精品解析：广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

港澳台侨高二数学2024-2025学年度第二学期高二年级 数学试卷 一､单选题 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为为的重心， 所以，因为为棱的中点， 所以， 则. 故选：C. 3. 若三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 5. 以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 6. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线， 当时，有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程． 【详解】由，即， 所以该抛物线的准线方程为. 故选：D. 8. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 9. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，求出，从而可得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为， 故， 则， 故双曲线的渐近线方程为，即， 故选：B. 10. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项及前项和性质求解即可判断. 【详解】， 故选：D. 11. 已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点坐标，先根据对称得到方程，求出点坐标，数形结合得到，直线垂直于直线时，点到直线的距离最大，根据的斜率求出直线的斜率为，得到直线方程. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，解得，即 设点到直线的距离为， 又直线经过点，所以当垂直于直线时，取得最大值， 而， 因此直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 故选：B 12. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，F为右焦点，O为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点P，且满足OP⊥FP，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的性质，求得焦半径的长度，再分别根据余弦定理建立等量关系，即可求解. 【详解】设椭圆和双曲线的左焦点， 设，渐近线方程为，焦点到渐近线的距离， 由题意可知，，所以，则， 由椭圆方程可知，，所以， 由，则 得，得，且， 得， 所以椭圆的离心率。 故选：D 二､填空题 13. 已知两个向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 14. 平行直线与间的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【详解】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 15. 已知双曲线，则该双曲线的实轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准式，即可求出，从而求出实轴长. 【详解】双曲线，即， 所以，则， 则该双曲线的实轴长为. 故答案为： 16. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得的值，由椭圆的定义可得的值，在中求得，进而可得. 【详解】由题意，得，， 在中，， 又，则， 则 故答案为：. 17. 已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，得到双曲线的焦点坐标，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】因为双曲线的方程为， 所以， 即，，， 易知抛物线的焦点， 若是等边三角形， 此时， 即，解得负值舍去， 则该抛物线的方程为 故答案为： 18. 设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得，，且四边形为平行四边形，由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率. 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， 则 ， 即，，所以. 故答案为： 三､解答题 19. 已知抛物线焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的焦准距； （2）若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线得焦半径公式求出的值即可； （2）依题写出直线方程，与抛物线方程联立求出点，又由平行于轴，可求得，写出直线的方程，易得其经过点. 【小问1详解】 由， 得，即抛物线的焦准距为2. 【小问2详解】 如图，由（1）知，直线方程为， 由解得，即得， 因轴，故在中令，解得，即得， 所以直线方程为， 焦点在直线上，即直线经过点. 20. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 【答案】（1） （2），最大值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得出的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的性质可得出的最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为为等差数列的前项和，，， 即，所以，， 所以，. 【小问2详解】 ， 故当时，故有最大值. 21. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接， 因为，且，所以为正三角形， 因为为的中点，所以，且， 所以，则， 又，所以，所以，所以， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等先证明线线垂直，再利用线面垂直的判定可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 22. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 港澳台侨高二数学2024-2025学年度第二学期高二年级 数学试卷 一､单选题 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若三点在同一条直线上，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5. 以，为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 7. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 9. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，F为右焦点，O为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点P，且满足OP⊥FP，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､填空题 13. 已知两个向量，则__________. 14. 平行直线与间的距离为_____. 15. 已知双曲线，则该双曲线的实轴长为__________． 16. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 17. 已知，是双曲线的左、右焦点，F是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为______. 18. 设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为__________. 三､解答题 19. 已知抛物线焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的焦准距； （2）若在抛物线上，直线经过点，直线平行于轴，证明：直线经过焦点. 20. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求，并求的最大值. 21. 如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $