精品解析：河南省安阳市龙安高级中学等校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

大联考2024-2025学年（上）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 2. 已知直线与互相垂直，则（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或（方程不为直线，舍去）. 故选：D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. e B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 4. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D 5. 过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 6. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 8. 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，，，进而得到则，，，代入，结合计算即可. 【详解】设椭圆的方程为，，，， 则，，，所以， 而，则． 由得，又，可得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由递推关系式代入运算求解判断；对B，由可得，根据等比数列的定义判断；对C，求出，进而求得的通项，利用等差数列的定义判断；对D，利用反证法求解判断. 【详解】对于A，由，，则，解得， ，则，故A正确； 对于B，由，则，又， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项，可得，即， ， ， 则，又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对于D，假设存在且，使得成等差数列， 则，即，即， ，，，则， 故上式不成立，假设错误，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知曲线，则（ ） A. 不经过第二象限 B. 当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C. 上点的横坐标的取值范围是 D. 上任一点到直线的距离的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由化简方程即可判断；对于B，由化简的方程即可判断；对于C，结合，与时曲线的方程可求出的取值范围，即可判断C项的正误；对于D，结合3个象限内曲线的性质即可判断曲线上任一点到直线的距离的取值范围. 【详解】对于A，当时，的方程为，方程无解， 所以曲线不经过第二象限，故A正确； 对于B，当时，的方程为，即， 此时方程表示圆心在坐标原点，半径为2的四分之一圆， 所以当时，上任一点到坐标原点的距离均为2，故B正确； 对于C，当时，为双曲线在第一象限的部分， 当时，为双曲线在第三象限的部分， 所以曲线的图象，如图所示，则上点的横坐标的取值范围是，故C错误； 对于D，因为直线是双曲线与双曲线的公共渐近线， 所以上任一点到直线的距离都大于0， 又上任一点到直线的距离的最大值即四分之一圆上的点到直线的距离的最大值为2，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了曲线与方程、直线与圆及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是根据曲线方程得到相应的曲线，利用直线与圆、直线与双曲线的位置关系求解距离范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求的坐标，利用空间向量求直线夹角. 【详解】因为，， 设直线与所成的角为， 则， 所以线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 14. 已知为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴的正半轴、轴的负半轴分别交于点C，D，则（为坐标原点）面积的最小值为_____.附：椭圆在其上一点处的切线方程为. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用表示直线的方程，进而表示点的坐标，得到的面积，根据的关系，利用基本（均值）不等式求面积的最小值. 【详解】设，，.如图： 根据给出的结论，可得切线的方程为：， 切线的方程为：. 因为直线、均过点，所以， 所以直线方程为：. 令得：；令，得：. 由题意可得：，. 因为，且，所以. 所以， 当且仅当即时取“”. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于点，的坐标都满足方程，所以直线的方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式将已知条件化为用表示的方程组，求出，即可求解的通项公式； （2）利用与的关系，写出数列的通项公式，即可求得的前项积. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， ， ，即，解得， ； 【小问2详解】 由（1）可知， ， 当时，，又，所以， 所以， 则. 16. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. （1）求的值； （2）若，求曲线的过点的切线方程. 【答案】（1）或1 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义列式求解的值即可； （2）结合（1）可得，设切点为，结合导数的几何意义，利用点斜式方程求出切线方程，最后利用过点求出的值，即可得解. 【小问1详解】 由已知得， 根据题意得，解得或1； 【小问2详解】 因为，所以由（1）可得， 所以， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 得，解得或， 所以切线方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，且平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作的垂线，交于点，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值. 【小问1详解】 由，为的中点，可得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 如图，过点在平面内作的垂线，交于点. 因为平面，平面，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 由题可知，在梯形中，，所以， 故，，， 则，. 易知平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，则. 设二面角的平面角为，则， 故，即二面角的正弦值为. 18. 已知数列满足，且. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）由，可得， 又，所以是1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由（1）知，然后利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在，使得成立，分离参数，变形后利用基本不等式求解最值即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， ， 两式相减，得， 故； 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ， 由题可知，存在，使得成立， 所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 19. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. （1）求的方程； （2）若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 【答案】（1） （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线的斜率存在且不等于0和， 设切线的方程为， 与的方程联立，消去，整理得， 由， 整理得， 设切线，的斜率分别为，，则， ①由题可知直线的方程为， 令，得， 因为，的方程为，，所以，， 所以， 故是的中点，即. ②因为，，，的高相等， 所以，即. 由上述过程可知，，，. 所以，，，. 又，所以， ， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）由题意建立方程求得，进而求得，即可得解. （2）①设，设出切线方程并与双曲线联立，根据判别式及韦达定理得，求出直线的方程及的坐标，进而求出点P，Q坐标，通过计算中点坐标证明即可； ②根据三角形面积公式，将所证等式化为线段长度的比例关系，通过①中的坐标，计算相关线段长度，即可证明. 【小问1详解】 由题可知，由直线与轴交于点，且， 可得，若，则，即，无解， 若，则，即， 则，故的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大联考2024-2025学年（上）高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 已知直线与互相垂直，则（ ） A. 或0 B. C. 0 D. 3. 已知函数，若，则（ ） A. e B. C. 1 D. 4. 设等差数列的公差为，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 6. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 7. 已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》中给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点作长轴的垂线（点与点，均不重合），垂足为，则为常数.若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 存在，，且，使得，，成等差数列 11. 已知曲线，则（ ） A. 不经过第二象限 B. 当，时，上任一点到坐标原点的距离均相等 C. 上点的横坐标的取值范围是 D. 上任一点到直线的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中的三点，，，则直线与所成角的余弦值为______. 13. 若，则_____. 14. 已知为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，若直线与轴的正半轴、轴的负半轴分别交于点C，D，则（为坐标原点）面积的最小值为_____.附：椭圆在其上一点处的切线方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，正项数列满足. （1）求的通项公式； （2）求的前项积. 16. 已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2. （1）求的值； （2）若，求曲线的过点的切线方程. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，且平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知数列满足，且. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且. （1）求的方程； （2）若为上不同于点的动点，直线交轴于点，过点作的两条切线，，分别交轴于点P，Q，交轴于点，. ①证明：； ②证明：（S表示面积）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $