2025年浙教版九年级中考数学第一轮专题复习讲义《第20讲 多边形与平行四边形》

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第五单元　四边形 《第20讲 多边形与平行四边形》 【知识梳理】 1.多边形的概念 (1)定义:在同一平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)　首尾顺次相接　形成的图形叫做多边形.  (2)正多边形:各　边　相等，各　内角　也相等的多边形叫做正多边形.  2.多边形的内角和与外角和 n边形的内角和为　(n－2)×180°(n≥3)　;任何多边形的外角和为　360°　.  3.多边形的对角线 n边形有 (n≥3)　条对角线.  4.平行四边形的定义和性质 (1)定义:两组对边分别　平行　的四边形是平行四边形.  (2)性质定理: ①平行四边形的对角　相等　.  ②平行四边形的对边　相等　.  ③平行四边形的对角线　互相平分　.  (3)推论: ①夹在两条平行线间的平行线段　相等　.  ②夹在两条平行线间的垂线段　相等　.  (4)拓展: ①平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是　两条对角线的交点　.  ②如果一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积. 5.平行四边形的判定方法 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)一组对边平行并且　相等　的四边形是平行四边形.  (3)两组对边分别　相等　的四边形是平行四边形.  (4)对角线　互相平分　的四边形是平行四边形.  (5)两组对角分别　相等　的四边形是平行四边形.  6.平行四边形的面积 (1)平行四边形的面积＝　底　×　高　.  (2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形的面积　相等　.  7.平行四边形中常用的辅助线的作法 (1)连对角线把平行四边形问题转化为全等三角形问题. (2)有平行线时，作平行线构造平行四边形. (3)有中点时，作倍长中线构造平行四边形. (4)图形具有邻边特征时(如等腰三角形、等边三角形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕邻边的公共端点旋转到另一位置. 【考题探究】 类型一　多边形 【例1】[2024·遂宁]佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为(　C　) A.36° B.40° C.45° D.60° 【解析】 设这个正多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8，则360°÷8＝45°， 即这个正多边形的每个外角为45°，故选C. 变式1－1 [2024·枣庄]如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为(　A　) 变式1－1图 A.12 B.10 C.8 D.9 【解析】 ∵四边形BCMN是正方形，∴∠NBC＝90°. ∵∠ABN＝120°，∴∠ABC＝360°－90°－120°＝150°， ∴正n边形的一个外角为180°－150°＝30°， ∴n的值为＝12.故选A. 变式1－2 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是　6或7　.  【解析】 设内角和为720° 的多边形的边数是n， 则(n－2)·180° ＝720° ，解得n＝6. ∵多边形过顶点剪去一个角后边数不变或减少1， ∴原多边形的边数是6或7. 类型二　平行四边形的性质 【例2】[2024·浙江]如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，BD＝2，过点A作BC的垂线，交BC于点E，记BE的长为x，BC的长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是(　C　) A.x＋y B.x－y C.xy D.x2＋y2 例2图 例2答图 【解析】 如答图，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F. ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝∠BFD＝90°. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DCF， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴CF＝BE＝x，AE＝DF， ∴BF＝BC＋CF＝x＋y. 在Rt△AEC中，AE2＋EC2＝AC2，即AE2＋(y－x)2＝4.① 在Rt△BFD中，BF2＋DF2＝BD2，即(x＋y)2＋DF2＝12.② 由②－①，得xy＝2. 故选C. 变式2－1 [2023·泸州]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为(　A　) 变式2－1图 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝CD＝6，OD＝OB， ∴∠CDP＝∠APD. ∵DP平分∠ADC， ∴∠CDP＝∠ADP， ∴∠ADP＝∠APD， ∴AP＝AD＝4，∴PB＝AB－AP＝2. ∵E是PD的中点，O是BD的中点， ∴EO是△DPB的中位线， ∴EO＝PB＝1. 变式2－2 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　.  变式2－2图 【解析】 ∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2， ∴AC＝＝2. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC＝. 又∵AB⊥AC，∴OB＝. ∵AH⊥BD，∴OB·AH＝OA·AB， 即×·AH＝××2， 解得AH＝. 变式2－3 [2024·泸州]如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且DE＝BF.求证:∠1＝∠2. 　变式2－3图 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF. 在△ADE和△CBF中， ∵ ∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴∠1＝∠2. 变式2－4 [2024·吉林]如图，在▱ABCD中，O是AB的中点，连结CO并延长，交DA的延长线于点E.求证:AE＝BC. 　变式2－4图 证明:∵O是AB的中点，∴AO＝OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠E＝∠BCO. 又∵∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE≌△BOC(AAS)，∴AE＝BC. 类型三　平行四边形的判定 【例3】[2023·杭州]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连结AE，EC，CF，FA. (1)求证:四边形AECF是平行四边形. (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积. 例3图 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵BE＝DF，OE＝OB－BE，OF＝OD－DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形. (2)设△ABE的面积为S1，△AEO的面积为S2. ∵BE＝EF，OE＝OF，∴BE＝2OE， ∴＝2. 又∵S1＝2，∴S2＝1. ∵OA＝OC，OE＝OF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO(SAS)， ∴△CFO的面积等于△AEO的面积， ∴△CFO的面积等于1. 变式3－1 [2024·武汉]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)连结EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形，并说明理由. 变式3－1图 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D. ∵AF＝CE， ∴AD－AF＝BC－CE，∴DF＝BE. 在△ABE与△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)添加BE＝CE.理由如下: ∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形. 变式3－2 [2023·扬州]如图，E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点，连结AF，CE相交于点M，连结AG，CH相交于点N. (1)求证:四边形AMCN是平行四边形. (2)若四边形AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积. 变式3－2图 变式3－2答图 解:(1)∵E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点， ∴AH∥CF，AH＝CF， ∴四边形AFCH是平行四边形， ∴AM∥CN. 同理可得，四边形AECG是平行四边形， ∴AN∥CM， ∴四边形AMCN是平行四边形. (2)如答图，连结AC. ∵H，G分别是AD，CD的中点， ∴点N是△ACD的重心，∴CN＝2HN， ∴S△ACN＝S△ACH. 又∵CH是△ACD的中线， ∴S△ACH＝S△ACD，∴S△ACN＝S△ACD. 又∵AC是▱AMCN和▱ABCD的对角线， ∴S▱AMCN＝S▱ABCD. 又∵▱AMCN的面积为4， ∴▱ABCD的面积为12. 变式3－3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线，交BC的延长线于点E. (1)求证:四边形ACED是平行四边形. (2)若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的长. 变式3－3图 解:(1)∵AC⊥BD，BD⊥DE， ∴AC∥DE. ∵AD∥BC，∴AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形. (2)∵在▱ACED中，AC∥DE，DE＝AC＝4，CE＝AD＝2， ∴∠ACB＝∠DEB， ∴cos∠ACB＝cos∠DEB＝，∴BE＝5， ∴BC＝BE－CE＝3. 类型四　平行四边形的开放探究 【例4】问题:如图，已知在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD相交于点E，F，求EF的长. 答案:EF＝2. 探究:(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变. ①当点E与点F重合时，求AB的长. ②当点E与点C重合时，求EF的长. (2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值. 例4图 解:(1)①如答图1. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB. ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝5. 同理，CF＝BC＝5. 又∵点E与点F重合， ∴AB＝CD＝DE＋CF＝10. 图1 图2 例4答图 ②如答图2. ∵点E与点C重合，∴DC＝DE＝AD＝5. 又∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合， ∴EF＝DC＝5. (2)分三种情况讨论: ①当点E，F均在线段CD上，且点E在点F左侧时，如答图3，AD＝DE＝EF＝FC， ∴; 例4答图3 ②当点E，F均在线段CD上，且点F在点E左侧时，如答图4，AD＝DE＝CF. 又∵DF＝FE＝EC，∴; 图4 图5 例4答图 ③当点E，F均不在线段CD上时，如答图5，AD＝DE＝CF. 又∵FD＝DC＝CE，∴＝2. 综上所述，的值为或或2. 【课后作业】 1.[2024·云南]一个七边形的内角和等于(　B　) A.540° B.900° C.980° D.1 080° 2.依据所标数据，一定为平行四边形的是(　D　) 3.[2023·十堰]如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是(　C　) 第3题图 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.对角线BD的长度减小 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 4.[2024·贵州]如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　B　) 第4题图 A.AB＝BC B.AD＝BC C.OA＝OB D.AC⊥BD 5.如果将一副三角尺在▱ABCD中按如图所示的方式摆放，∠1＝30°，那么∠2的度数为(　C　) A.55° B.65° C.75° D.85° 第5题图 第5题答图 【解析】 如答图，延长EH，交AB于点N. 易知△EFH是等腰直角三角形， ∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°. 又∵∠1＝30°， ∴∠ANH＝∠1＋∠NHB＝75°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB， ∴∠2＝∠ANH＝75°. 6.[2023·自贡改编]如图，小华在一个不完整的正多边形图案中，量得一边与一条对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是　12　.  第6题图 【解析】 ∵AB＝CB，∠ACB＝15°， ∴∠BAC＝15°，∴∠ABC＝180°－15°－15°＝150°. 设这个正多边形的边数为n， 则＝150°，解得n＝12， 经检验，n＝12是原方程的解，且符合题意. 7.[2023·凉山州]如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是　(4，2)　.  第7题图 8.[2024·威海]如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝　50°　°.  第8题图 【解析】 ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AFE＝∠BAF＝120°. 又∵∠EFG＝20°， ∴∠AFG＝120°－∠EFG＝100°. ∵AH∥FG，∴∠FAH＝180°－∠AFG＝80°， ∴∠BAI＝120°－∠FAH＝40°. 又∵BI⊥AH，∴∠ABI＝90°－∠BAI＝50°. 9.[2024·湖北]在▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，连结BE，DF.求证BE＝DF. 第9题图 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. 在△BAE和△DCF中， ∵ ∴△BAE≌△DCF(SAS)， ∴BE＝DF. 10.[2023·株洲]如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G，F分别为BH，CH的中点. (1)求证:四边形DEFG为平行四边形. (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长. 第10题图 解:(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，G，F分别为BH，CH的中点， ∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC， ∴DE∥GF，DE＝GF， ∴四边形DEFG为平行四边形. (2)∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°， ∴BG＝. 11.[2024·河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 已知:如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连结BM并延长，交AE于点D，连结CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AB＝AC， 　第11题图 ∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3， ∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2， ∴①　　　　.  又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB(②　　　　)，  ∴MD＝MB，∴四边形ABCD是平行四边形. 若以上解答过程正确，①，②应分别为(　D　) A.∠1＝∠3，AAS B.∠1＝∠3，ASA C.∠2＝∠3，AAS D.∠2＝∠3，ASA 【解析】 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3. ∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3. ∵M是AC的中点，∴MA＝MC. 在△MAD和△MCB中，∵ ∴△MAD≌△MCB(ASA)，∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA. 12.[2024·安徽]在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是(　D　) A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC 【解析】 如答图，连结AC，AD. 第12题答图 ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED(SAS)，∴AC＝AD. ∵F是AD的中点，∴AF⊥CD，所以选项A不合题意. 如答图，连结BF，EF. ∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ABF≌△AEF(SAS)， ∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF. 又∵BC＝ED，CF＝DF， ∴△BFC≌△EFD(SSS)， ∴∠BFC＝∠EFD， ∴∠BFC＋∠AFB＝∠EFD＋∠AFE， 即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项B不合题意. ∵∠BCF＝∠EDF，∴易证△BFC≌△EFD(SAS)， ∴BF＝EF，∴易证△ABF≌△AEF(SSS)， ∴∠BFC＋∠AFB＝∠EFD＋∠AFE， 即∠AFC＝∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD，所以选项C不合题意. 选项D的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意. 13.[2023·聊城]如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连结BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连结BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为　24　.  　第13题图 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8， ∴BC＝AD＝8. ∵EF是线段BC的垂直平分线， ∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4. ∵CE＝5，∴OE＝＝3. ∵CF∥BE，∴∠OCF＝∠OBE. 在△OCF和△OBE中， ∵ ∴△OCF≌△OBE(ASA)， ∴OE＝OF＝3， ∴S四边形BFCE＝S△BCE＋S△BFC＝BC·OE＋BC·OF＝×8×3＋×8×3＝24. 14.[2024·浙江模拟]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC上一点，且BD＝2CD，连结AD.E，F分别为AD，AB的中点，连结DF，EF，EC，CF，ED与FC相交于点O. (1)求证:四边形ECDF是平行四边形. (2)若OF＝5，tan∠CFE＝，求AD的长. 第14题图 解:(1)∵E，F分别为AD，AB的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD， ∴EF∥CD，BD＝2EF. ∵BD＝2CD，∴EF＝CD， ∴四边形ECDF是平行四边形. (2)由(1)知四边形ECDF是平行四边形， ∴CF＝2OF，∠CFE＝∠BCF. 又∵OF＝5，∴CF＝10. ∵F为AB的中点， ∴AB＝2CF＝20，CF＝BF， ∴∠BCF＝∠B，∴∠B＝∠CFE， ∴tan∠CFE＝tan B＝. 设AC＝4a，则BC＝3a. 根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2， ∴202＝(4a)2＋(3a)2， 解得a＝4(负值舍去)， ∴AC＝16，BC＝12. ∵BD＝2CD，∴CD＝4， ∴AD＝ ＝ ＝4. 15.[2024·温州模拟]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为一边作▱ABDE，且DA∥BC，连结EC交DA的延长线于点F，DF⊥EC，延长EA交BC于点G. (1)求证:A是EG的中点. (2)若tan∠ABC＝，DA＝12，求BC的长. 第15题图 第15题答图 解:(1)∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD∥AE，BD＝AE. ∵AD∥BC， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∴BD＝AG，∴AG＝AE， ∴A是EG的中点. (2)如答图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵AD∥BC，DF⊥CE， ∴BC⊥CE，∴∠ECG＝90°. ∵A是EG的中点， ∴AG＝AC，∴CH＝GH. ∵BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠ABC＋∠ACB＝∠HAC＋∠HCA＝90°， ∴∠HAC＝∠ABC， ∴tan∠HAC＝tan∠ABC＝. 设CH＝GH＝x，则AH＝2x. ∵tan∠ABH＝，∴BH＝4x. ∵四边形ADBG是平行四边形， ∴BG＝AD＝12， ∴x＋12＝4x， 解得x＝4， ∴BC＝BH＋CH＝5x＝20. 16.[2023·重庆A卷]学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空: (1)用直尺和圆规，作AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O(保留作图痕迹，不写作法). 第16题图 (2)已知:如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.求证:OE＝OF.请补全以下证明过程. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠ECO＝　∠FAO　.  ∵EF垂直平分AC，∴　OA＝OC　.  又∵∠EOC＝　∠FOA　，  ∴△COE≌△AOF(ASA)， ∴OE＝OF. (3)小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意补全下面命题: 过平行四边形对角线中点的直线　与平行四边形一组对边相交形成的线段被对角线的中点平分　.  解:(1)作图如答图所示. 第16题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$