之间的数量关系判断面积的数量关系是解决本题的关键． 三、解答题 17．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【解析】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 18．若a、b、c是的三边的长，化简． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，整式的加减，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的意义．由三角形三边关系定理得，由绝对值的意义，即可化简原式． 【解析】解：∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∴ ． 19．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以下列各组线段为边是否能组成三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，（，）． 【答案】(1)不能； (2)能； (3)不能． 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．只要三条边中两条短边之和大于最长的边，这三条边就可以组成三角形． 因为，不满足两边之和大于第三边，所以这三条边不能组成三角形； 因为，满足两边之和大于第三边，所以这三条边能组成三角形； 因为，不满足两边之和大于第三边，所以这三条边不能组成三角形． 【解析】（1）解：， 不能组成三角形； （2）解：， 能组成三角形； （3）解：，， 、为较短边的长度， 又， 不能组成三角形． 20．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可． （2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． 【解析】（1）解：如图，线段即为所求．    （2）如图，线段即为所求． （3）到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 21．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的中线的定义画出图形即可． 【解析】（1）如图，即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)28 【分析】（1）根据折叠的性质画出图形； （2）根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可； （3）根据折叠的性质得到，，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比求出的面积，进而得到的面积，即可． 【解析】（1）解：如图，直线和点即为所求； （2）解：∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形的对应边、对应角相等是解题的关键． 23．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【解析】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 三角形的有关概念（十四大题型） 学习目标 1.了解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛 2.掌握并会应用三角形三边间的关系； 3.理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用. 知识点1 三角形的定义及分类 1. 定义： 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的顶点：三个点叫作三角形的顶点. ①三角形的边： 连接顶点的三条线段叫作三角形的边， 边的长度叫作边长； ②三角形的角： 顶点处两边组成的角叫作三角形的内角， 简称三角形的角； (2) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. ③直角三角形：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.在直角三角形中，直角的两条边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边． 直角三角形 可用符号“Rt △”表示，例如直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”，读作“直角三角形ABC”. (2)按边分类： 要点： ①等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形 ②等边三角形： 三边都相等的三角形叫作等边三角形. ③既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形． 例如，有45°角的三角尺的形状是等腰直角三角形. 知识点2 三角形的三边关系 如果两条线段之和小于等于第三条线段，那么这三条线段不能组成一个三角形，我们基于此给出如下公理： 公理：三角形任意两边的和大于第三边. 此公理也称为“三角不等式”，其确切意思是： 如果三角形的三条边长分别是a、b、c，那么它们必定满足“三角不等式”，即a＋b＞c、b＋c＞a、c+a＞b．利用不等式的性质，由上述公理可以推出： 推论：三角形任意两边的差小于第三边. .由这个公理，如果三条线段的长度不满足“三角不等式”，那么它们不能组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”，那么它们可以组成一个三角形. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 知识点3 三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 给定一个三角形，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线， 此顶点和垂足之间的线段叫作三角形（此边上）的高 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 连接一个顶点及其对边中点的线段叫作三角形（此边上）的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 要点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形（此角）的角平分线.. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 严格地说， 三角形的高、 中线与角平分线均需明确所在的边或角 ，但在不会引起混淆时也可以省略. 知识点4 三角形的稳定性     三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．   （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【即学即练1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练3】下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，2，4 D．1，1，2 【即学即练4】三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【即学即练5】用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【即学即练6】在中，是边上的中线，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型1:三角形的识别 【典例1】．下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【变式1-1】．如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2:三角形的有关概念（三角形的基本元素） 【典例2】．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【变式2-1】．如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．    (1)图中共有三角形__________个． (2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______． 【变式2-2】．观察图形． (1)图中有几个三角形？把它们一一写出来； (2)写出的边、顶点及三个内角； (3)以为内角的三角形有哪些？ (4)以AB为边的三角形有哪些？ 题型3:三角形的分类 【典例3】．有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【变式3-1】．三角形按边长关系，可分为（    ） A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三角形 D．直角三角形，等腰三角形 【变式3-2】．三角形的三个角的度数分别是，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-3】．若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 题型4:三角形的稳定性 【典例4】．下列由几根木条用钉子钉成如下图形，其中不具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【变式4-1】．如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是 ． 题型5:构成三角形的条件 【典例5】．以下列长度的各组线段为边，能够组成三角形的是（   ） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，9，1 D．5，2，2 【变式5-1】．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（    ） A．，， B．，，， C．，， D．，， 【变式5-2】．四根小棒的长度分别为，，和，从中选出三根小棒围成一个三角形，这个三角形的周长是( )． 题型6:确定第三边的取值范围 【典例6】．在三角形中，，则x的取值范围为 . 【变式6-1】．已知三角形三边长分别为，，，则写出所有符合条件的整数的值 ． 【变式6-2】．三角形三边之长分别为3，10，，则a的取值范围为 ． 【变式6-3】．已知一个三角形的两边长分别为和，它的第三边长是偶数，且其长度也是整数．则这个三角形的周长是 ． 题型7：三角形三边关系的应用 【典例7】．设三边长分别为，则 ． 【变式7-1】．若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，第三边长c为奇数，则 ． 【变式7-2】．若a，b，c为的三边，则 （填“，，”）． 【变式7-3】．已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 题型8：画三角形的高 【典例8】．作的边上的高，下列作法中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式8-1】．用尺规完成作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，作出的边上的高．    【变式8-2】．如图，在中，，，则边上的高线为线段 ． 【变式8-3】．如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高． 题型9：与三角形的高有关的计算问题 【典例9】．如图，在中，，，，边上的高，则的长为 ． 【变式9-1】．已知的两条高分别是10和20，若第三边上的高也是整数，那么这条高最短是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式9-2】．如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于 ． 【变式9-3】．如图，点D、E分别在上，相交于点F，设，，，，则与的大小关系是（   ） A．不能确定 B． C． D． 题型10：根据三角形的中线求长度 【典例10】．在中，如果D是的中点，那么是的 ， ． 【变式10-1】．如图，在中，是中线，若，则的长为 ． 【变式10-2】．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】．如图，是的中线，，，若的周长是，则的周长是 ． 【变式10-4】．已知中的中线将的周长分为10和15两部分，且，则 ． 题型11：根据三角形的中线求面积 【典例11】．如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式11-1】．如图，在中，已知点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分面积为（       ） A． B． C． D． 【变式11-2】．如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【变式11-3】．设的面积为1．如图①，分别是的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是的4等分点，，相交于点，与的面积差记为…，依此类推，则的值为（       ）    A． B． C． D． 题型12：三角形角平分线的定义及应用 【典例12】．如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【变式12-1】．如图，在中，，是的角平分线，则（    ）    A． B． C． D． 【变式12-2】．下列说法错误的是（    ） A．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分 C．三角形的中线、角平分线、高都是线段 D．三角形的三条高不一定都在三角形的内 【变式12-3】．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【变式12-4】．如图所示，若有，，则下列结论中错误的是（   ） A．是的平分线 B．是的平分线 C． D． 题型13：利用网格求三角形的面积 【典例13】．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，以A、B、C为顶点的三角形的面积为1，则点C的个数为（点C在格点上）（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式13-1】．如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法判断 题型14：三角形的有关概念解答综合题（含作图题） 【典例14】．已知三角形的三边长分别为，化简：． 【变式14-1】．如图，在°．    (1)画出边上的中线； (2)点到直线的距离是线段 的长； (3)画出边上的高； (4)点到直线的距离是线段 的长．（不需写画法和结论） 【变式14-2】．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE． 【变式14-3】．如图，，则求的面积．    【变式14-4】．如图，三角形的高，边，点E在边上（点E不与B，C重合），连接．若的长为，三角形的面积为，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)当x为多少时，三角形的面积比三角形的面积大？ 【变式14-5】．如图，已知AD∥BC． (1)找出图中所有面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由． (2)如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，＝，求的值．（直接写出答案） 一、单选题 1．以下列线段a，b，c为边，能构成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各图中，正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． C． D． 3．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 4．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 5．在中．若，则是（   ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6．如图，CM是的中线，，，则的周长比的周长大（    ）      A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 二、填空题 9．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为 ． 10．三角形的三边分别为 5， ，9，则的取值范围为 . 11．如图所示：在Rt△ABC中，∠A＝90°，边AB上的高是 ． 12．若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 13．如图，在中，于点，，，，边上的高是．则 ． 14．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么 ． 15．如图，在中，为上一点，为上一点，，连接交于点．若则的面积为 ． 16．如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、，得到，记其面积为，，按此规律继续下去，可得到，则其面积 ． 三、解答题 17．（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 18．若a、b、c是的三边的长，化简． 19．下列各组中的数分别表示三条线段的长度，试判断以下列各组线段为边是否能组成三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，（，）． 20．如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1)作边上的高； (2)过点D作直线的垂线，垂足为E； (3)点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 21．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 22．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 23．阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$