精品解析：广东省深圳市宝安区福海中学2024-2025学年高三上学期期末数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合 ，再由交集运算即可求解； 【详解】依题意：, 所以可得，则的元素个数为3． 故选：C 2. 若复数，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法和乘法运算化简，再应用共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：A. 3. 若向量，且，则（ ） A. 1000 B. C. D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解； 【详解】因为，所以， 则． 故选：A 4. 小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 【答案】D 【解析】 【分析】应用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得小张一家去游乐园的概率为． 故选：D. 5. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 6. 已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数奇偶性、单调性画出的大致图象，结合图像即可求解； 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以．又，所以．根据题意作出的大致图象如图所示， 等价于或由图可得． 故选：D 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为， 为 的右支上一点，，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用正弦定理，再结合双曲线定义及两角和差的正弦公式计算化简即可求解. 【详解】 依题意得， 则 的离心率为 故选：B. 8. 设表示中最大的数，已知 均为正数，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先利用基本不等式得到和的最小值，进而利用得到和的最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】设． 因为 为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为 为正数，所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”， 所以M的最小值为3． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知曲线，则（ ） A. 曲线 不可能是一个圆 B. 曲线 可能为一条直线 C. 当且时，曲线 的准线方程为 D. 当时，曲线 关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法逐项判断即可. 【详解】取，即曲线 可能是一个圆，故A错误． 当时，曲线，所以曲线 可能为一条直线，故B正确． 当且时，曲线，所以曲线 的准线方程是，故C正确． 当时，曲线，即曲线 关于直线对称，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数则（ ） A. 与的最小正周期相等 B. 当时， C. 与的图象在上有2个交点 D. 与在上的单调性相同 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期公式求解可判断A；利用计算可判断B；根据单调区间判断C，根据极值的定义可判断D. 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为，故A正确． 若则，故B正确． 作出与在上的大致图象，如图所示． 由图可知，与的图象在上只有1个交点，与在上均为增函数，故C错误，D正确． 故选：ABD. 11. 已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】CD 【解析】 【分析】设正 棱锥的侧棱长为 ，底面正多边形的外接圆的半径为 ，求得高，由底面多边形的面积，得到，通过换元构造函数求其最大值，和比较大小求解即可； 【详解】设正 棱锥的侧棱长为 ，底面正多边形的外接圆的半径为 ，则， 则正 棱锥的高，正 棱锥的底面多边形的面积， 所以正 棱锥的体积，其中， 令可得． 设函数则 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以则，解得． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为 ，且随机变量 的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】先求 的值，再求的期望. 【详解】将数据1，1，2，3，5，2，1按照从小到大的顺序排列为1，1，1，2，2，3，5， 因为，所以 故答案为：2；2. 13. 已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断条件即可得到结果. 【详解】由题意可知，则，圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故答案为：相交. 14. 如图，现有一个半球容器（有盖），其表面积为平方分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为分米的球，则的最大值为______（结果精确到0.1）． 【答案】4.1 【解析】 【分析】利用容器的表面积求得半球的半径，设放入的最大小球的半径为，则，解出，即为所求. 【详解】设半球容器对应的半球的半径为 分米，则该容器的表面积为平方分米，得． 根据对称性可知，当两个球外切且均与半球相切（与球面相切， 且与半球的盖所在平面相切）时，取得最大值， 这也相当于求半径为10分米的四分之一个球的内切球， 如图，由，得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥中，底面为矩形，且． （1）证明：平面 底面． （2）若，，，，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，证得平面 ，再由面面垂直的判定定理证得平面 底面； （2）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，由坐标运算求出，则得到正弦值． 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 又，，平面 ，所以平面 ． 因为底面，所以平面 底面． 【小问2详解】 由（1）得，，又， 以 为坐标原点，的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则，，， ， 则，， 设，因为，则， 解得，所以，则． 设平面 的一个法向量为，则由， 得，令，得． 因为， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为． 16. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． （1）求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小钟的中奖金额为 ，求 的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为 20 60 120 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式求解即可； （2）确定 的所有可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 由题可得小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． 【小问2详解】 由题可知 的所有可能取值为20，60，120． 的分布列为 20 60 120 17. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当 时，讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）求的导数，根据 的范围讨论导数的正负，从而得到的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 的定义域为． 当 时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 18. 若数列是等差数列，则称与互为和等差数列．已知为数列的前 项和． （1）若，，试问与是否互为和等差数列？说明你的理由． （2）设为等比数列，，且与互为和等差数列． ①求的通项公式； ②设，求数列的前 项和． 【答案】（1）与互为和等差数列，理由见解析 （2）①答案见解析；② 【解析】 【分析】（1）由新定义即可直接判断； （2）①由，通过作差求得，再由新定义即可求，②由①求得，由等比数列求和公式即可求解； 【小问1详解】 当 时， 又 也满足． 所以． 因为，且 所以与互为和等差数列． 【小问2详解】 因为，所以，得． 因为，所以当 时，， 即， 所以 又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列、 所以，即． ①因为与互为和等差数列，所以为等差数列， 又为等比数列，所以的通项公式为． ②， 故 19. 已知椭圆的离心率为，过定点的直线与 交于两点，直线的斜率不为0． （1）求 的长轴长． （2）若，证明：直线的斜率之和为定值 （3）若，设直线分别交 于（都异于）两点，且的斜率存在，证明直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1）4 （2）证明：设直线 联立得 则得， 设直线的斜率分别为， 则 所以直线的斜率之和为定值0． （3）证明：设，，，，，，且且， 则且 得 将代入得与联立， 解得同理可得 又直线过点则， 代入并化简可得 设直线过定点，则， 代入数据并化简可得 对比系数可得，解得， 则直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据离心率即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得到韦达定理，即可代入斜率公式化简求解, （3）根据向量共线可得，设出直线过定点，则，代入化简对比系数可得求解. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以， 解得， 所以 的长轴长为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若复数，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，且，则（ ） A. 1000 B. C. D. 100 4. 小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 5. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为， 为 的右支上一点，，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设表示中最大的数，已知 均为正数，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知曲线，则（ ） A. 曲线 不可能是一个圆 B. 曲线 可能为一条直线 C. 当且时，曲线 的准线方程为 D. 当时，曲线 关于直线对称 10. 已知函数则（ ） A. 与的最小正周期相等 B. 当时， C. 与的图象在上有2个交点 D. 与在上的单调性相同 11. 已知正棱锥的体积为，则其侧棱长可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，1，2，3，5，2，1的第60百分位数为 ，且随机变量 的分布列为 0.5 0.4 0.3 0.3 则______，______． 13. 已知为锐角三角形的三条边，则直线与圆的位置关系是______． 14. 如图，现有一个半球容器（有盖），其表面积为平方分米，忽略容器的厚度，若在该容器内放入两个半径均为分米的球，则的最大值为______（结果精确到0.1）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在四棱锥 中，底面 为矩形，且． （1）证明：平面 底面 ． （2）若，，，，求直线 与平面 所成角的正弦值． 16. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． （1）求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小钟的中奖金额为 ，求 的分布列及数学期望． 17. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当 时，讨论的单调性． 18. 若数列是等差数列，则称与互为和等差数列．已知为数列的前 项和． （1）若，，试问与是否互为和等差数列？说明你的理由． （2）设为等比数列，，且与互为和等差数列． ①求的通项公式； ②设，求数列的前 项和． 19. 已知椭圆的离心率为，过定点的直线 与 交于两点，直线 的斜率不为0． （1）求 的长轴长． （2）若，证明：直线的斜率之和为定值 （3）若，设直线分别交 于（都异于）两点，且 的斜率存在，证明直线 过定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $