精品解析：广东省东莞市南城开心实验学校、礼仁外国语学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省东莞市南城开心实验学校、礼仁外国语学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 代数式中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】分母中含有字母的式子就叫做分式；注意是一个具体的数，不是字母． 本题考查分式的定义，关键是分式定义的熟练掌握． 【详解】解：在中，分式有，共1个， 故选：A 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，故C符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为，已知，则锂的原子半径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， ． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为，故本选项错误，不合题意； B、应为，故本选项错误，不合题意； C、应为，故本选项错误，不合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 5. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．找出最简公分母是解此题的关键． 把分式方程化为整式方程，乘以最简公分母即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程的最简公分母是， ∴把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以即可． 故选C． 6. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定，根据题意找出全等条件，选择恰当的判定方法是解题的关键． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， （）， 故答案：B． 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 8. 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），用到的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除． 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 【详解】解：A、正三角形每个内角是，能整除，能密铺，故选项不符合题意； B、正方形的每个内角是，能整除，4个能密铺，故选项不符合题意； C、正五边形每个内角，不能整除，不能密铺，故选项符合题意； D、正六边形的每个内角是，能整除，3个能密铺，故选项不符合题意； 故选：C． 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 多项式的公因式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了公因式．根据公因式的确定方法解答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 12. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答，即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为2，6， ∴， 即该三角形第三边长a的取值范围是． 故答案为： 13. 如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C， 由对称性可得，， ， 当三点共线时，最短， 点P位置应选在点C处． 故答案为：C． 14. 某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据整式的混合运算法则计算出结果，再根据题意即可得出“？”处的数字． 【详解】解：， 根据题意得，， 即“？”处的数字是2024， 故答案为：2024． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解． 【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB， ∴， ∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴△AFH的周长， 故答案为：6． 【点睛】本题考查尺规作图—线段垂直平分线、等腰三角形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：先提负号，再提最大公约数2，然后利用完全平方公式分解因式． 【详解】解： 17. 如图，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】；3． 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算即可，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 19. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形高的定义得出，进而得出，，根据平分，得出，进而求得根据，即可求解． 【详解】解：是边上的高， ， ， ， ，且，， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，三角形角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 20. 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题． 图1是一个长为4b，宽为长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：______． （2）如图3，正方形的边长为a，正方形的边长b，点E，G分别在，边上．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图2中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 解：图2中小正方形是边长为的正方形，因此面积为，图2大正方形的边长为，因此面积为，4个空白长方形的面积为，所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ． 21. （1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作， 使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点在线段上时，的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明:∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）证明: 在上取点，使得，连接， ∵和都是等边三角形. ∴，，， ∴是等边三角形, ∴，， ∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点, 点为的中点, ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴点为的中点； （3）作，使，连接， ∵是等边三角形, ∴ ，， ∴， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时， 的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． （1）如果点是点关于点的“关联点”，那么___________； （2）点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； （3）点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，等腰三角形性质，解不等式等知识点，解题的关键是读懂题意； （1）根据点是点关于点的“关联点”，根据对称性质即可解答； （2）根据点关于点的“关联点”为，设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为．得到点到直线的距离等于点到直线的距离，点到直线的距离等于点到直线的距离．即可得出，设是的中点，根据是以为底的等腰三角形，即可得出，计算面积即可； （3）根据点关于点的“关联点”为，得出和，再根据以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，即可列不等式求解即可； 【小问1详解】 点是点关于点的“关联点”， ； 【小问2详解】 ∵点关于点的“关联点”为， 设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为． ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， 点到直线的距离等于点到直线的距离． 设是的中点． ∵是以为底的等腰三角形， ∴． ∴点的纵坐标为2． ∴． ∴． ∴． ∴． 小问3详解】 点关于点的“关联点”为， ， 以为边的等腰直角三角形只在第一象限内， 解得：， 时，不能构成三角形， 故， 故当且时，以为边的等腰直角三角形只在第一象限内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省东莞市南城开心实验学校、礼仁外国语学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 代数式中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 锂是一种银白色、质较软、密度最小金属．锂的原子半径为，已知，则锂的原子半径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）． A. B. C. D. 6. 如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 多项式的公因式是______． 12. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是_______． 13. 如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母） 14. 某科技馆中“数理世界”展厅Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是______． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 分解因式： 17. 如图，交于点．求证：． 18 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求． 20. 我国数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请利用“数形结合”的思想解决以下问题． 图1是一个长为4b，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼得一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系：______． （2）如图3，正方形的边长为a，正方形的边长b，点E，G分别在，边上．若，，求图中阴影部分的面积． 21. （1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 22. 在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”． 例如：如图，点关于原点的“关联点”是． （1）如果点是点关于点的“关联点”，那么___________； （2）点关于点“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积； （3）点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $