精品解析：山东省济宁市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024-2025学年度第一学期质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 8. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则第二象限角 B. C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递增区间为， 10. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为________. 13. 给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式________. 14. 已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数最大值和最小值，并求出取最值时的值. 17. 已知函数. （1）解不等式； （2）当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 18. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 19. 已知函数定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数. （1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由； （2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围； （3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据集合交集与集合包含关系即可求解. 【详解】,则, 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的定义域可直接求得答案. 详解】由题意可知，解得， 因此函数的定义域为， 故选：B. 3. 函数（且）的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 4. 已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 5. （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数运算性质可直接求得答案. 【详解】， 故选：D. 6. 已知幂函数的定义域为，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据幂函数的定义求出的值，确定函数的表达式，再分析函数的单调性，最后根据函数单调性比较、、的大小. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义，即. 解得或. 当时，，其定义域为，不满足定义域为，舍去. 当时，，定义域为，符合题意. 所以，. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴. 所以在上单调递减，在上单调递增. 已知，，. 因为是偶函数，所以. ，则. 因为，. 根据函数在上单调递增，可得，即. 故选：D. 7 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断，根据同角的平方关系计算求出，结合诱导公式计算即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，所以. 所以. 故选：A 8. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不大于的最大整数,所以，即， 观察选项，只有D选项的包含，满足要求， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第二象限角 B. C. 函数的最小正周期为 D. 函数的单调递增区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数值符号与角的终边位置可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正切型函数的单调性可求出函数的单调递增区间，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，可得， 所以，为第二或第三象限角，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，函数的最小正周期为，C对； 对于D选项，对于函数， 由得， 所以，函数的单调递增区间为，，D错. 故选：BC. 10. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 D. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】A：当时，， 令，解得； 令，解得或， 所以不等式的解集为，故A正确； B：易知在上单调递增， 图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 因为在R上单调递增，所以，解得，故B错误； C：易知二次函数的最小值为， 由，解得或， 要使的值域为R，需，解得，故C正确； D：令，解得； 令，解得或. 当时，与轴无交点，与轴有2个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴有2个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴有1个交点； 当时，与轴有1个交点，与轴无交点 综上，若有两个零点，则或，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键是对的取值分类讨论、与轴的交点情况. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式即可直接求得答案. 【详解】由题意可知弧长， 故答案为：. 13. 给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式________. 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用函数的定义求解； 【详解】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一） 14. 已知函数，非空集合，，若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由可知，.易知；应用定义证明，可得或，分别讨论满足的条件即可 【详解】易知若，则，所以，，因此，若，则只需考虑 设，若，则 整理得，，即 所以，或 （1）当时，，所以成立； （2）当时，若，则方程无根，或方程的根也是的根. ①方程无根，则； ②若方程有两根，则， 显然，这两根不是的根，所以； ③若方程有且只有一个根，则，， 显然，是的一个根，此时，成立； 又因为集合，所以，方程有根， 所以，，所以，； 综上可得，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，解不等式求出集合，再根据交集定义求； （2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，由此可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 由题意得，或 当时，，所以， 【小问2详解】 因为或，所以， 若是的充分条件，则 所以，，解得，所以，实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】（1）， （2）时，取最大值；时，取最小值. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间； （2）求得，由可求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值以及对应的值. 【小问1详解】 因为， 由正弦函数的单调性可得，， 解得，，， 因此，函数的单调递减区间为，. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 当时，， 当时，即当时，函数取最大值， 当时，即当时，函数取最小值. 17. 已知函数. （1）解不等式； （2）当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 【答案】（1）答案见解析 （2）时，的最小值为4. 【解析】 【分析】（1）将原不等式转化，分、和三种情况即可求解； （2）根据求出关于和的关系式，根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 不等式可化为， 即：， ①当，即时，解不等式得， ②当，即时，解不等式得， ③当，即时，解不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 【小问2详解】 由（1）和可知， 即：，因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值4. 18. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】（1）选择模型①，，2028年 （2）（i）选择模型②，；（ii）2027年 【解析】 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【小问1详解】 由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. 【小问2详解】 （i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数. （1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由； （2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围； （3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值. 【答案】（1）是“距”增函数，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“距”增函数. （2）根据函数新定义可得对任意都成立，法1：根据二次函数的性质可求参数的范围；法2：参变分离后，设，证得函数在上为单调递减函数，则参数范围可求； （3）根据函数新定义可得，分和两种情况进行讨论后可求函数的最小值. 【小问1详解】 函数是“距”增函数. 因为的定义域为 任取， 因为，所以，即，，所以， 所以，函数是“距”增函数. 【小问2详解】 因为函数，为“距”增函数 所以，对任意， 所以， 即， 因为，，所以，（**） 法1：因为函数图象开口向上且对称轴为 所以，函数在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值为 若对任意都成立，则，即 因此，若函数，为“距”增函数，则. 法2：（接（**））即，对任意都成立，设 对于任意，且， 因为，所以，，，所以， 即， 所以，在上为单调递减函数 所以，，所以， 因此，若函数，为“距”增函数，则； 【小问3详解】 由题意可知，，若函数，为“2距”增函数 则，， 即 即，即，所以，， 所以， 由，设， ①当时，，且 则， 因为，所以，，， 所以，，即 所以，，所以，在上单调递增， ②当时， 当且仅当，即时，取得等号. 此时，， 综上，. 【点睛】“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$