精品解析：山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次）数学试题

山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（3月）开学考试（总第二次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：100分 考查内容：平面向量 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】如图，在平行四边形中，且， A：，故A正确； B：，故B正确； C：由，得，故C错误； D：，故D正确. 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】解：若， 则，即， 向量，， 则，解得 故选：C 4. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 5. 在中，，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】选定基向量，利用向量的线性运算计算出，再由平面向量基本定理而得. 【详解】中，不共线，又因为， 则， 因为为的中点，， 所以. 故选：A. 6. 已知向量满足，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到与的关系，再结合向量的数量积公式来求解. 【详解】已知，移项可得， 因为，所以， 对两边同时平方可得， 根据完全平方公式则， 又因为，，所以可化为， 由，移项可得，则， 根据向量的数量积公式，将，，代入可得：， 则.  故选：D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果. 【详解】易知：，，且，. 由. 故选：C 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值. 【详解】可设，，， 则. 可设：，则 . 故选：B 【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些. 二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D. 【详解】对于A:因为，所以，故A正确. 对于B:因为，所以, 当时, ，故B错误. 对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误. 对于D:因为 所以, 令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确. 故选：AD. 10. 的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆半径为4 D. 的最大内角是最小内角的2倍 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出三边的比例关系，再结合正弦定理、余弦定理以及三角形外接圆半径公式等知识逐一分析选项. 【详解】设，，. 将这三个式子相加可得：，即. 用分别减去，，，可得： ，，. 所以.  根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得，故选项A正确.  因为最大，所以角最大. 根据余弦定理，将，，代入可得： ，所以角为锐角. 因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.  已知，由，可得，则. 由正弦定理，，可得. 所以，则，故选项C错误. 因为最小，所以角最小. . ，而，所以. 因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.  故选：ABD. 11. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有两个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 的点P有两个 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取，∵， ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确； 选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确； 选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛： 求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化） 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，求得的坐标，代入，即可求得点的坐标, 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 则， 又， 所以， 所以，则的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是__________写一个即可 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量投影向量的模长公式建立等式，得到满意题意的向量坐标. 【详解】设 则满足方程的点均可. 故答案为：. 14. 在中，，为的重心，的中垂线交于点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，知在上的投影向量为，由已知条件和平面向量的数量积的运算求得，得到，判定，得到，进而利用两个向量的数量积运算公式计算即可. 【详解】如图，作于点，则在上的投影向量为． 由于， 因，故，又为的重心，则，所以， 可得，故， 即在上的投影向量为． 所以． 故答案为：36. 四．解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. 【小问3详解】 由题意得． 因为， 所以， 解得. 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角； （2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； 【小问2详解】 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，整理得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为. 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 【答案】（1）1 （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）直接根据“相高度”的定义代入向量坐标计算； （2）①需要利用向量夹角公式和“相高度”的定义进行推导证明； ②先根据已知条件，结合重心性质，求出、的坐标关系，再代入“相高度”公式计算. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中 2024～2025学年第二学期高一（3月）开学考试（总第二次） 数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：100分 考查内容：平面向量 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 在中，，E为AD的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则（   ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ） A. 8 B. 12 C. 22 D. 24 8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 10. 的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（    ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆半径为4 D. 的最大内角是最小内角的2倍 11. 如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ） A. 满足的点P必为的中点 B. 满足的点P有两个 C. 满足的点P有且只有一个 D. 的点P有两个 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，，若，则点的坐标为________． 13. 已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是__________写一个即可 14. 在中，，为的重心，的中垂线交于点，且，则________． 四．解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为．求的周长． 18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $