高一下学期第一次月考卷（考试范围：平面向量+三角恒等变换）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

高一第二学期第一次月考卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（平面向量+三角恒等变换） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 2．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中已知，且则为（    ） A．等腰 B．直角 C．等边 D．三边均不相等的 7．若函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递减区间为 D．的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．对于任意角，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中错误的有（   ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 11．已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．在上单调递减 D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点是的边的中点，点在边上，且，则 ， （用，表示）． 13．已知向量，，若，则 . 14．在锐角三角形中，已知，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）已知，求的值； （2）化简：. 16．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 17．已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 18．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 19．在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示． (1)求AB弧的长及扇形AOB的面积； (2)若，求、和； (3)在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期第一次月考卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：（平面向量+三角恒等变换） 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，则，， 由，得， 所以. 故选：B 2．函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为，函数是偶函数. 故选：D. 3．若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即， 解得. 故选：C. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对两边平方，， 即①， 对两边平方，， 即②， ① +②得，， 即， 即， 则，解得 故选：C 5．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 所以， ， . 故选：D 6．在中已知，且则为（    ） A．等腰 B．直角 C．等边 D．三边均不相等的 【答案】C 【详解】因为，变形， 即即，则． 因为，即， 即，化简得到，则. 则三角形为等边三角形． 故选：C. 7．若函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的单调递减区间为 D．的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 【答案】C 【详解】因为，则的最小正周期，故A错误； 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误； 令，解得， 则的单调递减区间为，故C正确； 令，得， 设，，则或， 解得或，所以，故D错误. 故选：C. 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．对于任意角，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，因为 ，故D正确， 故选：BCD. 10．下列命题中错误的有（   ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】ABC 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 11．已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．在上单调递减 D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【详解】因为， 又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由，得到， 所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，，且 所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误， 对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点是的边的中点，点在边上，且，则 ， （用，表示）． 【答案】 【详解】下面，我们作出符合题意的图形，连接， 因为，所以，， 由平面向量减法法则得， 由平面向量加法法则得， 结合平面向量减法法则得． 故答案为：； 13．已知向量，，若，则 . 【答案】 【详解】依题意 . 故答案为：. 14．在锐角三角形中，已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】根据三角形内角和可知：，即， 所以， ， 代入得： 当且仅当即时（因为是锐角三角形成立）等号成立. 所以的最小值为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）已知，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2）-1 【详解】（1）由可得. 解得或， 由，故. 所以. 于是. （2）原式 . 16．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)已知，点，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，， 由三点共线，存在实数k，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． （2）， 由四点按逆时针顺序构成平行四边形，则， 设，则，， 所以，解得，即点A的坐标为． 17．已知函数. (1)求该函数的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1） ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； （2）对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 18．在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. (1)当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； (2)若，求t的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心， 设， 所以， ； （2）因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，则在单调递减，所以当时，有最大值－3. 19．在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示． (1)求AB弧的长及扇形AOB的面积； (2)若，求、和； (3)在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？ 【答案】(1);. (2);；. (3)当，矩形面积的最大值为. 【详解】（1）解：AB弧的长为， 根据扇形的面积公式可得. （2）因为，， 所以, ，因为，所以， ， . （3）设，则，， 所以， 所以矩形的面积 ， ，所以当时，取得最大值， 所以，矩形面积的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$