精品解析：广东省深圳市龙华区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

龙华区中小学2024-2025学年第一学期期末学业质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分. 2.答题前，先将自己的学校､班级､姓名填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.请勿使用铅笔和涂改液，否则作答将被视为无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 4 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ） A. 600 B. 700 C. 800 D. 900 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 是增函数 C. 的最大值是 D. 若，则方程有四个不等实数根 11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为，的角速度大小为，起点为.则当与重合时，的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为__________. 13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知角的终边过点，求的值. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时的值. 17. 近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 3375 506.25 （1）在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； （2）为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 18. 已知函数奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 定义域为集合的函数，若存在，使关于的方程有解，则不妨称在“处”可拆，且称方程的解为的“可拆点”. （1）若，求的“1可拆点”； （2）证明：对任意在“2处”可拆； （3）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有5个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙华区中小学2024-2025学年第一学期期末学业质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分. 2.答题前，先将自己的学校､班级､姓名填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.请勿使用铅笔和涂改液，否则作答将被视为无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解及交集的运算求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 已知命题：所有的素数都是奇数；命题：存在一个素数不是奇数.则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据素数的概念判断命题的真假，再由命题的否定与命题真假的关系得解. 【详解】因为是素数， 所以命题是假命题，是真命题， 所以是真命题，是假命题， 故和都是真命题， 故选：C 3. 设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性转化为求即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为4的偶函数， 所以， 因当时，， 所以， 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断可得答案. 【详解】因为， ，可得. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 6. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ） A 600 B. 700 C. 800 D. 900 【答案】D 【解析】 【分析】将代入式子，求出，再利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300， 所以，解得， 即， 当时，则，即，解得， 所以. 故选：D 7. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断A，再由函数零点及函数值变化趋势判断BCD. 【详解】由，可知，函数为奇函数， 故图象关于原点对称，故A错误； 当时，由可得，故D错误； 当时，增长比增长快，所以C正确B错误. 故选：C 8. 已知函数，则在下列区间中，函数一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可. 【详解】在同一坐标系内，作，图象，如图， 由图象可排除AB选项， 又, ， ， 所以由零点存在定理及图象可知，函数在上无零点，在上有零点， 所以C错误，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质判断A，根据幂函数性质判断B，根据指数函数性质判断C，作差比较判断D. 【详解】由不等式性质，，则，故A正确； 由幂函数的性质，在上单调递增，所以，故B正确； 由指数函数的单调性，的单调性不确定，故不正确，故C错误； 因为，而， 所以，即，故D正确. 故选：ABD 10. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 是增函数 C. 的最大值是 D. 若，则方程有四个不等实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性判断A，研究时函数的单调性判断B，再由偶函数奇函数单调性判断C，根据图象判断D. 【详解】因为，定义域为，， 所以函数为奇函数，故A正确； 当时，，由对勾函数及幂函数的单调性可知函数在单调递增，在上单调递减，故B错误； 因为为偶函数，当时，由B知函数的最大值为， 所以的最大值是，故C正确； 由AB可作出函数大致图象，如图， 由图可知，当时，方程有四个不等实数根，故D正确. 故选：ACD 11. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为，的角速度大小为，起点为.则当与重合时，的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得重合时P，Q点的坐标，通过讨论的奇偶性得解. 【详解】点的初始位置的坐标为，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即，， 当为偶数时，，即重合于点，故A正确； 当为奇数时，，即，故C正确. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用“1”的变形技巧，由基本不等式得最小值. 【详解】因为，且 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的面积及弧长公式求解即可. 【详解】设圆心角为， 由面积， 弧长， 联立可解得， 故答案为：2 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数及对数函数的单调性列出不等式求解. 【详解】由分段函数上单调递增可得， 当时，即， 当时，单调递减，不合题意； 当时，单调递增，时，单调递增， 且，符合函数单调递增； 当时， 则，即，解得； 综上，. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知角的终边过点，求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据分式指数幂的化简计算即可求解； （2）根据对数的换底公式与对数的运算性质计算即可求解； （3）根据三角函数的定义和诱导公式的化简计算即可求解. 【详解】（1）原式； （2）由，得， 所以； （3）由题意知，， 所以. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时的值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，由周期公式得解； （2）根据自变量的范围及正弦函数的性质得解. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以当，即时，， 当，即时，， 综上，当时有最小值，当时有最大值2 17. 近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 （1）在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； （2）为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【解析】 分析】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【小问1详解】 【小问2详解】 （i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以， ∴，即， 即. 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= =， 即， ∴是上的增函数. 【小问3详解】 由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围 19. 定义域为集合的函数，若存在，使关于的方程有解，则不妨称在“处”可拆，且称方程的解为的“可拆点”. （1）若，求的“1可拆点”； （2）证明：对任意在“2处”可拆； （3）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有5个“可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）由题意，解方程即可； （2）由题意方程有解，即，证明在定义域内即可； （3）根据题意可得到，然后依据或，，或，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意， 即，解得， 所以的“1可拆点”为； 【小问2详解】 由题意方程有解， 即方程有解， 即， 即， 由，解得， 因为， 所以， 所以方程有解， 即方程有解， 所以对任意在“2处”可拆； 【小问3详解】 由题意， 即， 即，令， 即在上关于要有个解； ①当或，即或时，； ②当，即时，； ③当或，即或时， 方程关于在每个周期内有两个解，故不可能满足有个解， 综上，，，. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $