第01讲 幂的乘除（4个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

第01讲 幂的乘除 目录 题型归纳 1 题型01同底数幂相乘 3 题型02幂的乘方运算 5 题型03 幂的乘方的逆用 6 题型04积的乘方运算 8 题型05同底数幂的除法运算 9 题型06 零指数幂 11 题型07负整数指数幂 12 题型08用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 题型09 用科学记数法表示绝对值小于1的数 15 分层练习 17 夯实基础 17 能力提升 31 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点4．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 题型01同底数幂相乘 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】该题主要考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则． 根据互为相反数的偶次幂相等，可化为同底幂的乘法，根据同底数幂的乘法可得答案． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则p的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法运算法则进而得出答案． 【详解】解：∵， ， 解得：． 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法法则计算即可； 本题考查了同底数幂相乘，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02幂的乘方运算 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐个判断即可得． 【详解】解：①，则原算式错误； ②，则原算式正确； ③，则原算式正确； ④，则原算式错误； 综上，正确的是②③， 故答案为：②③． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知n为正整数，且．求的值． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握幂的乘方法则是解此题的关键． 【详解】解：因为n为正整数，且， 所以． 题型03幂的乘方的逆用 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．20 B．30 C．100 D．1000 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 题型04积的乘方运算 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算：．括号内依次填入： 、 、 【答案】 2 / 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题可根据积的乘方运算法则，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键； 根据（n为正整数），直接解答即可． 【详解】解： 故答案为：，2，； 12．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）在“8.2幕的乘方与积的乘方”中，我们探索得到了积的乘方的法则：（n是正整数）．请类比该法则的推导过程，解决下列问题： （1）计算（n是正整数）； （2）尝试用文字表述第（1）小题中得到的结论． 【答案】（1） （2）商的乘方，等于把分子，分母分别乘方，再把所得的幂相除． 【知识点】积的乘方运算 【分析】（1）根据公式直接计算； （2）根据定义解答． 【详解】解：（1）； （2）商的乘方，等于把分子，分母分别乘方，再把所得的幂相除． 【点睛】此题考查商的乘方运算法则，正确理解积的乘方计算法则是解题的关键． 题型05同底数幂的除法运算 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于算式，括号中应填入的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴应填入的是， 故选：D ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则“？” ． 【答案】2 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：， ∴“？”， 故答案为：2 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）若（且都是正整数），则．利用上面的结论解决下面问题：如果，求x的值． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，列出关于x的方程，进行求解即可． 【详解】解：因为， 所以，所以， 解得． 题型06零指数幂 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值为（    ） A． B．2025 C．1 D． 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查零指数幂，理解并掌握零指数幂运算法则是解题关键．根据零指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 17．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】根据零指数幂的法则即可写出答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】此题考查零指数幂的法则，掌握“任何一个不等于零的数的零次幂都等于1”是解题关键． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了有理数的乘方、负指数幂、零指数幂，熟练运用其运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方、负指数幂、零指数幂，再合并； （2）先计算有理数的乘方、负指数幂、零指数幂，再合并． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型07负整数指数幂 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C．2025 D．1 【答案】A 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 20．（20-21七年级下·河北邢台·期末）一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是 ； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为 ．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案； （2）利用有理数的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解：（1）一个正方体集装箱的棱长为， 这个集装箱的体积是：， 答：这个集装箱的体积是； 故答案是：； （2）一个小立方块的棱长为， （个， 即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满． 故答案是：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用分数或小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，科学记数法表示的原数，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用负整数指数幂计算； （2）把小数点向左移动4位即可； （3）利用负整数指数幂计算； （4）利用负整数指数幂计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型08用科学记数法表示绝对值大于1的数 22．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）肇庆市图书馆现有纸质藏书约万册， 万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 23．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年12月中旬，上线慕课数量超过万门，学习人数达人次，建设和应用规模居世界第一．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型09用科学记数法表示绝对值小于1的数 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿分之三秒．百亿分之三用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先将百亿分之三化为数字，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：百亿分之三化为数字， 用科学记数法可以表示为， 故选：B． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧 （用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先列出运算式子，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． （1）将原数写成的形式，即可求解； （2）将原数写成的形式，即可求解； （3）将原数写成的形式，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）． （3） 夯实基础 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：， 故选：C ． 2．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】先根据有理数的乘方，零指数幂计算，然后比较大小，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，零指数幂，有理数的比较大小，熟练掌握有理数的乘方运算法则，零指数幂法则是解题的关键． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、积的乘方运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了积的乘方，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 由可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故选：． 4．若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 根据即可确定． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 5．若，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】由同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案． 【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意， B.，故该选项计算错误，不符合题意， C.，故该选项计算正确，符合题意， D.，故该选项计算错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 8．下列计算中，①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式除以单项式、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了同底数幂的除法，单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，多项式除以单项式等知识，根据相关知识逐题计算即可求解． 【详解】解：①，故原式计算正确，符合题意； ②，故原式计算错误，不合题意； ③，故原式计算错误，不合题意； ④，故原始计算正确，符合题意． 故选：B 二、填空题 9．若，则“？” ． 【答案】2 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：， ∴“？”， 故答案为：2 ． 10．一种液体，每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了试验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 滴． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】此题考查了同底数幂的除法的应用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：（滴） 故答案为： 11．计算： ． 【答案】4 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂，乘方公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：4． 12．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂相乘等知识点， 根据幂的乘方法则计算即可； 根据幂的乘方法则计算即可； 根据幂的乘方和同底数幂相乘的法则计算即可； 熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则是解决此题的关键． 【详解】解：； ； ； 故答案为：，，． 13．若，，则 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的幂的乘方，同底数幂除法的逆用，将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：2． 14．（幂的运算及逆用） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）已知，则 值 ； 【答案】 432 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的运算，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和除法，积的乘方，幂的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据同底数幂的除法计算即可； （3）根据积的乘方计算即可； （4）根据幂的乘方计算即可； （5）根据积的乘方计算即可； （6）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆运用计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：； （5）， 故答案为：； （6）∵，， ∴， 故答案为：432． 三、解答题 15．我国陆地面积约是．平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量．求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧多少吨煤所产生的能量． 【答案】吨 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据“总面积×单位面积得到的能量=总面积得到的总能量”列式计算即可． 【详解】解：依题意，得（t） 答：在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧吨煤所产生的能量． 【点睛】本题考查了科学记数法表示数的乘法，熟悉科学记数法的表达要求是解决本题的关键． 16．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【知识点】同底数幂相乘 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加即可得出答案． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查整式同底数幂相乘和同底数幂相除． （1）根据题意先计算同底数幂相乘，再计算同底数幂相除即可； （2）先计算乘法再计算除法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．试说明：（m为正整数）能被17整除． 【答案】见解析 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键 根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法及乘法分配律的运算法则，把已知式子化为，从而得出结论． 【详解】解：原式 ， 所以（m为正整数）能被17整除． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方法则计算即可得； （2）根据幂的乘方法则计算即可得； （3）根据幂的乘方法则计算即可得； （4）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可得． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 20．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方和同底数幂的乘法，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 能力提升 一、单选题 21．下列计算中，①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式、同底数幂相乘、多项式除以单项式 【分析】本题考查了同底数幂的除法，单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，多项式除以单项式等知识，根据相关知识逐题计算即可求解． 【详解】解：①，故原式计算正确，符合题意； ②，故原式计算错误，不合题意； ③，故原式计算错误，不合题意； ④，故原始计算正确，符合题意． 故选：B 22．下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 分为正奇数、为正偶数两种情况进行讨论，即可判断结论①；分为奇数、为偶数两种情况进行讨论，即可判断结论②；当时，等式成立，无论取何值，等式，均成立，由此即可判断结论③；分别对为偶数、为奇数以及为偶数、为奇数两种情况进行讨论，即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：①当为正奇数时，等式一定成立， 当为正偶数时，，等式不成立， 故结论①错误； ②当为奇数时，，等式不成立， 当为偶数时，等式成立， 故结论②错误； ③当时，等式成立， 无论取何值，等式，均成立， 故结论③错误； ④当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 等式不一定成立， 故结论④正确； 综上，正确的结论为，共个， 故选：． 二、填空题 23．已知，，则 ． 【答案】12 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可． 【详解】 把，代入，原式． 24．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空： （1）若f（1）＝，则f（2）＝ ； （2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝ （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、同底数幂相乘 【分析】（1）将变形为，再根据定义新运算：计算即可求解； （2）根据（k≠0），以及定义新运算：将原式变形为，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 三、解答题 25．已知，当时，求m的值． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键; 根据同底数幂的乘法和幂的乘方，可得到关于m的一元一次方程，解方程即可解答. 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 当时，， 解得：． 26．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方和同底数幂的乘法，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 幂的乘除 目录 题型归纳 1 题型01同底数幂相乘 3 题型02幂的乘方运算 5 题型03 幂的乘方的逆用 6 题型04积的乘方运算 8 题型05同底数幂的除法运算 9 题型06 零指数幂 11 题型07负整数指数幂 12 题型08用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 题型09 用科学记数法表示绝对值小于1的数 15 分层练习 17 夯实基础 17 能力提升 31 知识点1．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点2．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点3．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点4．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 题型01同底数幂相乘 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则p的值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型02幂的乘方运算 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知n为正整数，且．求的值． 题型03幂的乘方的逆用 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．20 B．30 C．100 D．1000 8．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）已知，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 题型04积的乘方运算 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算：．括号内依次填入： 、 、 12．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）在“8.2幕的乘方与积的乘方”中，我们探索得到了积的乘方的法则：（n是正整数）．请类比该法则的推导过程，解决下列问题： （1）计算（n是正整数）； （2）尝试用文字表述第（1）小题中得到的结论． 题型05同底数幂的除法运算 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于算式，括号中应填入的代数式是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则“？” ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）若（且都是正整数），则．利用上面的结论解决下面问题：如果，求x的值． 题型06零指数幂 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值为（    ） A． B．2025 C．1 D． 17．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）计算： ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型07负整数指数幂 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算的值是（    ） A． B． C．2025 D．1 20．（20-21七年级下·河北邢台·期末）一个正方体集装箱的棱长为． （1）用科学记数法表示这个集装箱的体积是 ； （2）若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块的个数为 ．（用科学记数法表示） 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）用分数或小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08用科学记数法表示绝对值大于1的数 22．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）肇庆市图书馆现有纸质藏书约万册， 万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年12月中旬，上线慕课数量超过万门，学习人数达人次，建设和应用规模居世界第一．数据用科学记数法表示为 ． 题型09用科学记数法表示绝对值小于1的数 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿分之三秒．百亿分之三用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧 （用科学记数法表示）． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)． 夯实基础 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．若，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D．25 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算中，①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．若，则“？” ． 10．一种液体，每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了试验，发现1滴杀菌剂可以杀死个此种细菌．若要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂 滴． 11．计算： ． 12．计算： （1） ； （2） ； （3） ． 13．若，，则 ． 14．（幂的运算及逆用） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）已知，则 值 ； 三、解答题 15．我国陆地面积约是．平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量．求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧多少吨煤所产生的能量． 16．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．计算： (1)； (2)． 18．试说明：（m为正整数）能被17整除． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 能力提升 一、单选题 21．下列计算中，①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．下列结论中，正确的个数是（   ） ①当m为正整数时，等式一定成立；②等式，无论m为何值，都不成立；③等式，，都不成立；④等式，都不一定成立． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 23．已知，，则 ． 24．我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空： （1）若f（1）＝，则f（2）＝ ； （2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝ （用含n和k的代数式表示，其中n为正整数） 三、解答题 25．已知，当时，求m的值． 26．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$