拓展9-1 平面向量的最值范围-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

拓展9-1 平面向量的最值范围 一、三角向量不等式 五、求夹角的最值 二、基底法求最值 六、求模长的最值 三、坐标法求最值 七、求系数关系的最值 四、求数量积的最值 方法点拨：平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 一、三角向量不等式 1．设，则的最大值与最小值分别为 . 【答案】， 【详解】由题意，当向量与共线且反向时，可得； 当向量与共线且同向时，可得. 故答案为：，. 2．已知，.求的最大值和最小值. 【答案】最大值是3，最小值是1. 【详解】因为，， 所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号. ，当且仅当与，即与的方向相反时取等号. 所以的最大值是3，最小值是1. 3．已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 12 0 【详解】解：向量，，的模分别为3，4，5，则向量可共线，又，则以为边长可构成直角三角形， 则当，，同向时，的模最大， 所以； 当，，和为时，的模最小，由于以为边长可构成直角三角形， 设，，，所以此时，故. 故答案为：12；0. 4．已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由于：， ， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 所以. 故选：B 二、基底法求最值 5．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是 ． 【答案】/1.5 【详解】解：因为在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点， 所以设， 则,， 所以， 因为，所以， 所以的最大值是. 故答案为：. 6．已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正方形的边长为2，所以， 设，， 因为， 所以， 因为，所以， 因此，当且仅当时取等号， 故选：D 7．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则 ；若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：因为平行四边形的面积为， 所以，得， 所以， 如图，连接，则， 所以 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：； 8．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，    则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 9．（多选）若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若点为的中点，则 C．为定值 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】如下图所示： 对于A，易知当时，可得， 所以，即A错误， 对于B，若点为的中点，可知， 又可知， 易知为共线向量，所以可知，解得，即B正确； 对于C，由可知： 为定值，即C正确； 对于D， ， 又，可得当时，取得最小值为，即D正确. 故选：BCD 三、坐标法求最值 10．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在正方形中，建立如图所示坐标系， 由正方形边长为3且， 可得， 设，，则， 则， 故， 故当时，取得最小值为． 故答案为：． 11．如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，， 所以，即， 又，，所以， 当且仅当，时取等号，即的最小值为. 故选：B 12．如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】以A为原点建立如图平面直角坐标系， 设，由， 得，所以， 故，又， 所以，则，即， 所以， 当时，. 故答案为： 13．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为，则，， 由，，可设，,，则,，由， 所以，,， 所以， 当时，取得最小值为． 故答案为：． 14．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 【答案】 【详解】以A为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， ， 设直线BC方程为，则， 解得，所以BC方程为，设， 所以， 得. 故答案为：.      15．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为 ，若点E是AB边上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 1 1 【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.    则，,， 若点E是AB边上的中点，则，所以 所以； 若点E是AB边上的动点，设，所以， 所以， 由，可得， 所以当时，的最大值为1 故答案为：1；1 四、求数量积的最值 16．已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则 ，若为线段上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得， ，因为， 所以， 所以，又， 所以，所以； 设，所以， 又，所以 ， 当时，. 故答案为：；. 17．已知单位向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【详解】单位向量的夹角为，则， 所以，当且仅当同向共线时取等号， 所以的最大值为. 故选：A 18．已知平面向量，，，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由，可得， 解得， 所以， 故选：D. 19．在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 如图，设的外心为，则点是的中点， 由， 因，故,而， 故当且仅当与同向时取等号. 故选：A. 20．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 【答案】12 【详解】过作的垂线，垂足分别为， ，则， 以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 等腰梯形ABCD中，，，，， 则有，，所以，， 设，，则， 令，得，，则， 有，当时取到等号. 所以的最大值为12. 故答案为：12. 五、求夹角的最值 21．已知向量，满足：，．设与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 因为，所以， 所以，则， ， 因为，所以， 令，则， 当时，取得最大值，即取得最大值， 所以的最大值为， 即的最大值为． 故选：A． 22．已知非零向量，满足，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】，则， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 23．已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由且，则，构建如下平面直角坐标系， G为原点，结合中线可令，，，则，， ∴， 由，当且仅当时等号成立， 所以，仅当时等号成立，即的最小值为. 故答案为： 24．已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，因为， 所以，所以， 则， 当时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 25．已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】由已知可得，所以. 而， 易知 令，则 当且仅当， 即时，等号成立，即最小值为， 故答案为： 六、求模长的最值 26．已知向量满足：，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影大小为， 所以当与同向共线时有最小值， . 故选：A. 27．已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 28．已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出图形如图所示，取线段的中点． 因为， 所以，故，故点在以为圆心，为半径的圆上， 则点到点的距离． 设，，所在圆的圆心为， 则当，，三点共线，即点在线段上，时，取到最大值， 此时为等边三角形，故，则点到点的距离的最大值为． 故选：D. 29．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 又因为， 所以， 所以，解得， 故的最大值为4. 故答案为：4. 30．已知不共线的平面向量两两的夹角相等，且，实数，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】因为平面向量两两的夹角相等，所以它们的夹角是； 因为，所以； 因为，，所以当取最大值时，即时 ， 所以的最大值为. 故选：C. 七、求系数关系的最值 31．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．    (1)若，求实数t； (2)如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（，）；求的最大值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 所以， 因为、、三点共线，所以存在实数使得， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 解得：，， 综上所述，． （2）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在实数，使得， 所以， 所以，， 化简得， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立． 32．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 【答案】C 【详解】为正实数，， ，而共线，   ， 当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最小值为4，C正确； 又， 由于为正实数，，则， 则，时取最大值， 当趋近于0时，可无限趋近于0， 故，故无最大值，D错误， 故选：C. 33．如图，已知四边形为平行四边形，点在延长线上，点在线段上，且，设.    (1)用向量，表示； (2)若线段上存在一动点，且，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，可得，且， 由向量的运算法则，可得． （2）由， 因为点在线段上，即点三点共线， 所以存在唯一的实数 ，其中，使得, 所以， 又因为，所以， 令， 可得函数对称轴为直线，故， 即的最大值为    34．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值. 【详解】（1）如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以， 所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. （2）由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 35．中，是的中点，在上，且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由是的中点得，所以，因为三点共线，所以， 所以，故的最小值为， 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展9-1 平面向量的最值范围 一、三角向量不等式 五、求夹角的最值 二、基底法求最值 六、求模长的最值 三、坐标法求最值 七、求系数关系的最值 四、求数量积的最值 方法点拨：平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。 一、三角向量不等式 1．设，则的最大值与最小值分别为 . 2．已知，.求的最大值和最小值. 3．已知向量，，的模分别为3，4，5，则的最大值为 ，最小值为 ． 4．已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、基底法求最值 5．在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠DAB＝60°，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则的最大值是 ． 6．已知正方形的边长为2，为正方形的内部或边界上任一点，则的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点，则 ；若为线段上的一点，且，则的最小值为 ． 8．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 ．    9．（多选）若等边三角形的边长为为的中点，且交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．若点为的中点，则 C．为定值 D．的最小值为 三、坐标法求最值 10．如图，在边长为3的正方形ABCD中，，若P为线段BE上的动点，则的最小值为 ． 11．如图，已知两点分别满足，，其中，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 12．如图，在平面四边形中，，则的最小值为 ． 13．在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 . 14．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 15．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为 ，若点E是AB边上的动点，则的最大值为 ． 四、求数量积的最值 16．已知菱形的边长为2，，点在边上，，设，，在上，若，则 ，若为线段上的动点，则的最大值为 ． 17．已知单位向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．4 C．2 D． 18．已知平面向量，，，若，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．2 19．在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（    ） A．4 B． C．3 D． 20．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，点E，F分别在线段BC和CD上，则的最大值为 ． 五、求夹角的最值 21．已知向量，满足：，．设与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．已知非零向量，满足，且，则的最大值为 ． 23．已知为△边上的中线，点满足且，则的最小值为 . 24．已知非零向量满足，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25．已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 六、求模长的最值 26．已知向量满足：，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D．3 27．已知均为单位向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 28．已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 30．已知不共线的平面向量两两的夹角相等，且，实数，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．5 七、求系数关系的最值 31．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．    (1)若，求实数t； (2)如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（，）；求的最大值； 32．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为1 C．的最小值为4 D．的最大值为16 33．如图，已知四边形为平行四边形，点在延长线上，点在线段上，且，设.    (1)用向量，表示； (2)若线段上存在一动点，且，求的最大值. 34．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时的值. 35．中，是的中点，在上，且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$