精品解析：山西省太原市山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期2月开学考试数学试题

山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（2月）开学考试（总第一次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一全部 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则下列结论不正确的是（  ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，且）满足对任意当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 10. 设，函数，则（ ） A. 函数最小值是0 B. 函数的最大值是2 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若上有且仅有5个零点，则在单调递增 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，则_____. 13. 已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则_____. 14. 已知，，，，则_____. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）已知用表示； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.求的值. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最值． 17 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数． （1）证明函数为奇函数； （2）设函数，若，使得，求实数的取值范围． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试比较与大小关系，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（2月）开学考试（总第一次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：必修一全部 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，则. 故选：B 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论. 【详解】根据题意由可得，则， 即充分性成立， 若可得，此时或，显然必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 3. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性以及对数、指数等知识来求得正确答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，所以， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，. 由于，所以， ，所以， 所以. 故选：D 4. 已知，，则下列结论不正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 由于，所以，所以， 则，， 所以， 由解得， 所以， 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：B 5. 已知函数（，且）满足对任意当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意当时，都有， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简，然后利用“的代换”的方法求最值. 【详解】 ， 当且仅当时等号成立. 故选：D 7. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由，可求得、值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式. 【详解】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因，则，故， 故选：A. 8. 已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像，令，由图象得到，的范围是，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】的图象如图： 方程有8个不同的根，令，则有两个不同的根，，且，的范围是，所以，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（   ） A. 化成弧度是 B. 关于的不等式的解集为，则 C. 命题“，”的否定是， D. 若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、一元二次不等式、全称量词命题的否定、扇形面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，化成弧度，A选项正确. B选项，关于的不等式的解集为， ，所以B选项错误. C选项，命题“，”的否定是，， C选项正确. D选项，若一扇形的弧长为2，圆心角为即， 所以扇形的半径为， 所以扇形面积为，D选项错误. 故选：AC 10. 设，函数，则（ ） A. 函数的最小值是0 B. 函数的最大值是2 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数的表达式，再分析其性质，逐项判断作答. 【详解】令函数，，显然，在上单调递增， 而，当时，，即， 则有， 当时，在上单调递增，，其值域为， 当时，在上单调递减，，其值域为， 因此函数的值域是，A不正确；B，C，D都正确. 故选：BCD 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可. 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12 已知，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据诱导公式、二倍角公式等知识来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性等知识来求得正确答案. 【详解】依题意，为奇函数，所以的图象关于对称， 为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以， （*）， 所以，则， 则，， 所以是以为一个周期的周期函数， 又由（*）可得则， 所以. 故答案为：. 14. 已知，，，，则_____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，结合对称性求得答案. 【详解】依题意，分别可视为函数与和图象交点的横坐标， 函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称， 因此两个交点也关于直线对称，则， 由，得，所以. 故答案为：1 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （1）已知用表示； （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算来求得正确答案. （2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】（1）因为所 所以. （2） . 因为角的终边经过点，所以 所以. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在上的最值． 【答案】（1）， （2）最大值2，最小值 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，由此求得的最小正周期，利用整体代入法求得的单调递减区间. （2）根据三角函数最值的求法来求得在上的最值. 【小问1详解】 因为 所以函数的最小正周期，. 由，得：， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，， 所以，即时，. 17. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 18. 已知函数． （1）证明函数为奇函数； （2）设函数，若，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义来证得结论成立. （2）根据的单调性求得在区间上的最小值，利用换元法求得在区间上的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 由，得，解得， 即的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数奇函数. 【小问2详解】 由题意得，， ， 由为上恒为正且为增函数，在上为增函数， 可得在上单调递增，故， 对于，， 令，则，故， 其对称轴为，所以当，即时，， 由题意得， 解得，即实数的取值范围为. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解. （2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得. （3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 依题意，，不等式， 函数在上单调递增，，令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，于是，， 因此，，显然函数在上单调递减， 当时，，从而， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 ，. 依题意，， ， 当时，，，即， 于是，而，因此， 当时，，则，， 即，而，因此， 于是，，所以. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$