精品解析：山西阳泉市第一中学校2025-2026学年高一下学期分班考试数学试题

阳泉一中2025级高一年级分班考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合集合的并集运算即可求出答案. 【详解】因为，， 所以. 2. 下列说法错误的是（   ） A. 集合与集合不是同一个集合 B. 已知，满足条件的集合的个数有7个 C. 代数式的值组成的集合是 D. 函数的零点为 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据集合中元素判断B，分类讨论判断C，根据零点的定义判断D. 【详解】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对； 选项B，因为， 所以满足条件的集合的个数有，B对； 选项C，当时，； 当或时，； 当时，，C对； 选项D，函数的零点不是点，是变量x的值， 所以函数的零点是，D错． 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出的大小关系. 【详解】由在上递增，则， 由在上递增，则．所以． 故选：C 4. 设命题：函数是在上单调递增的幂函数；命题：实数满足，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】∵幂函数在上单调递增， ∴，解得或； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的定义域为； B. 在上是减函数； C. 已知函数是奇函数，则； D. 函数的最大值为. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，可判断A错误；根据反比例函数的性质，可判定B错误；根据为奇函数，求得的解析式，可得判定C正确；利用基本不等式，求得的最大值为，可判定D错误. 【详解】对于A，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为，所以A不正确； 对于B，由函数，可得在，上是减函数，所以B不正确； 对于C，由 ，当时，可得，则， 因为为奇函数，， 所以当时，，所以C正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为，所以D错误. 故选：C. 6. 已知，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两边平方整理得到，由得到，由得到，从而得到，由和得到，求出利用求出，联立和的等式，解得和，利用求出，从而得到答案. 【详解】，， ，， ，， ，，，，故选项A正确； ， ， ，， ，故选项D错误； 联立，解得，则，故选项B和C正确. 故答案为：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】B 【解析】 【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以. 设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时. 已知函数图象过点，将其代入可得，即. 因为，所以，，解得，那么. 对于A，将代入，得，所以选项A错误. 对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，. 令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项B正确. 对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，. 令，，解得，. 当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到. 根据诱导公式，，所以选项D错误. 故选：B. 8. 函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的最小值为2 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，利用基本不等式即可判断C，同时要注意取等条件，利用可求的定义域. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：， 当且仅当即当时等号成立， 但，故等号不成立，所以函数，故C错误； 对D：若函数的定义域为，则，∴， 所以函数的定义域为，故D正确. 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限；B选项，根据顺时针转动形成负角判断；C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故错误； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，故C正确； D选项，扇形面积为，故错误， 故选：ABD. 11. 在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（ ） A. 音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到 B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断. 【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB， 所以对比高频更容易被听到，故A正确； 对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误； 对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，，令，此时，故C错误； 对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时， 所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则这个三角形的形状是________． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】 利用公式，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】， ， 代入条件可得，即， 即， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 13. 已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域可判断①；根据对数函数图象过定点可判断②；对不等式的二次项系数分类讨论，分别求得满足条件的集合可判断③；利用函数的奇偶性求出，再结合周期性可判断④. 【详解】对于①，由解得， 所以函数的定义域为，故正确； 对于②，令得，因为函数(且) 的图象恒过定点，所以函数(且)的 图象恒过定点，故正确； 对于③，当时，原不等式为成立； 当时，若不等式的解集为， 则，解得， 综上实数的取值范围为，故错误； 对于④，根据定义在上的函数满足， 可得为奇函数，且，所以，解得， 又因为，所以的周期为6， 所以，故正确. 故答案为：①②④. 14. 已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是______；的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出的图象，再数形结合分析参数的的范围，再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简，再利用对勾函数的性质求范围即可. 【详解】画出的图象： 因为方程即有四个不同解，，，， 故的图象与有四个不同的交点， 由图可知，所以实数的取值范围是. 又，不妨假设， 由图可知. 又由图可知，故， 故且，所以. 所以，由对勾函数性质可知在单调递减， 所以，所以. 故答案为：； 四、解答题：本题包含5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）. （2）已知，求的值. 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则根据即可求解； （2）根据幂指数的运算法则得到，，代入即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，则， 即， 则， 即， 所以. 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集运算即可； （2）把必要不充分条件转化为真子集关系，利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 则； 【小问2详解】 因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 17. （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）（i）（ii）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（i）根据基本不等式即可直接求解；（ii）利用乘 “1”法即可求解； （2）分、、、、讨论，解不等式可得答案. 【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得， 故，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为64； （ii），，， ， 当且仅当且，即，时等号成立，即 取得最小值18； （2）， 当时，，即，原不等式的解集为； 若，原不等式化为， 显然，所以原不等式的解集为； 若，原不等式化为， （i）当即时，原不等式的解集为； （ii）当即时，原不等式的解集为； （iii）当即时，原不等式的解集为. 综上所述，当时原不等式的解集为； 时，所以原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为. 18. 已知是自然对数的底数，. （1）若是偶函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数； （3）在（1）（2）的条件下解不等式 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值. （2）利用函数单调性定义证明函数在上是增函数. （3）由（1）（2）的结论，脱去法则“f”，再解不等式即得答案. 【小问1详解】 由是偶函数，得，即， 整理得，而不恒为0， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，任取， 则， 由，得，即，则， 因此，所以函数在上是增函数. 【小问3详解】 由（1）知，不等式化为：， 由（2）知，，解得或， 所以原不等式的解集为. 19. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． （3）若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 【答案】（1），单调递减区间为，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和递减区间. （2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域. （3）根据条件得到，令，得，，根据条件，将问题转化成关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在，再利用根的分布，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象， ∵，则， ∴，则， ∴在上的值域为． 【小问3详解】 由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 又的图象如图， 所以关于t的方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是1，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在，令， 所以，即，解得， 当一个根为0时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，所以， 令，得另一根，所以符合题意， 当一个根是1，另一个实根在，由得， 此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳泉一中2025级高一年级分班考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（   ） A. 集合与集合不是同一个集合 B. 已知，满足条件的集合的个数有7个 C. 代数式的值组成的集合是 D. 函数的零点为 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设命题：函数是在上单调递增的幂函数；命题：实数满足，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的定义域为； B. 在上是减函数； C. 已知函数是奇函数，则； D. 函数的最大值为. 6. 已知，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象的对称中心为 C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 8. 函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的最小值为2 D. 若函数的定义域为，则的定义域为 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 11. 在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（ ） A. 音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到 B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa D. 240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则这个三角形的形状是________． 13. 已知下列结论： ①函数的定义域为； ②函数(且)的图象恒过定点； ③不等式的解集为，则实数的取值范围为； ④已知定义在上的函数满足，，当时，，则.以上四个结论，其中正确结论的序号为______. 14. 已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是______；的取值范围是______． 四、解答题：本题包含5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）. （2）已知，求的值. 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. （1）若，且， 求：（i）的最小值； （ii）的最小值. （2）解关于的不等式：. 18. 已知是自然对数的底数，. （1）若是偶函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，用单调性定义证明函数在上是增函数； （3）在（1）（2）的条件下解不等式 19. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． （3）若函数在上有三个不同零点，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $