精品解析：河南省洛阳市新安县职业高级中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

新安职高2024-2025学年第一学期期末考试 普通类高三数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集的定义直接得到结果. 【详解】. 故选：D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 3. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得. 故选：C. 4. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 5. 底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及圆柱、圆柱侧面积求法列方程求圆锥的高与半径的关系，再应用圆锥、圆柱的体积公式求体积比. 【详解】由题意，令圆锥的高为，底面圆的半径为，则圆柱的高， 所以，根据侧面积相等有，即， 综上，圆柱体积，圆锥体积， 所以. 故选：D 6. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解. 【详解】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数. 故选：C. 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算和，再根据和角公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点在函数上得出等式，再同构设新函数，再求导函数得出函数的单调性进而得出等式的值. 【详解】因为点为函数和图象的交点， 所以，即的根为. 因为，所以，故，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象上的特殊点和对称轴可求函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质，图像变换，诱导公式逐项判断即可. 【详解】由图可知，，周期，则，故A正确； 由，得，即， 解得，，即，； 因为，所以，则； 对于B，的图象向右平移个单位得 ，故B正确； 对于C，由，得，根据正弦函数的图象可知， 和，即和是函数的两个极值点，故C错误； 对于D，由，得，则，此时，则在区间上的最大值为，故D正确； 故选：ABD 10. 已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 若满足的直线恰有一条，则 D. 若满足的直线恰有三条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确. 【详解】A：当时，因为，所以，故A正确； B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点） 当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为， 代入双曲线方程为，解得，此时弦长为， 由于不一定等于，故B错误； C：若满足的直线恰有一条， 由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交， 所以， 此时，故C正确； D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交， 所以，所以， 又，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. ，，成等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理确定函数的性质，再逐项分析判断即可. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得，则， 由为奇函数，得，则， 于是，即， 对于A，，是周期为4的周期函数，A正确； 对于B，由，得的图象关于点对称，B错误； 对于C，，由，得， 因此，，成等差数列，C正确； 对于D，，因此 ，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______ 【答案】8 【解析】 【分析】先计算得到抽取比例为，再计算得到答案. 【详解】解：田径队运动员的总人数是，要得到14人的样本，占总体的比例为， 于是应该在男运动员中随机抽取(名)， 故答案为：8 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形的面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 14. 定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据曲率的定义得到曲率K，再应用导数求解曲率K的最大值即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以曲线（其中）的曲率 ， 所以 ， 由，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：平面平面，结合面面平行的性质分析证明； （2）建系标点，求平面、平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：，平面， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则， 令，则， 可得为平面的一个法向量； 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【小问1详解】 ，，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 17. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 期望为2 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算公式及互斥事件的概率计算公式即可得出； （2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4，相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式及数学期望的计算公式计算即可． 【小问1详解】 记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． 【小问2详解】 根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）直线恒过定点，理由： 设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到； 方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出； （3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . 【小问3详解】 略 【点睛】知识点点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 19. 对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， （1）若数列，写出，并求. （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. （3）若数列满足，求数列的个数. 【答案】（1）； （2）不存在适合题意的数列，理由如下： 对于数列， 所以. 因为数列为数列，所以. 对于数列，令， 则对于数列中相邻的两项， 若，则；若，则. 记中有且个，则有个1， 则. 因为与的奇偶性相同，与的奇偶性不同， 所以不存在符合题意的数列. （3） 【解析】 【分析】（1）利用变换的定义即可得解； （2）利用数列的定义，记中有个，有个，则，进而即得； （3）由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【小问1详解】 因为，由变换的定义， 得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 首先证明. 对于数列，有， ， . 因为， ， 所以，故. 其次，由数列为数列可知，，解得， 这说明数列中任意相邻两项不同的情况有2次. 则数列中的个数为时，符合题意的数列都有个， 所以数列的个数为. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安职高2024-2025学年第一学期期末考试 普通类高三数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 已知，点为边上一点，且满足，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 10. 已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为 C. 若满足的直线恰有一条，则 D. 若满足的直线恰有三条，则 11. 已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. ，，成等差数列 D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______ 13. 如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于_____. 14. 定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点. （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 17. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. （1）求该选手恰好命中一次的概率； （2）求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 18. 已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； （3）直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 19. 对于数列，定义变换，将数列变换成数列，记，，对于数列与，定义.若数列满足，则称数列为数列， （1）若数列，写出，并求. （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得？若存在，写出一个数列；若不存在，说明理由. （3）若数列满足，求数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $