拓展9-2 平面向量及其应用的五个易错点-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展9-2 平面向量及其应用的五个易错点 一、向量概念模糊 四、向量成锐（钝）角忽略共线的情况 二、确定向量夹角忽略向量的方向 五、向量方向相同或相反找不准倍数 三、忽略向量求模需开根 一、向量概念模糊 易错分析：(1)注意0与的区别，0是一个实数，是一个向量，且； (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同； (3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性； (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上； (5)向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况. 例1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 变式1-1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 变式1-2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A错误； 对于B，如平行四边形中，与共线，但四点不共线，B错误； 对于C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C错误； 对于D，向量相等，即大小相等、方向相同，D正确． 故选：ABC. 变式1-3．（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 【答案】AC 【详解】对于A，向量与向量是共线向量，则可能平行，因此不一定在同一条直线上，即A错误； 对于B，若，则或，即B正确； 对于C，向量不能比较大小，因此错误，即C错误； 对于D，由平面向量的共线定理可知D正确. 故选：AC 二、确定向量夹角忽略向量的方向 易错分析：在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点 例2．已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以是直角三角形． 又为的外心，所以为斜边的中点，所以． 如图，过点作，垂足为， 故在上的投影向量为， 又， ， 故，因此在上的投影向量为. 故选：D． 变式2-1．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 变式2-2．如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由可知，， 则， 所以； 又为边上的中线，所以． （2）由得， 又，所以向量与的夹角为，则， 由图形可知，的大小等于向量与的夹角， 又， ， ， 所以， 又，所以． 变式2-3．中，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，由于，则的夹角是， 则. 故选：B 三、忽略向量求模需开根 易错分析： 求模的时候多了平方，忘记需将平方后的值进行开根 例3．已知向量满足，则 ． 【答案】2 【详解】由，得，整理得， 所以. 故答案为：2 变式3-1．已知向量的夹角为，且，，则 ． 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 变式3-2．（多选）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】AC 【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则， 所以，A对； 对于B选项，在等式两边平方可得， 即，则，则， 所以，故，B错； 对于C选项，因为，则， 所以，， 所以 ，故，C对； 对于D选项，， 若与共线，则存在，使得， 即，可得，即， 这与矛盾，假设不成立，D错. 故选：AC. 变式3-3．已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 四、向量成锐（钝）角忽略共线的情况 易错分析：为钝角且与不共线；为锐角且与不共线； 例4．已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题设： 当时， ， ，注意当时， ，故充分性不成立. 当与的夹角为锐角时，，解得，故必要性成立. 故选：B. 变式4-1．设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 由题意知，，不共线，所以， 所以与的夹角为锐角， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件； 故选：C. 变式4-2．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 变式4-3．设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为， 故. 因为与向量的夹角为钝角， 所以且向量与向量不共线， 所以且， 解之得：且， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 五、向量方向相同或相反找不准倍数 例5．已知向量，且与方向相反，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知与是共线向量且方向相反， 所以,且, 所以，解得(舍去) 故选：D. 变式5-1．已知，，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若与方向相反，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，即，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得. （2）因为，且，所以， 所以与不共线， 又与方向相反，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 变式5-2．已知，若与方向相同，则实数等于（    ） A．2 B．4 C．-2或4 D．-2 【答案】B 【详解】因为与方向相同，所以可设，， 所以， 所以， 所以，又， 解得，， 故选：B. 变式5-3．已知向量，，且与方向相同，则 ． 【答案】 【详解】由题设，则或， 当时，，，则，且与方向相同； 当时，，，则，且与方向不同； 所以. 故答案为： 1．设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为， 则，解得， 即等价于， 若为钝角，则，即充分性成立； 若，则为钝角或平角，即必要性不成立； 综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 【答案】CD 【详解】A不正确，因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小； B不正确，由只能判断两向量长度相等，并不能判断方向； C正确，，且与同向，由两向量相等的条件可得； D正确，符合相等向量的定义. 故选：CD. 23．已知向量，满足，，则 ． 【答案】2 【详解】由，得，整理得， 又，所以. 故答案为：2 24．在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 25．在中，若，能否判断的形状？ 【答案】无法判断的形状 【详解】由可知，， ，又，是锐角， 又未必是的最大内角，故无法判断的形状. 26．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 即，，故， 故选：D. 27．（多选）下列说法正确的是（    ） A．在四边形中，，则四边形是平行四边形 B．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底 C．已知O为的外心，边长为定值，则为定值； D．已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】A选项，，故且，故四边形是平行四边形，A正确； B选项，若是平面内所有向量的一个基底，， 故平行，故不能作为基底，B错误； C选项，取的中点，连接， 因为O为的外心，故⊥， 则， 其中， 故 ， 边长为定值，则为定值，C正确； D选项，两边平方得，， 故， 则在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 28．已知点为外接圆的圆心，且，则 . 【答案】/ 【详解】由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故. 故答案为：    29．已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知 ， 而，所以当时，有最小值为， 故选：C. 30．已知等边三角形的边长为4，点、满足，，与交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，故A正确；    对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为上靠近点的四等分点，则，故C正确； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以， 则，故D错误. 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展9-2 平面向量及其应用的五个易错点 一、向量概念模糊 四、向量成锐（钝）角忽略共线的情况 二、确定向量夹角忽略向量的方向 五、向量方向相同或相反找不准倍数 三、忽略向量求模需开根 一、向量概念模糊 易错分析：(1)注意0与的区别，0是一个实数，是一个向量，且； (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同； (3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性； (4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上； (5)向量平行与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可以重合；但直线平行不包含直线重合的情况. 例1．下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 变式1-1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 变式1-2．（多选）下列说法错误的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与是共线向量，则四点共线 C．若非零向量与共线，则 D．若，则 变式1-3．（多选）下列说法错误的是（   ） A．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上 B．若，则或 C．若向量满足，且与同向，则 D．向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使 二、确定向量夹角忽略向量的方向 易错分析：在判断两向量的夹角时,要注意把两向量平移到共起点 例2．已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 变式2-2．如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．    (1)用向量表示； (2)求的大小． 变式2-3．中，，，，（    ） A． B． C． D． 三、忽略向量求模需开根 易错分析： 求模的时候多了平方，忘记需将平方后的值进行开根 例3．已知向量满足，则 ． 变式3-1．已知向量的夹角为，且，，则 ． 变式3-2．（多选）已知向量、、都是单位向量，，则（   ） A． B． C． D．与共线 变式3-3．已知向量满足，则（   ） A．2 B．7 C． D． 四、向量成锐（钝）角忽略共线的情况 易错分析：为钝角且与不共线；为锐角且与不共线； 例4．已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-1．设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 变式4-3．设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 五、向量方向相同或相反找不准倍数 例5．已知向量，且与方向相反，则（   ） A． B．0 C． D． 变式5-1．已知，，. (1)若与垂直，求实数的值； (2)若与方向相反，求实数的值. 变式5-2．已知，若与方向相同，则实数等于（    ） A．2 B．4 C．-2或4 D．-2 变式5-3．已知向量，，且与方向相同，则 ． 1．设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若与同向，且，则 B．若，则与的长度相等且方向相同或相反 C．对于任意，且与的方向相同，则 D．所有的零向量都相等 23．已知向量，满足，，则 ． 24．在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 25．在中，若，能否判断的形状？ 26．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 27．（多选）下列说法正确的是（    ） A．在四边形中，，则四边形是平行四边形 B．若是平面内所有向量的一个基底，则也可以作为平面向量的基底 C．已知O为的外心，边长为定值，则为定值； D．已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为 28．已知点为外接圆的圆心，且，则 . 29．已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 30．已知等边三角形的边长为4，点、满足，，与交于点，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$