精品解析：广东省汕头市潮南区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

潮南区2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 高一数学试卷 本试题满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知：，：方程有实数根，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A B. C. D. 6. 已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 设，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据： A. 2024年 B. 2023年 C. 2026年 D. 2025年 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ） A. 为非奇非偶函数 B. 的值域是 C 若，则 D. 在上单调递减 11. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．则（ ） A. B. C. 的一个对称中心是 D. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________； 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则___________； 14. 函数，若，则_________；若函数是上的增函数，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断并证明的奇偶性； （3）若在定义域内恒成立时，求的取值范围． 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． （1）求； （2）的值． （3）求的值． 18. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从中学行驶到中学，其中，国道上行驶50km，高速上行驶300km．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：km/h）满足，且每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的关系满足．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 19. 若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的函数解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰有2个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮南区2024-2025学年第一学期期末教学质量监测 高一数学试卷 本试题满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据指数函数的单调性得出集合，再应用交集定义计算求解. 【详解】集合， 则. 故选：B 2. 已知命题“，使得”，则命题的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 则命题的否定是“，使得”. 故选：C. 3. 已知：，：方程有实数根，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程有实数根，则满足，解得， 所以是方程有实数根的充分不必要条件， 即是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据若终边相同，则求解. 【详解】解： ，由图知， 角的取值集合为: 故选：D. 【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定. 【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项， 故选：A. 6. 已知是表示不超过的最大整数，例如．若是函数的零点，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理可得，再由的定义即可得出结论. 【详解】易知函数的定义域为，且在上单调递增； 显然，， 所以，再根据的定义可知. 故选：B 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，函数在上单调递增，函数在R上单调递减， 则，所以的大小关系为. 故选：D. 8. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据： A. 2024年 B. 2023年 C. 2026年 D. 2025年 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】依题意，第n时投入资金为亿元， 设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 则,得， 两边同取常用对数，得，所以， 所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确 故选：BD 10. 已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（ ） A. 为非奇非偶函数 B. 的值域是 C. 若，则 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】由函数是幂函数，设，又图像经过点， 所以，∴，即． 对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以 ，所以，故C正确； 对于D，， 由函数单调性的性质可知，函数是上的减函数，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象．则（ ） A. B. C. 的一个对称中心是 D. 若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据图象求出的最小正周期为，从而得到方程，求出；B选项，由图象可知，，故，将代入求出，得到B正确；C选项，根据平移和伸缩变换得到，计算出，得到C正确；D选项，转化为，求出， 画出在的图象，数形结合得到. 【详解】A选项，设的最小正周期为，则， 故， 因为，所以，解得，A正确； B选项，由图象可知，，故， 将代入得，， 又，故，解得， 所以，B错误； C选项，， ，的一个对称中心是，C正确； D选项，，其中， ，， 画出在的图象如下： 要想上有两个不相等的实数根，则的取值范围是， 则实数的取值范围为，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为___________； 【答案】6 【解析】 【分析】利用弧长公式代入计算可得结果. 【详解】设这条弧所在圆的半径为，将化为弧度即为； 利用弧长公式可得，解得. 故答案为：6 13. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据，，求得，代入应用辅助角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 函数，若，则_________；若函数是上的增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可； （2）函数在上递增，必须函数的每一段都递增，且时，. 【详解】（1）当时，，. （2）因为函数在上递增，所以：. 故答案为：0； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设集合． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出时集合以及，然后求它们的并集；（2）根据分情况讨论集合的情况来确定的取值范围. 【小问1详解】 对于不等式，解得或. 那么. 当时，集合. . 【小问2详解】 当时，满足. 此时，解这个不等式得. 当时，即. 因为，所以.解得. 综上，的取值范围是. 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断并证明的奇偶性； （3）若在定义域内恒成立时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域； （2）根据函数的定义域关于原点对称，且，可得为偶函数； （3）先根据单调性定义得出单调性，再结合偶函数性质得出函数，最后转化恒成立得出不等式即可求解． 【小问1详解】 由  解得 所以 , 故函数的定义域是. 【小问2详解】 函数是偶函数. 由（1）知定义域关于原点对称. 因 ， 所以函数是偶函数. 【小问3详解】 取，且， ， ， 函数在上单调递减； 因为函数是偶函数，图象关于y轴对称，所以函数在上单调递增；所以， 因为在定义域内恒成立， 所以，所以，化简得， 所以. 17. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． （1）求； （2）的值． （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由诱导公式化简，后由可得答案； （3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可. 【小问1详解】 由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； 【小问2详解】 由诱导公式，结合题意可得： ， 又，则 【小问3详解】 根据半角公式，则， 由，即，可得. 又因为，把代入可得. 即，，，则. ，且终边与单位圆交点，终边在第一象限， 则，则， 则终边落在第一象限，则，则，； 则的值为. 18. 比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． （1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式； （2）现有一辆同型号纯电动汽车从中学行驶到中学，其中，国道上行驶50km，高速上行驶300km．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：km/h）满足，且每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的关系满足．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】（1）选①， （2）当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得； （2）在分段函数中分别利用基本不等式和二次函数求出最值即可得解. 【小问1详解】 对于③，当时，它无意义，故不符合题意， 对于②，当时，，又， 所以，故不符合题意，故选①， 由表中的数据可得，，解得 ∴． 【小问2详解】 高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ∴， 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， ∵，∴当时，， ∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从中学行驶到中学的总耗电量最少，最少为． 19. 若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的函数解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰有2个元素． 【答案】（1） （2） （3）存在；． 【解析】 【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况，再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值. 【小问1详解】 当时，． 所以． 【小问2详解】 设，因为在上递减， 所以，整理得，解得． 所以在内的“倒域区间”为． 【小问3详解】 因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，， 所以，即同号，所以只需考虑或， 当时，根据图象知，最大值为1，，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，最小值为，，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为． 所以． 依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数． 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一根知， 综上知：． 【点睛】方法点睛：先根据倒域区间定义分两种情况或再求出，从而结合二次函数的性质结合根据方程思想求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $